1、2020 年高考数学督导试卷（年高考数学督导试卷（5 月份）月份） 一.选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1设集合 U0，1，3，5，6，8，A1，5，8，B2，则（UA）B（ ） A0，2，3，6 B0，3，6 C1，2，5，8 D 2对于实数 a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3函数 的图象大致为（ ） A B C D 4已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，且两两垂直，ABC 是边长为 2 的正三角形，则球 O 的体积为（ ） A8 B4 C D 5已知圆 C：x2+y
2、2+8xm+20 与直线 x y+10 相交于 A，B 两点若ABC 为正三 角形，则实数 m 的值为（ ） A10 B11 C12 D11 6如果函数 y3cos（2x+）的图象关于点（ ，0）中心对称，那么|的最小值为（ ） A B C D 7已知奇函数 f（x）在 R 上是减函数，若 af（1og3 ），bf（ ），cf（20.8）， 则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 8已知双曲线 ， 与抛物线 y 22px（p0）的交点为：A、B，A、 B 连线经过抛物线的焦点 F，且线段 AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为 （ ） A 1 B3
3、 C D2 9已知函数 f（x） ， ， ，若方程 f（x）x+a 有 2 个不同的实根，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa|1al 或 al Ba|a1 或 0al 或 a1 Ca|al 或 a0 Da|a1 或 a0 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10已知复数 z03+i（i 为虚数单位），复数 z 满足 z z02z+z0，则|z| 11如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已 知甲组数据的中位数为15， 乙组数据的平均数为16.8， 则x， y的值分别为 ， 12一个袋中装有 10 个大小相同的黑球、白球和红球已知从
4、袋中任意摸出 2 个球，至少 得到一个白球的概率是 ，则袋中的白球个数为 ，若从袋中任意摸出 3 个球，记 得到白球的个数为 ，则随机变量 的数学期望 E 13若 的展开式中所有项系数和为 81，则展开式的常数项为 14若 x4，y1，且 xy12+x+4y，则 x+y 的最小值是 15如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE2EA，AD 与 CE 交于点 O若 6 ，则 的值是 三.解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16在ABC 中，a，b，C 为内角 A，B，C 的对边，且满足（2ca）cosBbcosA0 （）求
5、角 B 的大小； （）已知 c2，a3， （i）求 b 及 cosC； （ii）求 sin（2C ） 17 如图， 在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD， ABCBAD90， ADAP4， ABBC2，M，N 分别为线段 PC，AD 上的点（不在端点） （）当 M 为 PC 中点时，AN AD，求证：MN面 PBA； （）当 M 为中点且 N 为 AD 中点时，求证：平面 MBN平面 ABCD； （） 当N为AD中点时， 是否存在M， 使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 ， 若 存在，求出 MC 的长，若不存在，说明理由 18 已知数列an前 n 项和为 Sn n 2 n， 数
6、列bn等差， 且满足 b311， 前 9 项和为 153 （）求数列an、bn的通项公式； （）设 cn ，数列cn的前 n 项和为 Tn 19已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率 e ，椭圆 C 上的点到其左焦点的最 大距离为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 过点 A （a，0）作直线 l 与椭圆相交于点 B， 则 y 轴上是否存在点 P， 使得线段|PA| |PB|，且 4？如果存在，求出点 P 坐标；否则请说明理由 20（16 分）已知函数 f（x）msin（1x）+lnx （1）当 m1 时，求函数 f（x）在（0，1）的单调性； （2）当 m0 且 时， ，求函数 g（x）在
7、（0，e上的最小值； （3）当 m0 时， 有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求证：x1+x21 参考答案参考答案 一.选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1设集合 U0，1，3，5，6，8，A1，5，8，B2，则（UA）B（ ） A0，2，3，6 B0，3，6 C1，2，5，8 D 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论 解：U0，1，3，5，6，8，A1，5，8，B2， （UA）B0，3，621，0，2，3，6， 故选：A 2对于实数 a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】不等式的基本性质，“
