1、2020 年天津市河北区高考数学一模试卷年天津市河北区高考数学一模试卷 一、选择题 1已知集合 U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，4，B2，4，6，则集合U（A B）（ ） A5 B1，5 C2，4 D1，2，3，4，6 2已知 aR，则“a2”是“a24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知直线 1：ax y2 与圆 C：x2+y24 相交于 M，N 两点，若|MN|2 ，则直线的 斜率为（ ） A B C D 4已知双曲线 1（a0，b0）的焦距为 4，点（2，3）为双曲线上一点，则双 曲线的渐进线方程为（ ） Ay x Byx C
2、y x Dy x 5已知函数 f（x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（ ） Af（x） Bf（x）2|x|2 Cf（x）2|x|x2 Df（x）e|x|x| 6已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x）在0，+）单调递增，设 af（ ）， bf（log37），cf（0.83），则 a，b，c 大小关系为（ ） Abac Bcba Ccab Dacb 7在等腰梯形 ABCD 中，AB2DC2AD2，DAB60，E 为 AB 中点，将ADE 与 BEC 分别沿 ED，EC 向上折起，使 A，B 重合点为 F，则三棱锥 FDCE 的外接球体 积为（ ） A B C D 8将
3、函数 f（x）cos （2sin 2 cos ） ，（0）的图象向左平移 个单 位， 得到函数 yg （x） 的图象， 若 yg （x） 在0， 上为增函数， 则 的最大值为 （ ） A1 B2 C3 D4 9已知函数 f（x） ， ， ，g（x）f（x）ax+a，若 g（x）恰有 1 个零 点，则 a 的取值范围是（ ） A1，01，+） B（，10，1 C1，1 D（，11，+） 二.填空题 10已知复数 z （i 为虚数单位），则|z| 11在（2x ） 5的展开式中，x2 的系数为 12从某班的 4 名男生，2 名女生中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动，设所选 3 人中 女生人数
4、为 X，则 P（X2） 数学期望 E（X） 13已知 a，b 为正实数，且 a+b2，则 的最小值为 14已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， ， ，且 AD 与 BE 相交于点 O，则 15某同学在研究函数 f（x） （xR）时，分别给出下面几个结论： f（x）+f（x）0 在 xR 时恒成立； 函数 f（x）的值域为（1，1）； 若 x1x2，则一定有 f（x1）f（x2）； 函数 g（x）f（x）x 在 R 上有三个零点 其中正确结论的序号有 三.解答题 16已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 2c a+2bcosA （）求角 B； （）若 cosA ，求
5、 sin（2A+B）的值； （）若 c7，bsinA ，求 b 的值 17如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，ABAC， 且 PAAB3，AC2，E 是棱 PD 的中点 （）求证：PB平面 AEC； （）求直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值； （） 在线段PB上 （不含端点） 是否存在一点M， 使得二面角MACE的余弦值为 ？ 若存在，确定 M 的位置；若不存在，说明理由 18已知等比数列an的前 n 项和为 S，公比 q1，且 a2+1 为 a1，a3的等差中项，S314 （）求数列an的通项公式 （）记 bnan log2an，求数列b
6、n的前 n 项和 Tn 19已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率 e ，直线 x+y 0 与圆 x 2+y2b2 相切 （1）求椭圆的方程； （2）过点 N（4，0）的直线 l 与椭圆交于不同两点 A、B，线段 AB 的中垂线为 l，若 l 在 y 轴上的截距为 ，求直线 l 的方程 20已知函数 f（x）lnx+ax2+（a+2）x+1（aR） （）讨论函数 f（x）的单调性； （）设 aZ，若对任意的 x0，f（x）0 恒成立，求整数 a 的最大值； （）求证：当 x0 时，exxlnx+2x3x2+x10 参考答案参考答案 一、选择题 1已知集合 U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，
7、4，B2，4，6，则集合U（A B）（ ） A5 B1，5 C2，4 D1，2，3，4，6 【分析】根据并集与补集的定义，计算即可 解：集合 A1，2，3，4，B2，4，6， 所以 AB1，2，3，4，6； 又集合 U1，2，3，4，5，6， 所以集合U（AB）5 故选：A 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题 2已知 aR，则“a2”是“a24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】求解 a24，得出 a2 或 a2，根据充分必要的定义判断即可得出答案 解：a24， a2 或 a2， 根据充分必要的定义判断：“a2”是“a24”
