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2020年天津市河东区高考数学一模试卷(含答案解析)

1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题 1已知集合 A2,3,4,4,5,Bx|x1|,则 AB( ) A2,3,4 B2,4,5 C1,2,3,4,0,1,2,3,4,5 D2,4 2i 是虚数单位,复数 Z 满足条件 2Z+|Z|2i,则复数 Z 在复平面的坐标为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3双曲线 1(a0)的一条渐进线与直线 y x 垂直,则 a 的值为( ) A5 B25 C D1 4已知平面 、,直线 l,直线 m 不在平面 上,下列说法正确的是( ) A若 ,m,则 lm B若 ,m,则 lm C若 1m,则 m D若 lm,m,则

2、 5对于非零向量 、 ,“2 ”是“ , 共线”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知函数 f(x)为定义在3,3的奇函数,且 f(2)f(1)f(3)0,则下列各 式一定正确的是( ) Af(1)f(log2 )f(0)f(log 9) Bf(log 9)+f(1)f(log2 )+f(0) Cf(log 9)+f(1)f(1)f(log28) Df(log 9)+f(1)f(log2 )+f(0) 7三角形 ABC 中,A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,A ,b3,三角形 ABC 的面积为 ,则边 a 的值为( ) A B C7 D4

3、9 8已知实数 a、b,ab0,则 的最大值为( ) A B C D6 9已知函数 f(x)sin(4x )(x0, ),函数 g(x)f(x)+a 有三个零点 x1, x2,x3,则 x1+x2+x3的取值范围是( ) A , B , C0, ) D , ) 二、填空题 10在( ) 5 的展开式中,xy3的系数是 11 已知抛物线的焦点为 F (0, ) , 点 P (1, t) 在抛物线上, 则点 P 到 F 的距离 12已知圆 O 过点 A(0,0)、B(0,4)、C(1,1),点 D(3,4)到圆 O 上的点最小 距离为 13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为 ,以底面中心为球心,经

4、过四棱锥四条侧棱中 点的球的表面积为 14已知圆 O 内接正三角形 ABC 边长为 2,圆心为 O,则 ,若线段 BC 上一点 D,BD DC, 15函数 f(x)x,g(x)x2x+3,若存在 x1,x2,xn0, ,使得 f(x 1)+f(x2) +f(xn1)+g(xn)g(x1)+g(x2)+g(xn1)+f(xn),nN*,则 n 的最大值 为 三、解答题 16已知递增等差数列an,等比数列bn,数列cn,a1c11,c49,a1、a2、a5成等 比数列,bnan+cn,nN* (1)求数列an、bn的通项公式; (2)求数列cn的前 n 项和 Sn 17“海河英才”行动计划政策实施

5、 1 年半以来,截止 2019 年 11 月 30 日,累计引进各类 人才落户 23.5 万人具体比例如图,新引进两院院士,长江学者,杰出青年,科学基金 获得者等顶尖领军人才 112 人,记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查 (1)李军抽取了 8 人其中学历型人才 4 人,技能型人才 3 人,资格型人才 1 人,周二和 周五随即进行采访, 每天 4 人 (4 人任意顺序) , 周五采访学历型人才不超过 2 人的概率: (2)李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助,学历型人才 500 元/人,技能型人才 400 元/人,资格型人才 600 元/人,则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名

6、人才平均 采访补贴费用大于等于 500 元/人? 18如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,正方形 ABCD 边长为 2,E 是 PA 的 中点 (1)求证:PC平面 BDE; (2)求证:直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ,求 PA 的长度; (3) 若 PA2, 线段 PC 上是否存在一点 F, 使 AF平面 BDE, 若存在, 求 PF 的长度, 若不存在,请说明理由 19已知椭圆 1(ab0)的右焦点为 F(c,0),左右顶点分别为 A,B,上顶 点为 C,BFC120 (1)求椭圆离心率; (2)点 F 到直线 BC 的距离为 ,求椭圆方程; (3)在(2)

7、的条件下,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点,直线 AP 与直线 x2 交于点 D,说明 P 运动时以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并证明 20已知函数 f(x)x2x+klnx,k0 (1)函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为 2,求 k 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性; (3)若函数 f(x)有两个不同极值点为 x1、x2,证明|f(x1)f(x2)| 2k 参考答案参考答案 一.选择题 1已知集合 A2,3,4,4,5,Bx|x1|,则 AB( ) A2,3,4 B2,4,5 C1,2,3,4,0,1,2,3,4,5 D2,4 【分析】求出 B 中不

