1、2020 年年 4 月月名校联盟高考数学模拟试卷（文科）名校联盟高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知 i 为虚数单位，则 （ ） A i B i C i D i 2已知集合 Ax| 2 x2，Bx|x22x 0，则 A（RB）（ ） A B（1， ） C（ ，1） D（1，1 3设 （1，）， （2，3），若 （ 2 ），则 （ ） A B C1 D1 或 5 4已知双曲线 1 的离心率为 2，则双曲线 y 21 的焦距是（ ） A2 B C4 D2 5已知函数 f（x） ， ， ，在等差数列a n中，a77，a911，则 f（a8） （ ） A1 B2 C3 D4
2、6下列命题为真命题的个数是（ ） xx|x 是无理数，x2是无理数； 若 0，则 或 ； 命题“若 x2+y20，xR，yR，则 xy0“的逆否命题为真命题； 函数 f（x） 是偶函数 A1 B2 C3 D4 7已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，将角 的终边按顺时针方向 旋转 经过点（3，4），则 cos（ ） A B C D 85 名学生中有且只有 3 名同学会颠足球，从中任意选取 2 人，则这 2 人都会颠足球的概 率为（ ） A B C D 9函数 f（x）x2xsinx 的图象大致为（ ） A B C D 10 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACBC
3、4， ACBC， CC15， D， E 分别是 AB， B1C1的中点，则异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 11已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（x1）为偶函数，且函数 f（x）与直线 yx 有 一个交点（1，f（1），则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）（ ） A2 B0 C1 D1 12已知椭圆 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，若 F2BAP 且线段 AP 的长为 2 ，则该椭圆方程为（ ） A 1 B 1 C 1 D
4、1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13曲线 y 在 x1 处的切线方程为 14已知实数 x，y 满足 ，则 z2x+y 的最大值为 15记 Sn为等比数列an的前 n 项和，a11，且 S4a51，则公比 q 16 已知三棱柱 ABCA1B1C1的各顶点均在表面积为 的同一球面上， ABACBC4， 则这个三棱柱的高是 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说眀、 证眀过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17某班主任利用周末时间对该班级 2019 年最后一次
5、月考的语文作文分数进行统计，发现 分数都位于 2055 之间，现将所有分数情况分为20，25），25，30），30，35），35， 40），40，45），45，50），50，55共七组其频率分布直方图如图所示，已知 m 2n （1）求频率分布直方图中 m，n 的值： （2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数（每组数据用该组区间中点值 作为代表） 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2cosAsinBsinA+2sinC （1）求角 B 的大小； （2）若 a2，ABC 的面积为 2 ，求 b 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 为矩
6、形且 AD2AB4，平面 PAD 平面 ABCD，且PAD 是正三角形，E 是 AD 的中点 （1）证明：CE平面 PBE； （2）求点 E 到平面 PBC 的距离 20已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线 C 上的点到准线的最小距离为 2 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若过点 F 作互相垂直的两条直线 11，l2，l1与抛物线 C 交于 A，B 两点，l2与抛物线 C 交于 C，D 两点，M，N 分别为弦 AB，CD 的中点，求|MF| |NF|的最小值 21已知函数 f（x）a（xe）ex1（aR），g（x）x1 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a1
7、且 x1 时，求证：f（x）g（x） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（ 为参数），以坐 标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系， 直线 l 的极 坐标方程为 sin（ ） （1）写出曲线 C 的普通方程和直线 1 的直角坐标方程 （2）若直线 1 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求OAB 的面积 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 0 分） 23已知函数 f（x）|xa|+
8、|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）7 的解集； （2）若x0R，f（x0）|3a|，求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知 i 为虚数单位，则 （ ） A i B i C i D i 【分析】利用复数的运算法则即可得出 解：原式 i 故选：C 2已知集合 Ax| 2 x2，Bx|x22x 0，则 A（RB）（ ） A B（1， ） C（ ，1） D（1，1 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集和补集的运算即可 解： ， ， 或 ， ， 故选：B 3设
