1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题 1已知集合 A2，3，4，4，5，Bx|x1|，则 AB（ ） A2，3，4 B2，4，5 C1，2，3，4，0，1，2，3，4，5 D2，4 2i 是虚数单位，复数 Z 满足条件 2Z+|Z|2i，则复数 Z 在复平面的坐标为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3双曲线 1（a0）的一条渐进线与直线 y x 垂直，则 a 的值为（ ） A5 B25 C D1 4已知平面 、，直线 l，直线 m 不在平面 上，下列说法正确的是（ ） A若 ，m，则 lm B若 ，m，则 lm C若 1m，则 m D若 lm，m，则
2、 5对于非零向量 、 ，“2 ”是“ ， 共线”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知函数 f（x）为定义在3，3的奇函数，且 f（2）f（1）f（3）0，则下列各 式一定正确的是（ ） Af（1）f（log2 ）f（0）f（log 9） Bf（log 9）+f（1）f（log2 ）+f（0） Cf（log 9）+f（1）f（1）f（log28） Df（log 9）+f（1）f（log2 ）+f（0） 7三角形 ABC 中，A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，A ，b3，三角形 ABC 的面积为 ，则边 a 的值为（ ） A B C7 D4
3、9 8已知实数 a、b，ab0，则 的最大值为（ ） A B C D6 9已知函数 f（x）sin（4x ）（x0， ），函数 g（x）f（x）+a 有三个零点 x1， x2，x3，则 x1+x2+x3的取值范围是（ ） A ， B ， C0， ） D ， ） 二、填空题 10在（ ） 5 的展开式中，xy3的系数是 11 已知抛物线的焦点为 F （0， ） ， 点 P （1， t） 在抛物线上， 则点 P 到 F 的距离 12已知圆 O 过点 A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点 D（3，4）到圆 O 上的点最小 距离为 13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为 ，以底面中心为球心，经
4、过四棱锥四条侧棱中 点的球的表面积为 14已知圆 O 内接正三角形 ABC 边长为 2，圆心为 O，则 ，若线段 BC 上一点 D，BD DC， 15函数 f（x）x，g（x）x2x+3，若存在 x1，x2，xn0， ，使得 f（x 1）+f（x2） +f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn），nN*，则 n 的最大值 为 三、解答题 16已知递增等差数列an，等比数列bn，数列cn，a1c11，c49，a1、a2、a5成等 比数列，bnan+cn，nN* （1）求数列an、bn的通项公式； （2）求数列cn的前 n 项和 Sn 17“海河英才”行动计划政策实施
5、 1 年半以来，截止 2019 年 11 月 30 日，累计引进各类 人才落户 23.5 万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金 获得者等顶尖领军人才 112 人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查 （1）李军抽取了 8 人其中学历型人才 4 人，技能型人才 3 人，资格型人才 1 人，周二和 周五随即进行采访， 每天 4 人 （4 人任意顺序） ， 周五采访学历型人才不超过 2 人的概率： （2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才 500 元/人，技能型人才 400 元/人，资格型人才 600 元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名
6、人才平均 采访补贴费用大于等于 500 元/人？ 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，正方形 ABCD 边长为 2，E 是 PA 的 中点 （1）求证：PC平面 BDE； （2）求证：直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ，求 PA 的长度； （3） 若 PA2， 线段 PC 上是否存在一点 F， 使 AF平面 BDE， 若存在， 求 PF 的长度， 若不存在，请说明理由 19已知椭圆 1（ab0）的右焦点为 F（c，0），左右顶点分别为 A，B，上顶 点为 C，BFC120 （1）求椭圆离心率； （2）点 F 到直线 BC 的距离为 ，求椭圆方程； （3）在（2）