8、等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可 解:集合 A2,3,4,4,5,Bx|x1|(+1,+1) AB2,4, 故选:D 2i 是虚数单位,复数 Z 满足条件 2Z+|Z|2i,则复数 Z 在复平面的坐标为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】设 Zx+yi, (x,yR)由 2Z+|Z|2i,可得 2(x+yi) 2i,可得: 2x 0,2y2,解出即可得出 解:设 Zx+yi,(x,yR) 2Z+|Z|2i,2(x+yi) 2i, 可得:2x 0,2y2, 解得 y1,x 复数 Z 在复平面的坐标为( ,1)在第二象限 故选:B 3双曲线 1(a0)

9、的一条渐进线与直线 y x 垂直,则 a 的值为( ) A5 B25 C D1 【分析】首先根据题意,由双曲线的方程判断出 a0,进而可得其渐近线的方程;再求 得直线 y x 的斜率,根据直线垂直关系列出方程,求解即可 解:根据题意,双曲线 1(a0)的一条渐进线为 y x; 直线 y x 的斜率为 , 双曲线 1(a0)的一条渐进线与直线 y x 垂直,必有双曲线的一条渐近 线的斜率为 ; 即 a5, 故选:A 4已知平面 、,直线 l,直线 m 不在平面 上,下列说法正确的是( ) A若 ,m,则 lm B若 ,m,则 lm C若 1m,则 m D若 lm,m,则 【分析】由空间中直线与直

10、线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得 答案 解:对于 A,若 ,m,则 lm 或 l 与 m 异面,故 A 错误; 对于 B,若 ,m,则 m,又 l,则 lm,故 B 正确; 对于 C,若 1m,则 m 或 m,故 C 错误; 对于 D,若 lm,m,则 或 与 相交,故 D 错误 故选:B 5对于非零向量 、 ,“2 ”是“ , 共线”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】对于非零向量 、 ,“2 ”“ , 共线”,反之不一定成立,可举例说 明 解:对于非零向量 、 ,“2 ”“ , 共线”, 反之不一定成立,可能: 2

11、等 “2 ”是“ , 共线”的充分不必要条件 故选:B 6已知函数 f(x)为定义在3,3的奇函数,且 f(2)f(1)f(3)0,则下列各 式一定正确的是( ) Af(1)f(log2 )f(0)f(log 9) Bf(log 9)+f(1)f(log2 )+f(0) Cf(log 9)+f(1)f(1)f(log28) Df(log 9)+f(1)f(log2 )+f(0) 【分析】根据题意,由奇函数的性质可得 f(0)0,据此结合不等式的性质依次分析选 项,综合即可得答案 解:根据题意,函数 f(x)为定义在3,3的奇函数,则有 f(0)0, 据此分析选项: 对于 A,f(1)f(log

12、2 )f(0)f(log 9),即 f(1)f(3)f(0)f( 2),变形可得 f(1)+f(3)f(2),不一定正确; 对于 B,f(log 9)+f(1)f(log2 )+f(0),即 f(2)+f(1)f(3)+f (0),变形可得 f(2)+f(1)f(3),不正确; 对于 C,f(log 9)+f(1)f(1)f(log28),即f(2)+f(1)f(1) f(3),变形可得 f(2)2f(1)+f(3)0,不一定正确; 对于 D,f(log 9)+f(1)f(log2 )+f(0),即 f(2)+f(1)f(3), 变形可得 f(2)+f(1)f(3), 又由 f(2)f(1)f

13、(3)0,则必有 f(2)+f(1)f(3),故 D 一定正确; 故选:D 7三角形 ABC 中,A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,A ,b3,三角形 ABC 的面积为 ,则边 a 的值为( ) A B C7 D49 【分析】由已知利用三角形的面积公式可求 c 的值,进而根据余弦定理可求 a 的值 解:A ,b3,三角形 ABC 的面积为 bcsinA , 解得:c5, 由余弦定理可得:a 7 故选:C 8已知实数 a、b,ab0,则 的最大值为( ) A B C D6 【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果 解:由于 a2+b22ab0, 所以 , 故: ,(