9、 （1，）， （2，3），若 （ 2 ），则 （ ） A B C1 D1 或 5 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出 的值 解：由 （1，）， （2，3）， 则 2 （5，6）， 又 （ 2 ）， 所以（6）50， 解得 故选：A 4已知双曲线 1 的离心率为 2，则双曲线 y 21 的焦距是（ ） A2 B C4 D2 【分析】根据所给双曲线的方程和离心率求出 m 即可 解：因为 e 2，所以 m12， 则 y 21 的焦距为 2 2 ， 故选：D 5已知函数 f（x） ， ， ，在等差数列a n中，a77，a911，则 f（a8） （ ） A1 B2 C3 D4 【分析】
10、利用等差数列的性质求出 a8，然后利用分段函数求解函数值即可 解：在等差数列an中，a77，a911，可得 a8 9， 所以 f（a8）f（9）1+log393 故选：C 6下列命题为真命题的个数是（ ） xx|x 是无理数，x2是无理数； 若 0，则 或 ； 命题“若 x2+y20，xR，yR，则 xy0“的逆否命题为真命题； 函数 f（x） 是偶函数 A1 B2 C3 D4 【分析】根据函数，向量，整数，命题的基本概念，逐一分析四个结论的真假，可得答 案 解： 对于 （1） 中， 当 x 时， x22 为有理数， 故错； 对于 （2） 若 0， 可以有 ， 故错； 对于（3）命题“若 x2
11、+y20，xR，yR，则 xy0“是真命题，则它的逆否命题为 真命题，故对；对于（4）f（x） f（x），且函数定义域（，0）（0， +）关于原点对称，则函数 f（x）是偶函数，故对，综上真命题有 2 个 故选：B 7已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，将角 的终边按顺时针方向 旋转 经过点（3，4），则 cos（ ） A B C D 【分析】由已知利用三角函数的定义可得 cos（ ），sin（ ）的值，进而根据两 角和的余弦函数公式即可求解 cos 的值 解：角 的终边按顺时针方向旋转 后得到的角为 ，由三角函数的定义，可得 cos （ ） ，sin（ ） ， cosco
12、s（ ）cos（ ）cos sin（ ）sin （ ） 故选：D 85 名学生中有且只有 3 名同学会颠足球，从中任意选取 2 人，则这 2 人都会颠足球的概 率为（ ） A B C D 【分析】从中任意选取 2 人，基本事件总数 n 10，这 2 人都会颠足球包含的基本 事件个数 m 3，由此能求出这 2 人都会颠足球的概率 解：5 名学生中有且只有 3 名同学会颠足球， 从中任意选取 2 人， 基本事件总数 n 10， 这 2 人都会颠足球包含的基本事件个数 m 3， 这 2 人都会颠足球的概率 p 故选：A 9函数 f（x）x2xsinx 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函
13、数为偶函数，可排除 B，利用导数研究可知当 x0 时，f（x）0，且 f（x） 单调递增，可排除 C、D，由此得出正确选项 解：f（x）（x）2（x）sin（x）x2xsinxf（x），且定义域为 R， f（x）为偶函数，故排除选项 B； f（x）x（xsinx），设 g（x）xsinx，则 g（x）1cosx0 恒成立， g（x）单调递增， 当 x0 时，g（x）g（0）0， 当 x0 时，f（x）xg（x）0，且 f（x）单调递增，故排除选项 C、D； 故选：A 10 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACBC4， ACBC， CC15， D， E 分别是 AB， B1C1的中点
14、，则异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】根据题意可分别以 CA，CB，CC1三直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 从而可得出 C， D， B， E 的坐标， 进而得出向量 ， 的坐标， 从而可求出 ， 的值，进而得出异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值 解：可知 CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则： C（0，0，0），B（0，4，0），A（4，0，0），D（2，2，0），E（0，2，5）， ， ， ， ， ， ， ， ， 异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为 故选
15、：C 11已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（x1）为偶函数，且函数 f（x）与直线 yx 有 一个交点（1，f（1），则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）（ ） A2 B0 C1 D1 【分析】根据题意，分析可得 f（x4）f（x2）f（x），即函数 f（x）为周期为 4 的周期函数，据此可得 f（1）f（3），f（2）f（4）0，结合函数的周期性可 得 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）f（1）+f（2）+f（3），计算可得 答案 解：根据题意，f（x1）为偶函数，函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，则有 f（ x）f（x
16、2）， 又由 f（x）为奇函数，则 f（x）f（x）， 则有 f（x4）f（x2）f（x），即函数 f（x）为周期为 4 的周期函数， 又由 f（x+2）f（x），则 f（1）f（3），f（2）f（4）0， 故 f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）+f（2019）f（1）+f（2）+f（3）f（2）0； 故选：B 12已知椭圆 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，若 F2BAP 且线段 AP 的长为 2 ，则该椭圆方程为（ ） A 1 B 1 C 1 D 1 【分析】由以线段 F1A 为直径