8、ab”“ac2bc2”必须有 c20 这一条件 解：主要考查不等式的性质当 C0 时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边 故选：B 3函数 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据函数是否存在零点，以及 f（1）的符号，利用排除法进行判断即可 解：f（1） 0，排除 C，D， 由 0，则方程无解，即函数没有零点，排除 B， 故选：A 4已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，且两两垂直，ABC 是边长为 2 的正三角形，则球 O 的体积为（ ） A8 B4 C D 【分析】题意可知，把三棱锥 PABC 放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥 P ABC
9、的外接球，从而即可求出球 O 的半径，进而得到球 O 的体积 解：把三棱锥 PABC 放入正方体中，如图所示： ABC 是边长为 2 的正三角形， 此正方体的棱长为 ， 正方体的外接球即是三棱锥 PABC 的外接球， 球 O 的半径 R ， 球 O 的体积为： ， 故选：C 5已知圆 C：x2+y2+8xm+20 与直线 x y+10 相交于 A，B 两点若ABC 为正三 角形，则实数 m 的值为（ ） A10 B11 C12 D11 【分析】由题意求出圆心 C 的坐标，由直线与圆相交，用圆的半径和圆心到直线的距离 和半个弦长构成直角三角形求出弦长，再由若ABC 为正三角形，求出 m 的值 解
10、：圆 C：x2+y2+8xm+20 化为标准方程是（x+4）2+y214+m； 则圆心 C（4，0），半径为 （其中 m14）； 所以圆心 C 到直线 的距离为 ，在等边三角形中得， ， 解得 m10， 故选：A 6如果函数 y3cos（2x+）的图象关于点（ ，0）中心对称，那么|的最小值为（ ） A B C D 【分析】先根据函数 y3cos（2x+）的图象关于点 ， 中心对称，令 x 代入函 数使其等于 0，求出 的值，进而可得|的最小值 解：函数 y3cos（2x+）的图象关于点 ， 中心对称 由此易得 故选：A 7已知奇函数 f（x）在 R 上是减函数，若 af（1og3 ），bf（
11、 ），cf（20.8）， 则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小 解：奇函数 f（x）在 R 上是减函数， log34 （1，2）， 0，20.8 （0，1）， af（1og3 ）f（log 34），bf（ ），cf（20.8）f（ ）， 则 acb， 故选：B 8已知双曲线 ， 与抛物线 y 22px（p0）的交点为：A、B，A、 B 连线经过抛物线的焦点 F，且线段 AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为 （ ） A 1 B3 C D2 【分析】由已知条件推导出|AB|2p2b，从而得到 A
12、（ ， ），由此能求出双曲线的 离心率 解：双曲线 ， 与抛物线 y 22px（p0）的交点为：A、B， A、B 连线经过抛物线的焦点 F，且线段 AB 的长等于双曲线的虚轴长， |AB|2p2b，即 pb， A（ ， ），把 A（ ， ）代入双曲线 ， ， 得 ，整理，得：b 28a2， c2a2+b29a2， c3a， e 3 故选：B 9已知函数 f（x） ， ， ，若方程 f（x）x+a 有 2 个不同的实根，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa|1al 或 al Ba|a1 或 0al 或 a1 Ca|al 或 a0 Da|a1 或 a0 【分析】先利用导数的几何意义求出当直线 yx
13、+a 与曲线 ylnx 相切时 a1，当 x0 时，f（x）x2ax，令 f（x）x+a， 得（x1）（x+a）0，再对 a 的值分情况讨论，分段分析方程 f（x）x+a 的实根的个 数，从而得到 a 的取值范围 解：当直线 yx+a 与曲线 ylnx 相切时，设切点为（t，lnt），则切线斜率为 k 1， 所以 t1，切点为（1，0），代入 yx+a 得，a1， 又 x0 时，f（x）x2ax，令 f（x）x+a，得x2axx+a，即（x1）（x+a） 0， 所以当 a1 时，lnxx+a（x0）有 1 个实根，此时（x1）（x+a）0（x0） 有 1 个实根，满足条件； 当 a1 时，ln
14、xx+a（x0）有 2 个实根，此时（x1）（x+a）0（x0）有 1 个实根，不满足条件； 当 a1 时，lnxx+a（x0）无实根，此时要使（x1）（x+a）0（x0）有 2 个实根，应有a0 且a1，即 a0 且 a1， 综上所述，实数 a 的取值范围是a|a1 或 0a1 或 a1， 故选：B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10已知复数 z03+i（i 为虚数单位），复数 z 满足 z z02z+z0，则|z| 【分析】把已知等式变形，再把 z03+i 代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，最后 由复数模的计算公式求解 解：由 z z02z+z0，得（