7、的条件下，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，直线 AP 与直线 x2 交于点 D，说明 P 运动时以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系，并证明 20已知函数 f（x）x2x+klnx，k0 （1）函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为 2，求 k 的值； （2）讨论函数 f（x）的单调性； （3）若函数 f（x）有两个不同极值点为 x1、x2，证明|f（x1）f（x2）| 2k 参考答案参考答案 一.选择题 1已知集合 A2，3，4，4，5，Bx|x1|，则 AB（ ） A2，3，4 B2，4，5 C1，2，3，4，0，1，2，3，4，5 D2，4 【分析】求出 B 中不
8、等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 解：集合 A2，3，4，4，5，Bx|x1|（+1，+1） AB2，4， 故选：D 2i 是虚数单位，复数 Z 满足条件 2Z+|Z|2i，则复数 Z 在复平面的坐标为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】设 Zx+yi， （x，yR）由 2Z+|Z|2i，可得 2（x+yi） 2i，可得： 2x 0，2y2，解出即可得出 解：设 Zx+yi，（x，yR） 2Z+|Z|2i，2（x+yi） 2i， 可得：2x 0，2y2， 解得 y1，x 复数 Z 在复平面的坐标为（ ，1）在第二象限 故选：B 3双曲线 1（a0）
9、的一条渐进线与直线 y x 垂直，则 a 的值为（ ） A5 B25 C D1 【分析】首先根据题意，由双曲线的方程判断出 a0，进而可得其渐近线的方程；再求 得直线 y x 的斜率，根据直线垂直关系列出方程，求解即可 解：根据题意，双曲线 1（a0）的一条渐进线为 y x； 直线 y x 的斜率为 ， 双曲线 1（a0）的一条渐进线与直线 y x 垂直，必有双曲线的一条渐近 线的斜率为 ； 即 a5， 故选：A 4已知平面 、，直线 l，直线 m 不在平面 上，下列说法正确的是（ ） A若 ，m，则 lm B若 ，m，则 lm C若 1m，则 m D若 lm，m，则 【分析】由空间中直线与直
10、线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得 答案 解：对于 A，若 ，m，则 lm 或 l 与 m 异面，故 A 错误； 对于 B，若 ，m，则 m，又 l，则 lm，故 B 正确； 对于 C，若 1m，则 m 或 m，故 C 错误； 对于 D，若 lm，m，则 或 与 相交，故 D 错误 故选：B 5对于非零向量 、 ，“2 ”是“ ， 共线”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】对于非零向量 、 ，“2 ”“ ， 共线”，反之不一定成立，可举例说 明 解：对于非零向量 、 ，“2 ”“ ， 共线”， 反之不一定成立，可能： 2
11、等 “2 ”是“ ， 共线”的充分不必要条件 故选：B 6已知函数 f（x）为定义在3，3的奇函数，且 f（2）f（1）f（3）0，则下列各 式一定正确的是（ ） Af（1）f（log2 ）f（0）f（log 9） Bf（log 9）+f（1）f（log2 ）+f（0） Cf（log 9）+f（1）f（1）f（log28） Df（log 9）+f（1）f（log2 ）+f（0） 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）0，据此结合不等式的性质依次分析选 项，综合即可得答案 解：根据题意，函数 f（x）为定义在3，3的奇函数，则有 f（0）0， 据此分析选项： 对于 A，f（1）f（log
12、2 ）f（0）f（log 9），即 f（1）f（3）f（0）f（ 2），变形可得 f（1）+f（3）f（2），不一定正确； 对于 B，f（log 9）+f（1）f（log2 ）+f（0），即 f（2）+f（1）f（3）+f （0），变形可得 f（2）+f（1）f（3），不正确； 对于 C，f（log 9）+f（1）f（1）f（log28），即f（2）+f（1）f（1） f（3），变形可得 f（2）2f（1）+f（3）0，不一定正确； 对于 D，f（log 9）+f（1）f（log2 ）+f（0），即 f（2）+f（1）f（3）， 变形可得 f（2）+f（1）f（3）， 又由 f（2）f（1）f
13、（3）0，则必有 f（2）+f（1）f（3），故 D 一定正确； 故选：D 7三角形 ABC 中，A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，A ，b3，三角形 ABC 的面积为 ，则边 a 的值为（ ） A B C7 D49 【分析】由已知利用三角形的面积公式可求 c 的值，进而根据余弦定理可求 a 的值 解：A ，b3，三角形 ABC 的面积为 bcsinA ， 解得：c5， 由余弦定理可得：a 7 故选：C 8已知实数 a、b，ab0，则 的最大值为（ ） A B C D6 【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果 解：由于 a2+b22ab0， 所以 ， 故： ，（