17、的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，可得 APPF1，若 F2B AP，所以 F2BBF1，所以F1F2B 是等腰直角三角形，cos45 ，可 得 a，b，c 的值可得椭圆的方程 解：设椭圆的半个焦距为 c，因为点 P 在以线段 F1A 位直径的圆上，所以 APPF1， 因为 F2BAP，所以 F2BBF1，又因为|F2B|BF1|，所以F1F2B 是等腰直角三角形， 于是|F2B|BF1|a， cos45 ，|F1A| |AP|，可得 a+c （2 ）， 解得：a2 ，c2，b2a2c24， 所以椭圆的方程为： 1， 故选：D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1
18、3曲线 y 在 x1 处的切线方程为 x+2y30 【分析】先求出函数的导数，然后分别求出切点的纵坐标和切点处的导数，最后代入点 斜式求出切线方程 解：由已知 ， ， 所以切线方程为 ， 即：x+2y30 故答案为：x+2y30 14已知实数 x，y 满足 ，则 z2x+y 的最大值为 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可 的得到结论 解：作出可行域如图， 由 z2x+2y 知，y2x+z， 所以动直线 y2x+z 的纵截距 z 取得最大值时， 目标函数取得最大值 由 得 M（ ， ） 结合可行域可知当动直线经过点 M（ ， ）时， 目标函数取得最大值
19、z2 故答案为： 15记 Sn为等比数列an的前 n 项和，a11，且 S4a51，则公比 q 2 或1 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解 解：由题意可得 q1， 因为 a11，且 S4a51， 所以 ， 则可得（1q4）（2q）0， 故 q2 或 q1 故答案为：2 或1 16 已知三棱柱 ABCA1B1C1的各顶点均在表面积为 的同一球面上， ABACBC4， 则这个三棱柱的高是 8 【分析】由外接球的表面积求出球的半径 R，计算ABC 外接圆的半径 r；判断三棱柱为 直三棱柱，再利用勾股定理求出三棱柱的高 解：外接球的表面积为 S4R2 ，解得 R ； 因为 ABA
20、CBC4， 所以ABC 外接圆的半径为： r ； 又三棱柱的各个顶点在同一球面上， 所以该三棱柱是直三棱柱，如图所示； 所以三棱柱的高是： h2 2 8 故答案为：8 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说眀、 证眀过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17某班主任利用周末时间对该班级 2019 年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现 分数都位于 2055 之间，现将所有分数情况分为20，25），25，30），30，35），35， 40），40，45），45，50），50，55共七组
21、其频率分布直方图如图所示，已知 m 2n （1）求频率分布直方图中 m，n 的值： （2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数（每组数据用该组区间中点值 作为代表） 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，能求出 m，n （2）由频率分布直方图能求出该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数 解：（1）由频率分布直方图得： ， 解得 m0.04，n0.02 （2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为： （22.50.01+27.50.03+32.50.06+37.50.04+42.50.03+47.50.02+52.50.01）5 36.25 （0.01+0.03+0.06）50.5
22、， 该班级这次月考语文作文分数的中位数为 35 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2cosAsinBsinA+2sinC （1）求角 B 的大小； （2）若 a2，ABC 的面积为 2 ，求 b 【分析】 （1） 由已知利用两角和的正弦函数公式可得 sinA+2sinAcosB0， 结合 sinA0， 可求得 cosB ，结合范围 B（0，），可求 B 的值 （2）由已知利用三角形的面积公式可求 c 的值，进而根据余弦定理即可解得 b 的值 解：（1）2cosAsinBsinA+2sinCsinA+2sin（A+B）sinA+2sinAcosB+2sinBcos
23、A， sinA+2sinAcosB0， sinA0， 1+2cosB0，解得 cosB ， B（0，）， B （2）a2，ABC 的面积为 2 ， acsinB csin 2 ，解得 c4， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 b 2 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 为矩形且 AD2AB4，平面 PAD 平面 ABCD，且PAD 是正三角形，E 是 AD 的中点 （1）证明：CE平面 PBE； （2）求点 E 到平面 PBC 的距离 【分析】（1）连接 PE，CE，证明 BECE，PE平面 ABCD，CEBE，于是由线面垂 直的判定可得 CE平面 PBE；
24、 （2）求解三角形求出三角形 PBC 的面积与三角形 BEC 的面积，再由等体积法求点 E 到 平面 PBC 的距离 【解答】（1）证明：ABCD 为矩形且 AD2AB，E 为 AD 的中点， ABE 和CDE 都是等腰直角三角形， AEBDEC ，得BEC ， BECE 连接 PE，PAD 是等边三角形，E 是 AD 的中点， PEAD 又平面 PAD平面 ABCD，PE平面 PAD，平面 PAD平面 ABCDAD PE平面 ABCD 又 CE平面 ABCD，CEPE 又 BEPEE，BE，PE平面 PBE CE平面 PBE； （2）解：AD2AB4，侧面 PAD 是正三角形，E 是 AD