15、z02）zz0， z03+i，z ， 则|z| 故答案为： 11如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已 知甲组数据的中位数为 15， 乙组数据的平均数为 16.8， 则 x， y 的值分别为 5 ， 8 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出 x、y 的值 解：根据茎叶图中的数据，得： 甲组数据的中位数为 15，x5； 又乙组数据的平均数为 16.8， 16.8， 解得：y8； 综上，x、y 的值分别为 5、8 故答案为：5 8 12一个袋中装有 10 个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出 2 个球，至少 得到一个白球的概率是
16、，则袋中的白球个数为 5 ，若从袋中任意摸出 3 个球，记得 到白球的个数为 ，则随机变量 的数学期望 E 【分析】根据至少得到一个白球的概率是 ，可得全取到黑球的概率为 ，结合超几何分 布的相关知识可得白球个数，以及随机变量 的期望 解：依题意，设白球个数为 x，至少得到一个白球的概率是 ，则全是黑球的概率为 ， 所以 ，即（10x）（9x）20，解得 x5， 依题意，随机变量 H（10，5，3），所以 E ， 故答案为：5， 13若 的展开式中所有项系数和为 81，则展开式的常数项为 8 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于令，求得 r 的值，可得展开式 的常数项 解：若
17、 的展开式中所有项系数和为 3n81，n4 则展开式的通项公式为 Tr+1 24r ，令 4 0，求得 r3， 可得常数项为 28， 故答案为：8 14若 x4，y1，且 xy12+x+4y，则 x+y 的最小值是 13 【分析】由条件可知 x40，y10，所以（x4）（y1）16 ，解之得最小值 解：因为 x4，y1 且 xy12+x+4y， 所以 x40，y10，则（x4） （y1）xyx4y+412+416 ， 当且仅当 x4y14 时取等号， 所以（x+y5）264，解得 x+y58， 故 x+y13 所以最小值为 13 故答案为：13 15如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E
18、 在边 AB 上，BE2EA，AD 与 CE 交于点 O若 6 ，则 的值是 【分析】首先算出 ，然后用 、 表示出 、 ，结合 6 得 ，进一步可得结果 解：设 （ ）， （ ） （1） ， ， （ ）， ， 6 6 （ ） （ ） （ ） ， ， ， 3， 故答案为： 三.解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16在ABC 中，a，b，C 为内角 A，B，C 的对边，且满足（2ca）cosBbcosA0 （）求角 B 的大小； （）已知 c2，a3， （i）求 b 及 cosC； （ii）求 sin（2C ） 【分析】 （） 由已知及正弦定理，
19、 三角函数恒等变换的应用， 结合 sinC0， 可得 cosB ，根据范围 B （0，）可求 B 的值 （）（i）由已知利用余弦定理可求 b 及 cosC 的值；（ii）利用同角三角函数基本关系 式可求 sinC 的值，进而利用二倍角公式可求 sin2C，cos2C 的值，根据两角差的正弦函数 公式即可解得 sin（2C ）的值 解：（）（2ca）cosBbcosA0， 由正弦定理得（2sinCsinA）cosBsinBcosA0， （2sinCsinA）cosBsinBcosA， 2sinCcosBsin（A+B）， A+BC，且 sinC0， cosB ， B （0，）， B （）（i）B
20、 ，c2，a3， b ， cosC （ii）sinC ， sin2C2sinCcosC ，cos2C2cos2 C1 ， sin（2C ）sin2Ccos cos2Csin 17 如图， 在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD， ABCBAD90， ADAP4， ABBC2，M，N 分别为线段 PC，AD 上的点（不在端点） （）当 M 为 PC 中点时，AN AD，求证：MN面 PBA； （）当 M 为中点且 N 为 AD 中点时，求证：平面 MBN平面 ABCD； （） 当N为AD中点时， 是否存在M， 使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 ， 若 存在，求出 MC 的长，若不
21、存在，说明理由 【分析】 （）取 BC 中点 E，连结 ME，NE，推导出 MEPB，NEAB，从而平面 PAB 平面 MNE，由此能证明 MN面 PBA （）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能证明平面 MBN平面 ABCD （）假设存在存在 M（a，b，c），使得直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ， 推导出 M（22，22，4），求出平面 PBC 的法向量，利用向量法能 推导出不存在 M，使得直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 解：（）证明：取 BC 中点 E，连结 ME，NE， 在四棱锥 PABCD
22、 中，PA平面 ABCD，ABCBAD90， ADAP4，ABBC2，M 为 PC 中点，AN AD， MEPB，NEAB， PBABB，MENEE，平面 PAB平面 MNE， MN平面 MNE，MN面 PBA （）证明：以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），M（1，1，2），N（0，2，0）， （1，1，2）， （1，1，2）， 设平面 MBN 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1，1，0）， 平面 ABCD 的法向量 （0，0，1）， 0，平面 MBN平面 ABC