8、的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可 3已知直线 1：ax y2 与圆 C：x2+y24 相交于 M，N 两点，若|MN|2 ，则直线的 斜率为（ ） A B C D 【分析】利用弦长公式表示出|MN|，求出 a 的值即可 解：易得直线斜率存在且不为 0， 则圆心到直线 l 的距离 d ， 则弦长|MN|2 2 2 ，解得 a1， 则斜率 k ， 故选：B 【点评】本题考查直线斜率的求法，考查弦长公式，属于中档题 4已知双曲线 1（a0，b0）的焦距为 4，点（2，3）为双曲线上一点，则双 曲线的渐进线方程为（ ） Ay x By
9、x Cy x Dy x 【分析】求出双曲线的焦点，根据定义求出 a，然后求出 b可得双曲线 C 的方程与渐近 线方程 解：由题意可知：双曲线的焦点为（2，0）和（2，0） 根据定义有 2a| | a1 由以上可知：a21，c24，b23 所求双曲线 C 的渐近线方程为：y 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力 5已知函数 f（x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（ ） Af（x） Bf（x）2|x|2 Cf（x）2|x|x2 Df（x）e|x|x| 【分析】观察函数图象，由函数为偶函数，f（0）0，函数有两个正零点，分别可排除 选项 A，B，
10、D，由此得出正确选项 C 解：由函数图象可知，f（x）为偶函数，故可排除选项 A； f（0）0，故可排除选项 B； 又当 x0 时，函数图象与 x 轴有两个交点，而方程 exx 无解，故可排除 D 故选：C 【点评】 本题考查由函数图象确定符合的函数解析式， 考查读图识图能力， 属于基础题 6已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x）在0，+）单调递增，设 af（ ）， bf（log37），cf（0.83），则 a，b，c 大小关系为（ ） Abac Bcba Ccab Dacb 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得 cf（0.83）f（0.83），又由指数、对数的 性质可得 0
11、.831 log 3 log37，结合函数的单调性分析可得答案 解：根据题意，函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，则 cf（0.83）f（0.83）， 又由 f（x）在0，+）单调递增，且 0.831 log 3 log37， 则有 cab， 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基 础题 7在等腰梯形 ABCD 中，AB2DC2AD2，DAB60，E 为 AB 中点，将ADE 与 BEC 分别沿 ED，EC 向上折起，使 A，B 重合点为 F，则三棱锥 FDCE 的外接球体 积为（ ） A B C D 【分析】由题意可得三棱锥 FDCE 是正
12、四面体，且每条边长为 1，把正四面体放入正 方体中，利用正方体的外接球即可求出三棱锥 FDCE 的外接球半径，从而得到三棱锥 FDCE 的外接球体积 解：由题意可得三棱锥 FDCE 是正四面体，且每条边长为 1， 则正四面体所在的正方体的棱长为 ， 所以外接球的半径为 ， 所以外接球体积为： ， 故选：D 【点评】本题主要考查了正四面体的外接球，是中档题 8将函数 f（x）cos （2sin 2 cos ） ，（0）的图象向左平移 个单 位， 得到函数 yg （x） 的图象， 若 yg （x） 在0， 上为增函数， 则 的最大值为 （ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据函数 yAsin（
13、x+）的图象变换规律得到 g（x）的解析式，再利用正弦 函数的单调性，得出结论 解： 将函数 f （x） cos （2sin 2 cos ） sinx cosx2sin （x ） ， （ 0）的图象向左平移 个单位， 得到函数 yg（x）2sinx 的图象，若 yg（x）在0， 上为增函数，则 ， 2， 的最大值为 2， 故选：B 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属 于基础题 9已知函数 f（x） ， ， ，g（x）f（x）ax+a，若 g（x）恰有 1 个零 点，则 a 的取值范围是（ ） A1，01，+） B（，10，1 C1，1 D（，11，
14、+） 【分析】根据条件先判断 x1 是函数 g（x）的一个零点，等价于当 x1 时，函数 f（x） a（x1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可 解：由 g（x）f（x）ax+a0 得 f（x）a（x1）， f（1）13+20， g（1）f（1）a+a0，即 x1 是 g（x）的一个零点， 若 g（x）恰有 1 个零点， 则当 x1 时，函数 f（x）a（x1），没有其他根， 即 a ，没有根， 当 x1 时，设 h（x） x2，此时函数 h（x）为增函 数， 则 h（1）1，即此时 h（x）1， 当 x1 时，h（x） ，h（x） 0，此时 h（x）为减函数， 此时 h（