25、的中点， AEDE2， 由勾股定理可得 BECE ，PE ， PBPC ，设点 E 到平面 PBC 的距离为 h， 由 VPBECVEPBC，得 ， 即 h 点 E 到平面 PBC 的距离为 20已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线 C 上的点到准线的最小距离为 2 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若过点 F 作互相垂直的两条直线 11，l2，l1与抛物线 C 交于 A，B 两点，l2与抛物线 C 交于 C，D 两点，M，N 分别为弦 AB，CD 的中点，求|MF| |NF|的最小值 【分析】（1）由题意可知 ，所以 p4，从而得到抛物线 C 的方程； （2）显然直线 A
26、B，CD 的斜率都存在且均不为 0，设直线 AB 的斜率为 k，则直线 CD 的 斜率为 ，所以直线 AB 的方程为 yk（x2），与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 点 M 的坐标， 同理可得点 N 的坐标， 进而求出|NF|， |MF|， 再利用基本不等式即可求出|MF| |NF|的最小值 解：（1）因为抛物线 C 上的点到准线的最小距离为 2，所以 ， 解得 p4， 故抛物线 C 的方程为：y28x； （2）由（1）可知焦点为 F（2，0）， 由已知可得 ABCD，所以两直线 AB，CD 的斜率都存在且均不为 0， 设直线 AB 的斜率为 k，则直线 CD 的斜率为 ， 故直线 AB 的方
27、程为 yk（x2）， 联立方程 ，消去 x 得：ky 28y16k0， 设点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， 因为 M（xM，yM）为弦 AB 的中点，所以 ， 由 yMk（xM2），得 ， 故点 M（ ， ）， 同理可得：N（4k2+2，4k）， 故|NF| 4 ，|MF| ， 所以|MF|NF| 4 16 16 （|k| ） 16 32， 当且仅当|k| ，即 k1 时，等号成立， 所以|MF| |NF|的最小值为 32 21已知函数 f（x）a（xe）ex1（a一、选择题），g（x）x1 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a1 且 x1 时，求证：f（x）g（x）
28、 【分析】（1）由题意，得 f（x）aex1（1+xe），分 a0，a0，a0 三类讨论， 即可得到函数 f（x）的单调性； （2） 利用分析法， 要证 f （x） g （x） ， 即证 （xe） ex1x1， 即证得 1， 设 p （x） ，利用导数可得 p（x）在（1，+）上单调递增，从而得到 p（x）p（1） 1，即 1 成立 解：（1）由题意，得 f（x）aex1+（xe）ex1aex1（1+xe）1 分 若 a0，令 f（x）0，得 xe1，令 f（x）0，得 xe1 故函数 f（x）在（，e1）上单调递减，在（e1，+）上单调递增；2 分 若 a0，令 f（x）0，得 xe1，令
29、f（x）0，得 xe1 故函数 f（x）在（，e1）上单调递增，在（e1，+）上单调递减；3 分 若 a0，令 f（x）0，为常量函数，不存在单调性4 分 （2）证明：当 a1 时，f（x）（xe）ex1，则证 f（x）g（x），即证（xe）ex 1x1， 不等式两端同时除以 ex，即证 ，得 1，5 分 记函数 p（x） ，则 p（x） 设 q（x） e xx，6 当 x1 时，q（x）ex110，所以函数 q（x）在（1，+）上单调递增 所以当 x1 时，q（x）q（1） e 1108 分 所以 p（x）0， 所以函数 p（x）在（1，+）上单调递增 所以 p（x）p（1） 1， 即 1
30、成立， 故 f（x）g（x）得证12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（ 为参数），以坐 标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系， 直线 l 的极 坐标方程为 sin（ ） （1）写出曲线 C 的普通方程和直线 1 的直角坐标方程 （2）若直线 1 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求OAB 的面积 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间
31、进 行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的参数方程为 ，（ 为参数），转换为直角坐标方程为 x2+（y2）24 直线 l 的极坐标方程为 sin（ ） ，整理得 转换为 直角坐标方程为 x+y30 （2）由于原点（0，0）到直线 x+y30 的距离 d ， 所以|AB|2 ， 所以 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 0 分） 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）7 的解集； （2）若x0R，f（x0）|3a|，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集可得所求解集； （2）由题意可得 f（x0）min|3a|，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值， 再由绝对值不等式的解法可得所求范围 解：（1）当 a1 时，不等式 f（x）7 即|x1|+|x+2|7， 等价为 或 或 ， 解得 1x3 或2x1 或4x2， 则原不等式的解集为4，3； （2）x0R，f（x0）|3a|， 可得 f（x0）min|3a|， 由|xa|+|x+2|xax2|a+2|，当（xa）（x+2）0 时，取得等号 则|a+2|3a|，即为 a2+4a+4a26a+9， 解得 a ， 可得实数 a 的取值范围为（，