23、D （） 解： 假设存在存在 M （a， b， c） ， 使得直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ， 则（a2，b2，c）（2，2，4），解得 a22，b22，c4，M（2 2，22，4）， 则 （22，2，4）， （0，2，0）， （2，0，4）， 设平面 PBC 的法向量 （a，b，c）， 则 ，取 a2，得 （2，0，1）， 直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ， ， 整理，得 2428+30，无解， 不存在 M，使得直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 18 已知数列an前 n 项和为 Sn n 2 n， 数列bn等差， 且满足 b311， 前 9 项和为
24、153 （）求数列an、bn的通项公式； （）设 cn ，数列cn的前 n 项和为 Tn 【分析】（）运用数列的递推式：n1 时，a1S1，n2 时，anSnSn1，可得 an； 再设bn的公差为 d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而 得到 bn； （）求得 cn （ ），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和 解：（）由 Sn n 2 n，可得 a1S1 6， n2 时，anSnSn1 n 2 n （n1） 2 （n1）n+5，对 n1 也成立， 则 ann+5，n 一、选择题*， 由数列bn等差，公差设为 d，满足 b311，前 9 项和为 153， 可得 b1+
25、2d11，9b1+36d153，即 b1+4d17，解得 b15，d3， 则 bn5+3（n1）3n+2，n N*； （）cn （ ）， 则前 n 项和为 Tn （1 ） （1 ） 19已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率 e ，椭圆 C 上的点到其左焦点的最 大距离为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 过点 A （a，0）作直线 l 与椭圆相交于点 B， 则 y 轴上是否存在点 P， 使得线段|PA| |PB|，且 4？如果存在，求出点 P 坐标；否则请说明理由 【分析】（1）由题意可得： ，a+c2 ，b2a2c2联立解得：a，c，b可 得椭圆 C 的方程 （2）由（1）可得：A（2
26、，0），设 B（x1，y1），由题意直线 l 的斜率存在，设为 k则 直线 l 的方程为：yk（x+2），联立方程 ，化为：（1+4k 2）x2+16k2x+16k2 40， 利用根与系数的关系可得 B 坐标 假设在 y 轴上存在点 P， 使得线段|PA|PB|， 且 4，由|PA|PB|，得点 P 为线段 AB 的中垂线与 y 轴的交点，设 P（0，y0） 设线段 AB 中点为 M，则 M（ ， ）以下分两种情况，利用中垂线方程及其 数量积运算性质即可得出 解：（1）由题意可得： ，a+c2 ，b2a2c2 联立解得：a2，c ，b1 椭圆 C 的方程为： y 21 （2）由（1）可得：A（
27、2，0），设 B（x1，y1），由题意直线 l 的斜率存在，设为 k 则直线 l 的方程为：yk（x+2），联立方程 ，化为： （1+4k 2）x2+16k2x+16k2 40， 由2x1 ，得：x1 ，则 y1 假设在 y 轴上存在点 P，使得线段|PA|PB|，且 4， 由|PA|PB|，得点 P 为线段 AB 的中垂线与 y 轴的交点，设 P（0，y0） 设线段 AB 中点为 M，则 M（ ， ） 以下分两种情况：当 k0 时，点 B（2，0），此时 AB 的中垂线为 y 轴， 于是 （2， y0） ， （2， y0） ， 由 4， 可得： 8 解得 y0 当 k0 时，线段 AB 的中
28、垂线方程为：y （x ），令 x0，解得 y0 2x1y0（y1y0 ） （ ）4，化为： 16k4+15k210， 解得：k ，y0 综上可得： y轴上存在点P， 使得线段|PA|PB|， 且 4， 点P的坐标为： （0， ） ， 或（0， ） 20（16 分）已知函数 f（x）msin（1x）+lnx （1）当 m1 时，求函数 f（x）在（0，1）的单调性； （2）当 m0 且 时， ，求函数 g（x）在（0，e上的最小值； （3）当 m0 时， 有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求证：x1+x21 【分析】（1）将 m1 代入 f（x）中，然后求导判断 f（x）在（0，1）上的单调
29、性； （2）由条件求出 g（x）的解析式，然后求导判断 g（x）在（0，e上的单调性，再求出 其最小值； （3）求出个零点 x1，x2，得到 ，构造函数 ， 根据函数的单调性证明即可 解：（1）当 m1 时，f（x）sin（1x）+lnx，则 f（x）cos（1x） ， 当 x （0，1），f（x）在（0，1）上单调递减，f（x）f（1）0， 当 x （0，1）时，f（x）在（0，1）上单调递增 （2）当 m0 时， （ ，0xe）， 则 ， ，g（x）0，g（x）在（0，e上单调递减， （3）当 m0 时， ， x1，x2是函数 的两个零点， ， ， 两式相减，可得 ，即 ， ， ， 令 （0t1），则 记 ，则 0t1，F（t）0 恒成立，F（t）F（1）， 即 ， 故 x1+x21