14、当且仅当 ab 时，等号成立） 故选：A 9已知函数 f（x）sin（4x ）（x0， ），函数 g（x）f（x）+a 有三个零点 x1， x2，x3，则 x1+x2+x3的取值范围是（ ） A ， B ， C0， ） D ， ） 【分析】根据题意画出函数 f（x）的图象，函数 g（x）f（x）+a 有三个零点，等价于 函数 yf （x） 与函数 ya 有三个交点， 利用数形结合法即可求出 x1+x2+x3的取值范围 解：根据题意画出函数 f（x）的图象，如图所示： ， 函数 g（x）f（x）+a 有三个零点，等价于函数 yf（x）与函数 ya 有三个交点， 当直线 l 位于直线 l1与直线
15、l2之间时，符合题意， 由图象可知： ， ， 所以 ， 故选：D 二、填空题 10在（ ） 5 的展开式中，xy3的系数是 【分析】写出二项展开式的通项，得到 r 值，则答案可求 解：（ ） 5的展开式的通项为 取 r3，可得（ ） 5的展开式 xy3的系数为 故答案为： 11已知抛物线的焦点为 F（0， ），点 P（1，t）在抛物线上，则点 P 到 F 的距离 1 【分析】先通过焦点坐标，求出 p 和抛物线的方程，再把点 P 的坐标代入，可求得 t，然 后利用抛物线的定义即可得解 解：设抛物线的方程为 x22py（p0）， 抛物线的焦点为 F（0， ），p1，抛物线的方程为 x 22y， 把
16、点 P（1，t）代入 x22y，得 12t，t ， 由抛物线的定义可知， 点 P 到 F 的距离为 故答案为：1 12已知圆 O 过点 A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点 D（3，4）到圆 O 上的点最小 距离为 【分析】 由题意利用用待定系数法求出圆的方程， 再根据点和圆的位置关系， 得出结论 解：设圆 O 的方程为 x2+y2+dx+ey+f0，圆 O 过点 A（0，0）、B（0，4）、C（1，1）， ，求得 ，故圆的方程为 x2+y2+2x4y0， 即 （x+1）2+（y2）25，表示圆心为（1，2）、半径为 的圆 |DO| 2 ， 故点 D（3，4）到圆 O 上的点最小距离为
17、 2 ， 故答案为： 13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为 ，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中 点的球的表面积为 6 【分析】先利用正四棱锥的体积求出底面边长，根据题意，四棱锥四条侧棱中点围成一 个边长为 1 的正方形 EFGH，而球 O 是以正方形 EFGH 为底面，点 O 为中心的长方体的 外接球，从而利用长方体的外接球即可求出球 O 的半径，进而求出球 O 的表面积 解：设正四棱锥的底面边长为 a，则高也是 a， 所以正四棱锥的体积为： ， 解得：a2， 设底面中心为点 O，则 O 为球心， 易知四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为 1 的正方形 EFGH，如图所示： ， 因为球 O
18、 经过四棱锥四条侧棱中点，所以球 O 是以正方形 EFGH 为底面，点 O 为中心 的长方体的外接球， 显然长方体的高为 2， 所以球 O 的半径 R ， 所以球 O 的表面积为：4R24 6， 故答案为：6 14已知圆 O 内接正三角形 ABC 边长为 2，圆心为 O，则 ，若线段 BC 上一点 D，BD DC， 【分析】先根据正弦定理求得半径 R，进而求得第一个空，再结合向量的三角形法则求 得第二个空 解：因为ABC 是半径为 R 的O 的内接正三角形 所以 2R，解得 R 显然OBC 是等腰三角形，且 OBOCR，BOC120 R 2 cos120 ， 线段 BC 上一点 D，BD DC
19、， （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （2 2 22cos60 2 2 ） ； 故答案为： ， 15函数 f（x）x，g（x）x2x+3，若存在 x1，x2，xn0， ，使得 f（x 1）+f（x2） +f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn），nN*，则 n 的最大值 为 8 【分析】因为 f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f （xn）等价于（x11）2+2+（x21）2+2+（xn 11）2+2（xn1）2+2 有解，又左 边的最小值为 2（n1），右边的最大值为 ，所以 2（n1） 且 n 为正整数