14、当且仅当 ab 时,等号成立) 故选:A 9已知函数 f(x)sin(4x )(x0, ),函数 g(x)f(x)+a 有三个零点 x1, x2,x3,则 x1+x2+x3的取值范围是( ) A , B , C0, ) D , ) 【分析】根据题意画出函数 f(x)的图象,函数 g(x)f(x)+a 有三个零点,等价于 函数 yf (x) 与函数 ya 有三个交点, 利用数形结合法即可求出 x1+x2+x3的取值范围 解:根据题意画出函数 f(x)的图象,如图所示: , 函数 g(x)f(x)+a 有三个零点,等价于函数 yf(x)与函数 ya 有三个交点, 当直线 l 位于直线 l1与直线

15、l2之间时,符合题意, 由图象可知: , , 所以 , 故选:D 二、填空题 10在( ) 5 的展开式中,xy3的系数是 【分析】写出二项展开式的通项,得到 r 值,则答案可求 解:( ) 5的展开式的通项为 取 r3,可得( ) 5的展开式 xy3的系数为 故答案为: 11已知抛物线的焦点为 F(0, ),点 P(1,t)在抛物线上,则点 P 到 F 的距离 1 【分析】先通过焦点坐标,求出 p 和抛物线的方程,再把点 P 的坐标代入,可求得 t,然 后利用抛物线的定义即可得解 解:设抛物线的方程为 x22py(p0), 抛物线的焦点为 F(0, ),p1,抛物线的方程为 x 22y, 把

16、点 P(1,t)代入 x22y,得 12t,t , 由抛物线的定义可知, 点 P 到 F 的距离为 故答案为:1 12已知圆 O 过点 A(0,0)、B(0,4)、C(1,1),点 D(3,4)到圆 O 上的点最小 距离为 【分析】 由题意利用用待定系数法求出圆的方程, 再根据点和圆的位置关系, 得出结论 解:设圆 O 的方程为 x2+y2+dx+ey+f0,圆 O 过点 A(0,0)、B(0,4)、C(1,1), ,求得 ,故圆的方程为 x2+y2+2x4y0, 即 (x+1)2+(y2)25,表示圆心为(1,2)、半径为 的圆 |DO| 2 , 故点 D(3,4)到圆 O 上的点最小距离为

17、 2 , 故答案为: 13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为 ,以底面中心为球心,经过四棱锥四条侧棱中 点的球的表面积为 6 【分析】先利用正四棱锥的体积求出底面边长,根据题意,四棱锥四条侧棱中点围成一 个边长为 1 的正方形 EFGH,而球 O 是以正方形 EFGH 为底面,点 O 为中心的长方体的 外接球,从而利用长方体的外接球即可求出球 O 的半径,进而求出球 O 的表面积 解:设正四棱锥的底面边长为 a,则高也是 a, 所以正四棱锥的体积为: , 解得:a2, 设底面中心为点 O,则 O 为球心, 易知四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为 1 的正方形 EFGH,如图所示: , 因为球 O

18、 经过四棱锥四条侧棱中点,所以球 O 是以正方形 EFGH 为底面,点 O 为中心 的长方体的外接球, 显然长方体的高为 2, 所以球 O 的半径 R , 所以球 O 的表面积为:4R24 6, 故答案为:6 14已知圆 O 内接正三角形 ABC 边长为 2,圆心为 O,则 ,若线段 BC 上一点 D,BD DC, 【分析】先根据正弦定理求得半径 R,进而求得第一个空,再结合向量的三角形法则求 得第二个空 解:因为ABC 是半径为 R 的O 的内接正三角形 所以 2R,解得 R 显然OBC 是等腰三角形,且 OBOCR,BOC120 R 2 cos120 , 线段 BC 上一点 D,BD DC

19、, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 22cos60 2 2 ) ; 故答案为: , 15函数 f(x)x,g(x)x2x+3,若存在 x1,x2,xn0, ,使得 f(x 1)+f(x2) +f(xn1)+g(xn)g(x1)+g(x2)+g(xn1)+f(xn),nN*,则 n 的最大值 为 8 【分析】因为 f(x1)+f(x2)+f(xn1)+g(xn)g(x1)+g(x2)+g(xn1)+f (xn)等价于(x11)2+2+(x21)2+2+(xn 11)2+2(xn1)2+2 有解,又左 边的最小值为 2(n1),右边的最大值为 ,所以 2(n1) 且 n 为正整数