15、x）0，且 h（1）1，即 0h（x）1， 作出函数 h（x）的图象如图： 则要使 a ，没有根， 则 a1 或1a0， 即实数 a 的取值范围是1，01，+）， 故选：A 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题 的关键综合性较强，有一定的难度 二.填空题 10已知复数 z （i 为虚数单位），则|z| 1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 解：z ， |z|1 故答案为：1 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 11在（2x ） 5的展开式中，x2 的系数为 80 【分析】利用通项公式即可得出
16、 解： （2x ） 5的展开式中，通项公式 T r+1 （2x）5r （1）r25 r ， 令 5 r2，解得 r2 x2的系数23 80 故答案为：80 【点评】 本题考查了二项式定理的通项公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 12从某班的 4 名男生，2 名女生中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动，设所选 3 人中 女生人数为 X，则 P（X2） 数学期望 E（X） 1 【分析】随机变量随机 X 的所有可能的取值为 0，1，2分别求出其对应的概率，列出 分布列，求期望即可 解：所选 3 人中女生人数为 X，X2，就是所选 3 人中女生人数为 2， 则 P（X2） ； 随机变量
17、 X 的所有可能的取值为 0，1，2，P（X0） ， P（X1） ；P（X2） ； 所有随机变量 的分布列为： X 0 1 2 P 所以 的期望 E（X）0 1 2 1 故答案为： ；1 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望，属于基础题 13已知 a，b 为正实数，且 a+b2，则 的最小值为 【分析】 由 a， b 为正实数，且 a+b2， 变形可得 a+b1 1f（a），0a2利用导数研究其单调性极值与最值即可得出 解：a，b 为正实数，且 a+b2， a a+b1 1f（a），0a2 f（a） ， 令 f（a）0，解得 ，此时函数 f（a）单调递增；令 f（a）0，解得 ，此时函数 f
18、（a）单调递减 当且仅当 a63 时函数 f（a）取得极小值即最小值， 故答案为： 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 14已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， ， ，且 AD 与 BE 相交于点 O，则 【分析】 作DFBE交AC于F； 作GEDC交AD于G； 根据已知条件得到 以及 ；再代入数量积即可求解结论 解： ABC 是边长为 2 的等边三角形， ， ， 且 AD 与 BE 相交于点 O， 作 DFBE 交 AC 于 F； 作 GEDC 交 AD 于 G； ； ； DFBE，D 为中点， 故 1； 又因为 ， 1； ； （ ）
19、 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （2 2 22 2 2 ） 故答案为： 【点评】本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计 算，考查计算能力，属于中档题 15某同学在研究函数 f（x） （xR）时，分别给出下面几个结论： f（x）+f（x）0 在 xR 时恒成立； 函数 f（x）的值域为（1，1）； 若 x1x2，则一定有 f（x1）f（x2）； 函数 g（x）f（x）x 在 R 上有三个零点 其中正确结论的序号有 【分析】由奇偶性的定义来判断，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解；由 结合对称区间上的单调性相同说明正确；由数形结合来说明不正确 解： 正确
20、当 x0 时，f（x） （0，1） 由知当 x0 时，f（x）（1，0） x0 时，f（x）0 f（x）（1，1）正确； 则当 x0 时，f（x） 反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+）上是增函 数 再由知 f（x）在（，0）上也是增函数，正确 由知 f（x）的图象与 yx 只有（0，0）这一个交点不正确 故答案为： 【点评】本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四 个问题在研究时往往是同时考虑的 三.解答题 16已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 2c a+2bcosA （）求角 B； （）若 cosA ，求 sin（2A+B）的