20、，从而 可得 n 的最大值为 8 解：因为 f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn） 等价于（x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+2（xn1）2+2 有解， ， ， ， ， ， （x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+22（n1），（xn1）2+2 ， 根据题意得 2（n1） 且 n 为正整数， n ，n 的最大值为 8， 故答案为：8 三、解答题 16已知递增等差数列an，等比数列bn，数列cn，a1c11，c49，a1、a2、a5成等 比数列，bnan+cn，nN* （1）求数列an、bn的通项公式； （2）
21、求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）设等差数列的公差为 d，d0，由等比数列的中项性质，解方程可得公差， 进而得到 an；再由 b1a1+c1，可得bn的首项，结合等比数列的通项公式求得公比，进 而得到 bn； （2）求得 cnbnan2n（2n1），再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列 的求和公式，可得所求和 解：（1）递增等差数列an的公差设为 d，d0， a1、a2、a5成等比数列，可得 a22a1a5， 即（a1+d）2a1（a1+4d），即为（1+d）21+4d，解得 d2（0 舍去）， 则 an2n1，nN*； 等比数列bn的公比设为 q， b1a1+c12，bn
22、2qn1， b4a4+c416，即有 q3 8，解得 q2， 则 bn2n，nN*； （2）cnbnan2n（2n1）， 前 n 项和 Snc1+c2+cn（2+22+2n）1+3+（2n1） （1+2n1）n2 n+12n2 17“海河英才”行动计划政策实施 1 年半以来，截止 2019 年 11 月 30 日，累计引进各类 人才落户 23.5 万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金 获得者等顶尖领军人才 112 人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查 （1）李军抽取了 8 人其中学历型人才 4 人，技能型人才 3 人，资格型人才 1 人，周二和 周五随即进
23、行采访， 每天 4 人 （4 人任意顺序） ， 周五采访学历型人才不超过 2 人的概率： （2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才 500 元/人，技能型人才 400 元/人，资格型人才 600 元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均 采访补贴费用大于等于 500 元/人？ 【分析】（1）设事件 A 表示“周五采访学历型人才不超过 2 人”，利用古典概型概率计 算公式能求出周五采访学历型人才不超过 2 人的概率 （2）设创业急需型人才最少需要 x 元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/ 人，各类人才的补贴数额为随机变量 ，取值分别为 400，5
24、00，600，x，分别求出相应 的概率，进而求出 E（）484.6+0.018x，由 484.6+0.018x500，能求出结果 解：（1）设事件 A 表示“周五采访学历型人才不超过 2 人”， 则周五采访学历型人才不超过 2 人的概率为： P（A） （2）设创业急需型人才最少需要 x 元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/ 人， 各类人才的补贴数额为随机变量 ，取值分别为 400，500，600，x， P（400）25.5%0.255， P（500）53.6%0.536， P（600）19.1%0.191， P（x）1.8%0.018， E（）4000.255+5000.53
25、6+6000.191+0.018x484.6+0.018x， 484.6+0.018x500， 解得 x 855.56， 创业急需型人才最少需要 855.56 元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/ 人 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，正方形 ABCD 边长为 2，E 是 PA 的 中点 （1）求证：PC平面 BDE； （2）求证：直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ，求 PA 的长度； （3） 若 PA2， 线段 PC 上是否存在一点 F， 使 AF平面 BDE， 若存在， 求 PF 的长度， 若不存在，请说明理由 【分析】（1）由题意，以
26、D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz设 PA a（a0），求出平面 BDE 的一个法向量为 ， ， 与 的坐标，利用 ，结合 PC平面 BDE，可得 PC平面 BDE； （2）设平面 PCD 的法向量为 ， ， ，求出 ， ， 及 ， ， ，由已知线面角的正弦值结合两向量所成角的余弦值列式求得 a 值，可得 PA 的长度是 2 或 4； （3） 由 PA2， 得 P （2， 2， 0） ， 设线段 PC 上存在一点 F， 使 AF平面 BDE， 且 ， 得 到 F（22，22，2），再由 与 共线求得 ，得到 的坐标，则|PF|可求 【解答】（1）证明：PA平面 ABCD，AB