20、,从而 可得 n 的最大值为 8 解:因为 f(x1)+f(x2)+f(xn1)+g(xn)g(x1)+g(x2)+g(xn1)+f(xn) 等价于(x11)2+2+(x21)2+2+(xn11)2+2(xn1)2+2 有解, , , , , , (x11)2+2+(x21)2+2+(xn11)2+22(n1),(xn1)2+2 , 根据题意得 2(n1) 且 n 为正整数, n ,n 的最大值为 8, 故答案为:8 三、解答题 16已知递增等差数列an,等比数列bn,数列cn,a1c11,c49,a1、a2、a5成等 比数列,bnan+cn,nN* (1)求数列an、bn的通项公式; (2)

21、求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】 (1)设等差数列的公差为 d,d0,由等比数列的中项性质,解方程可得公差, 进而得到 an;再由 b1a1+c1,可得bn的首项,结合等比数列的通项公式求得公比,进 而得到 bn; (2)求得 cnbnan2n(2n1),再由数列的分组求和,结合等差数列和等比数列 的求和公式,可得所求和 解:(1)递增等差数列an的公差设为 d,d0, a1、a2、a5成等比数列,可得 a22a1a5, 即(a1+d)2a1(a1+4d),即为(1+d)21+4d,解得 d2(0 舍去), 则 an2n1,nN*; 等比数列bn的公比设为 q, b1a1+c12,bn

22、2qn1, b4a4+c416,即有 q3 8,解得 q2, 则 bn2n,nN*; (2)cnbnan2n(2n1), 前 n 项和 Snc1+c2+cn(2+22+2n)1+3+(2n1) (1+2n1)n2 n+12n2 17“海河英才”行动计划政策实施 1 年半以来,截止 2019 年 11 月 30 日,累计引进各类 人才落户 23.5 万人具体比例如图,新引进两院院士,长江学者,杰出青年,科学基金 获得者等顶尖领军人才 112 人,记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查 (1)李军抽取了 8 人其中学历型人才 4 人,技能型人才 3 人,资格型人才 1 人,周二和 周五随即进

23、行采访, 每天 4 人 (4 人任意顺序) , 周五采访学历型人才不超过 2 人的概率: (2)李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助,学历型人才 500 元/人,技能型人才 400 元/人,资格型人才 600 元/人,则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均 采访补贴费用大于等于 500 元/人? 【分析】(1)设事件 A 表示“周五采访学历型人才不超过 2 人”,利用古典概型概率计 算公式能求出周五采访学历型人才不超过 2 人的概率 (2)设创业急需型人才最少需要 x 元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/ 人,各类人才的补贴数额为随机变量 ,取值分别为 400,5

24、00,600,x,分别求出相应 的概率,进而求出 E()484.6+0.018x,由 484.6+0.018x500,能求出结果 解:(1)设事件 A 表示“周五采访学历型人才不超过 2 人”, 则周五采访学历型人才不超过 2 人的概率为: P(A) (2)设创业急需型人才最少需要 x 元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/ 人, 各类人才的补贴数额为随机变量 ,取值分别为 400,500,600,x, P(400)25.5%0.255, P(500)53.6%0.536, P(600)19.1%0.191, P(x)1.8%0.018, E()4000.255+5000.53

25、6+6000.191+0.018x484.6+0.018x, 484.6+0.018x500, 解得 x 855.56, 创业急需型人才最少需要 855.56 元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/ 人 18如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,正方形 ABCD 边长为 2,E 是 PA 的 中点 (1)求证:PC平面 BDE; (2)求证:直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ,求 PA 的长度; (3) 若 PA2, 线段 PC 上是否存在一点 F, 使 AF平面 BDE, 若存在, 求 PF 的长度, 若不存在,请说明理由 【分析】(1)由题意,以

26、D 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz设 PA a(a0),求出平面 BDE 的一个法向量为 , , 与 的坐标,利用 ,结合 PC平面 BDE,可得 PC平面 BDE; (2)设平面 PCD 的法向量为 , , ,求出 , , 及 , , ,由已知线面角的正弦值结合两向量所成角的余弦值列式求得 a 值,可得 PA 的长度是 2 或 4; (3) 由 PA2, 得 P (2, 2, 0) , 设线段 PC 上存在一点 F, 使 AF平面 BDE, 且 , 得 到 F(22,22,2),再由 与 共线求得 ,得到 的坐标,则|PF|可求 【解答】(1)证明:PA平面 ABCD,AB