21、值； （）若 c7，bsinA ，求 b 的值 【分析】（）利用正弦定理与三角形内角和定理，即可求得 cosB 与 B 的值； （）根据三角恒等变换求值即可； （）利用正弦定理和余弦定理，即可求得 b 的值 解：（）ABC 中，2c a+2bcosA， 由正弦定理得 2sinC sinA+2sinBcosA； 又 C（A+B）， 所以 2（sinAcosB+cosAsinB） sinA+2sinBcosA， 所以 2sinAcosB sinA； 又 A（0，），所以 sinA0， 所以 cosB ； 又 B（0，）， 所以 B ； （）若 cosA ，A（0，）， 所以 sinA ， 所以 s
22、in2A2sinAcosA2 ， cos2A2cos2A12 1 ， 所以 sin（2A+B）sin2AcosB+cos2AsinB ； （）若 c7，bsinA ， 由 ，得 asinBbsinA ， 所以 a 2 ； 所以 b2c2+a22cacosB49+12272 19， 解得 b 【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是 中档题 17如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，ABAC， 且 PAAB3，AC2，E 是棱 PD 的中点 （）求证：PB平面 AEC； （）求直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦
23、值； （） 在线段PB上 （不含端点） 是否存在一点M， 使得二面角MACE的余弦值为 ？ 若存在，确定 M 的位置；若不存在，说明理由 【分析】（）连接 BD 交 AC 于点 O，并连接 EO，推导出 EOPB，由此能证明 PB 面 AEC （）以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设平面 AEC 的法向量 （x，y，z），由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由向量 的夹角公式可得所求值； （） 假设在线段PB上 （不含端点） 存在一点M， 使得二面角MACE的余弦值为 ， 利用向量法能求出在线段 PB 上 （不含端点） 存在一点 M
24、， 设平面 ACM 的法向量 （p， q，t），由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性 解：（）证明：连接 BD 交 AC 于点 O，并连接 EO， 四边形 ABCD 为平行四边形，O 为 BD 的中点， 又E 为 PD 的中点， 在PDB 中 EO 为中位线，EOPB PB面 AEC，EO面 AEC， PB面 AEC （）证明：在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD， 底面 ABCD 为平行四边形，ABAC，且 PAAB3，AC2，E 是棱 PD 的中点 以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， P（0，0，3），C（2，0，0），A
25、（0，0，0），D（2，3，0），E（1， ， ）， （1， ， ）， （2，0，0）， （2，0，3）， 设平面 AEC 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 y1，得 （0，1，1）， 设直线 PC 与平面 AEC 所成角为 ， 则直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值为： sin （） 假设在线段PB上 （不含端点） 存在一点M， 使得二面角MACE的余弦值为 ， 设 M（a，b，c）， ，B（0，3，0），则（a，b，c3）（0，3，3）， 解得 a0，b3，c33，M（0，3，33）， （2，0，0）， （0，3，33）， 设平面 ACM 的法向量 （p，q，t）， 则 ，取 q
26、1，得 （0，1， ）， 二面角 MACE 的余弦值为 |cos ， | ， 解得 或 在线段 PB 上（不含端点）存在一点 M，使得二面角 MACE 的余弦值为 ， 且 或 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是 否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推 理论证能力，是中档题 18已知等比数列an的前 n 项和为 S，公比 q1，且 a2+1 为 a1，a3的等差中项，S314 （）求数列an的通项公式 （）记 bnan log2an，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （I） 由 a2+1 是 a1， a3的等
27、差中项， 可得 2 （a2+1） a1+a3， 又 a1（q2+1） 2a1q+2， 14，联立解得，即可得出 （II）bnan log2ann 2n利用错位相减法即可得出 解：（I）a2+1 是 a1，a3的等差中项，2（a2+1）a1+a3， a1（q2+1）2a1 q+2， 14， 化为 2q25q+20，q1，解得 q2，a12 an2n （II）bnan log2ann 2n 数列bn的前 n 项和 Tn2+2 22+3 23+n 2n 2Tn22+2 23+（n1） 2n+n 2n+1 Tn2+22+23+2nn 2n+1 n 2 n+1 解得：Tn（n1） 2n+1+2 【点评】