27、CD 为正方形， 以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz 设 PAa（a0） 则 A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，2），D（0，0，0）， P（a，2，0），E（ ， ， ） ， ， ， 设平面 BDE 的一个法向量为 ， ， ， ， ， ， ， ， 由 ，取 y11，得 ， ， ， 又 PC平面 BDE，PC平面 BDE； （2）证明：设平面 PCD 的法向量为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由 ，令 x2 2，得 ， ， ， ， ， 由题意，|cos ， | | ， 解得 a2 或 4， PA 的长度是 2 或 4； （3）解：PA2，P（2，2，0
28、）， 设线段 PC 上存在一点 F，使 AF平面 BDE，且 ， 由 ，得 F（22，22，2）， 又 ， ， ， ， ， ， 由 ，解得 |PF| | 19已知椭圆 1（ab0）的右焦点为 F（c，0），左右顶点分别为 A，B，上顶 点为 C，BFC120 （1）求椭圆离心率； （2）点 F 到直线 BC 的距离为 ，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，直线 AP 与直线 x2 交于点 D，说明 P 运动时以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系，并证明 【分析】（1）根据BFC120可知，OFC60，再结合锐角三角函数即可求得 离心率； （2）由
29、（1）的结论，先导出 b 与 c 的关系，确定 B 和 C 的坐标后，写出直线 BC 的方 程，利用点到直线的距离公式可建立 a 与 c 的等量关系，再结合 a2c，即可求得 a、b、 c 的值，于是得解； （3）直线 AP 的斜率一定存在，设其方程为 yk（x+2）（k0），点 P 的坐标为（xP， yP），将其与椭圆的方程联立，利用两根之积可表示出点 P 的坐标；把 x2 代入直线 AP 方程可求出点 D 的坐标，从而得到以 BD 为直径的圆的圆心 E 的坐标；然后分 PFx 轴和 PF 不垂直 x 轴两个类别讨论圆 E 与直线 PF 的位置关系即可 解：（1）BFC120，OFC60，即
30、 故椭圆的离心率为 （2）由（1）可知，a2c， ， B（a，0），C（0，b），直线 BC 的方程为 ， 点 F 到直线 BC 的距离 ，即 ac1， a2，c1，b ， 故椭圆的方程为 （3）以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切证明如下： 直线 AP 的斜率一定存在，设其方程为 yk（x+2）（k0），点 P 的坐标为（xP，yP）， 联立 得，（4k 2+3）x2+16k2x+16k2120， 即 ， ， 把 x2 代入 yk（x+2）得，y4k，点 D（2，4k），以 BD 为直径的圆的圆心 E 的坐标为（2，2k）， 当 PFx 轴，即 时，点 P（ ， ），直线 PF 方程为 x
31、1，圆心 E（2，1）， 半径为 1，圆 E 与直线 PF 相切； 当PF不垂直x轴， 即 时， ， 直线PF方程为 ， 点 E 到直线 PF 的距离 ， 为圆 E 的半径， 圆 E 与直线 PF 相切 综上所述，当点 P 运动时，以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切 20已知函数 f（x）x2x+klnx，k0 （1）函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为 2，求 k 的值； （2）讨论函数 f（x）的单调性； （3）若函数 f（x）有两个不同极值点为 x1、x2，证明|f（x1）f（x2）| 2k 【分析】（1）直接令 x1 处的导数值为 2 即可； （2）讨论导数的零点存在情
32、况及大小情况，确定导数的在每个区间上的符号，从而确定 原函数的单调性； （3）利用极值点满足的韦达定理，将 f（x1）f（x2）转化为关于 的函数，然后再结 合要解决的问题，最终化归为一个不等式恒成立，求函数的最值的问题 解：（1） ，f（1）1+k2，k1 （2）令 f（x）0 得：2x2x+k0，18k 当 时，0，f（x）0，f（x）在（0，+）上递增； 当 时，0， ， ，故 x1，x20 ， ， ， 可知：f（x）在 ， ， ， 上递增；在 ， 上 递减 （3）证明：由（2）知， ，f（x2）f（x1） 所以 f（x1）f（x2） （x1x2）（x1+x21）+kln ，令 ， 则 ，只需证明 即证：g（t） 又 ，且 1t 21（18k）8k， ，g（t）在（0，1）上递增， 所以 g（t）g（0）0，得证