27、CD 为正方形, 以 D 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz 设 PAa(a0) 则 A(0,2,0),B(0,2,2),C(0,0,2),D(0,0,0), P(a,2,0),E( , , ) , , , 设平面 BDE 的一个法向量为 , , , , , , , , 由 ,取 y11,得 , , , 又 PC平面 BDE,PC平面 BDE; (2)证明:设平面 PCD 的法向量为 , , , , , , , , , 由 ,令 x2 2,得 , , , , , 由题意,|cos , | | , 解得 a2 或 4, PA 的长度是 2 或 4; (3)解:PA2,P(2,2,0

28、), 设线段 PC 上存在一点 F,使 AF平面 BDE,且 , 由 ,得 F(22,22,2), 又 , , , , , , 由 ,解得 |PF| | 19已知椭圆 1(ab0)的右焦点为 F(c,0),左右顶点分别为 A,B,上顶 点为 C,BFC120 (1)求椭圆离心率; (2)点 F 到直线 BC 的距离为 ,求椭圆方程; (3)在(2)的条件下,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点,直线 AP 与直线 x2 交于点 D,说明 P 运动时以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并证明 【分析】(1)根据BFC120可知,OFC60,再结合锐角三角函数即可求得 离心率; (2)由

29、(1)的结论,先导出 b 与 c 的关系,确定 B 和 C 的坐标后,写出直线 BC 的方 程,利用点到直线的距离公式可建立 a 与 c 的等量关系,再结合 a2c,即可求得 a、b、 c 的值,于是得解; (3)直线 AP 的斜率一定存在,设其方程为 yk(x+2)(k0),点 P 的坐标为(xP, yP),将其与椭圆的方程联立,利用两根之积可表示出点 P 的坐标;把 x2 代入直线 AP 方程可求出点 D 的坐标,从而得到以 BD 为直径的圆的圆心 E 的坐标;然后分 PFx 轴和 PF 不垂直 x 轴两个类别讨论圆 E 与直线 PF 的位置关系即可 解:(1)BFC120,OFC60,即

30、 故椭圆的离心率为 (2)由(1)可知,a2c, , B(a,0),C(0,b),直线 BC 的方程为 , 点 F 到直线 BC 的距离 ,即 ac1, a2,c1,b , 故椭圆的方程为 (3)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切证明如下: 直线 AP 的斜率一定存在,设其方程为 yk(x+2)(k0),点 P 的坐标为(xP,yP), 联立 得,(4k 2+3)x2+16k2x+16k2120, 即 , , 把 x2 代入 yk(x+2)得,y4k,点 D(2,4k),以 BD 为直径的圆的圆心 E 的坐标为(2,2k), 当 PFx 轴,即 时,点 P( , ),直线 PF 方程为 x

31、1,圆心 E(2,1), 半径为 1,圆 E 与直线 PF 相切; 当PF不垂直x轴, 即 时, , 直线PF方程为 , 点 E 到直线 PF 的距离 , 为圆 E 的半径, 圆 E 与直线 PF 相切 综上所述,当点 P 运动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切 20已知函数 f(x)x2x+klnx,k0 (1)函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为 2,求 k 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性; (3)若函数 f(x)有两个不同极值点为 x1、x2,证明|f(x1)f(x2)| 2k 【分析】(1)直接令 x1 处的导数值为 2 即可; (2)讨论导数的零点存在情

32、况及大小情况,确定导数的在每个区间上的符号,从而确定 原函数的单调性; (3)利用极值点满足的韦达定理,将 f(x1)f(x2)转化为关于 的函数,然后再结 合要解决的问题,最终化归为一个不等式恒成立,求函数的最值的问题 解:(1) ,f(1)1+k2,k1 (2)令 f(x)0 得:2x2x+k0,18k 当 时,0,f(x)0,f(x)在(0,+)上递增; 当 时,0, , ,故 x1,x20 , , , 可知:f(x)在 , , , 上递增;在 , 上 递减 (3)证明:由(2)知, ,f(x2)f(x1) 所以 f(x1)f(x2) (x1x2)(x1+x21)+kln ,令 , 则 ,只需证明 即证:g(t) 又 ,且 1t 21(18k)8k, ,g(t)在(0,1)上递增, 所以 g(t)g(0)0,得证