28、本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 19已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率 e ，直线 x+y 0 与圆 x 2+y2b2 相切 （1）求椭圆的方程； （2）过点 N（4，0）的直线 l 与椭圆交于不同两点 A、B，线段 AB 的中垂线为 l，若 l 在 y 轴上的截距为 ，求直线 l 的方程 【分析】（1）先由直线与圆相切，得出 b 的值，再结合离心率，求出 a 的值，从而可得 出椭圆的方程； （2）设直线 l 的斜率为 k，设点 A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线 l 的方程与椭圆 C 的 方程联立，计算0，列出韦达
29、定理，可求出线段 AB 的中点 Q 的坐标，并写出线段 AB 中垂线 l的方程， 然后求出直线 l与 y 轴的交点坐标， 列关于 k 的方程， 求出 k 的值， 即可得出直线 l 的方程 解：（1）由题意得 ，即 ， 由 与圆 x2+y2b2相切得 ，a2 因此，椭圆的方程为 ； （2）由题意知，直线 l 的斜率 k 存在且不为零， 设直线 l 的方程为 yk（x4），k0，设点 A（x1，y1）、B（x2，y2），设线段 AB 的 中点为 Q（x0，y0）， 联立 ，消去 y 并整理得（4k2+3）x232k2x+64k2120 由韦达定理得 ， 又（32k2）24（4k2+3）（64k21
30、2）0，解得 ，且 k0 ， ，得 ， 由直线 l的方程 ，即 ，化简得 令 x0 得 ，解得 或 k3 由于 ，且 k0，所以， 因此，直线 l 的方程为 ，即 x4y40 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，以及韦达定理设而不 求法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题 20已知函数 f（x）lnx+ax2+（a+2）x+1（a一、选择题） （）讨论函数 f（x）的单调性； （）设 aZ，若对任意的 x0，f（x）0 恒成立，求整数 a 的最大值； （）求证：当 x0 时，exxlnx+2x3x2+x10 【分析】（）求出原函数的导函数 f（x） （x0），得若
31、 a0，则 f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；若 a0，求出导函数的零点，对函 数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性； （）若 a0，则 f（1）2a+30，不满足 f（x）0 恒成立若 a0，由（）求 得函数的最大值，又 f（x）0 恒成立，可得 ln（ ） 0，设 g（x）lnx+x，则 g （ ）0由函数零点判定定理可得存在唯一的 x0（ ， ），使得 g（x0）0得 到 a （2，1），结合 aZ，可知 a 的最大值为2； （）由（）可知，a2 时，f（x）lnx2x2+10，则xlnx2x3+x，得到 ex xlnx+2x3x2+x1ex2x3+x+2x3x
32、2+x1exx2+2x1 记 u（x）exx2+2x1（x0），利用两次求导证明 exxlnx+2x3x2+x10 【解答】（） 解： f （x） lnx+ax2+ （a+2） x+1， f （x） 2ax+a+2 （x0） ， 若 a0，则 f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 若 a0，由 f（x）0，得 0x ；由 f（x）0，得 x 函数 f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减； （）解：若 a0，则 f（1）2a+30，不满足 f（x）0 恒成立 若 a0，由（）可知，函数 f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调 递减 ，又 f（x）0 恒成
33、立， 0， 设 g（x）lnx+x，则 g（ ）0 函数 g（x）在（0，+）上单调递增，且 g（1）10，g（ ） 0， 存在唯一的 x0（ ， ），使得 g（x0）0 当 x（0，x0）时，g（x）0，当 x（x0，+）时，g（x）0 0 x 0，解得 a （2，1）， 又 aZ，a2 则综上 a 的最大值为2； （）由（）可知，a2 时，f（x）lnx2x2+10， lnx2x21，则xlnx2x3+x， exxlnx+2x3x2+x1ex2x3+x+2x3x2+x1exx2+2x1 记 u（x）exx2+2x1（x0），则 u（x）ex2x+2 记 h（x）ex2x+2，则 h（x）ex2， 由 h（x）0，得 xln2 当 x（0，ln2）时，h（x）0，当 x（ln2，+）时，h（x）0， 函数 h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增， 42ln20 h（x）0，即 u（x）0，故函数 u（x）在（0，+）上单调递增 u（x）u（0）e010，即 exx2+2x10 exxlnx+2x3x2+x10 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思 想方法，属难题