1、实数 m，n 在数轴上对应的点的位置如图所示，若 mn0，且|m|n|，则原点可 能是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 3 （2 分）下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是（ ） A B C D 4 （2 分）电影流浪地球中，人类计划带着地球一起逃到距地球 4 光年的半人马星座比 邻星 已知光年是天文学中的距离单位， 1 光年大约是 95000 亿千米， 则 4 光年约为 （ ） A9.5104亿千米 B95104亿千米 C3.8105亿千米 D3.8104亿千米 5 （2 分）把不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A B C D 6 （2 分）如果
2、 ab，那么代数式（a） 的值为（ ） A B C3 D2 7 （2 分）今年是我国建国 70 周年，回顾过去展望未来，创新是引领发展的第一动力，北 京科技创新能力不断增强， 下面的统计图反映了 20102018 年北京市每万人发明专利申 请数与授权数的情况 第 2 页（共 33 页） 根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（ ） A20102018 年，北京市毎万人发明专利授权数逐年增长 B20102018 年，北京市毎万人发明专利授权数的平均数超过 10 件 C2010 年申请后得到授权的比例最低 D2018 年申请后得到授权的比例最高 8 （2 分）下表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结
3、果（ ） 抛掷次数 n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上”次 数 m 22 52 71 95 116 138 160 187 214 238 “正面向上”频 率 0.44 0.52 0.47 0.48 0.46 0.46 0.46 0.47 0.48 0.48 下面有三个推断： 表中没有出现“正面向上”的概率是 0.5 的情况，所以不能估计“正面向上”的概率 是 0.5； 这些次试验投掷次数的最大值是 500，此时“正面向上”的频率是 0.48，所以“正面 向上”的概率是 0.48； 投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试
4、验反映的规律并非在每 一次试验中都发生； 其中合理的是（ ） 第 3 页（共 33 页） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 10（2 分） 用一组 a， b， c 的值说明命题 “若 acbc， 则 ab” 是错误的， 这组值可以是 11 （2 分）如图，某人从点 A 出发，前进 5m 后向右转 60，再前进 5m 后又向右转 60， 这样一直走下去，当他第一次回到出发点 A 时，共走了 m 12 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，ABC 是 三角形 （填“锐角” “
5、直角” 或“钝角” ） 13 （2 分）如图，过O 外一点 P 作O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，作直线 BC，连接 AB，AC，若P80，则C 14 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，过点 B 作对角线 AC 的垂线，交 AD 于点 E，若 AB2， BC4，则 AE 15 （2 分）某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下： 科目 思想品德 历史 地理 第 4 页（共 33 页） 参考人数（人） 19 13 18 其中思想品德、历史两门课程都选了的有 3 人，历史、地理两门课程都选了的有 4 人， 则该班选了思想品德而没有选历史的有 人；该班至少有
6、学生 人 16 （2 分）某实验室对 150 款不同型号的保温杯进行质量检测，其中一个品牌的 30 款保温 杯的保温性、便携性与综合质量在此检测中的排名情况如图所示，可以看出其中 A 型保 温杯的优势是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27， 28 题，每小题题，每小题 5 分）分） 17 （5 分）计算：2sin45+|（2019）0 18 （5 分）解分式方程： 19 （5 分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：直线 l 及
7、直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使得 PQl 作法：如图 在直线 l 上取两点 A，B； 以点 P 为圆心，AB 为半径画弧，以点 B 为圆心，AP 为半径画弧，两弧在直线 l 上方 相交于点 Q； 作直线 PQ 根据小东设计的尺规作图过程 第 5 页（共 33 页） （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：PA ，AB ， 四边形 PABQ 是平行四边形 PQl（ ） （填写推理的依据） 20 （5 分）已知关于 x 的方程 mx2+（2m1）x+m10（m0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数
8、 m 的值 21 （5 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，D、E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 ED 并延长到点 F，使 DFED，连接 BE、BF、CF、AD （1）求证：四边形 BFCE 是菱形； （2）若 BC4，EF2，求 AD 的长 22 （5 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，点 O 在 AB 上，BCCD，过点 C 作O 的切 线，分别交 AB，AD 的延长线于点 E，F （1）求证：AFEF； （2）若 cosDAB，BE1，求 AD 的长 第 6 页（共 33 页） 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴上，点 B 在第一象限
9、内，OAB 90，OAAB，OAB 的面积为 2，反比例函数 y的图象经过点 B （1）求 k 的值； （2）已知点 P 坐标为（a，0） ，过点 P 作直线 OB 的垂线 l，点 O，A 关于直线 l 的对称 点分别为 O，A，若线段 OA与反比例函数 y的图象有公共点，直接写出 a 的取值范围 24 （6 分）小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发， 沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？ 小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题： 如图，在 RtABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 D 以 1
10、cm/s 的速度从点 C 向点 B 运动，点 E 以 2cm/s 的速度从点 A 向点 B 运动，当点 E 到达点 B 时，两点同时停 止运动，若点 D，E 同时出发，多长时间后 DE 取得最小值？ 小超猜想当 DEAB 时， DE 最小， 探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难， 于是根据函数的学习经验，设 C，D 两点间的距离为 xcm，D，E 两点间的距离为 ycm， 对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小超的探究过程，请补充完整： （1）由题意可知线段 AE 和 CD 的数量关系是 ； （2）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，得到了 y
11、与 x 的几组对应值： 第 7 页（共 33 页） x/cm 0 1 2 3 4 5 y/cm 6.0 4.8 3.8 2.7 3.0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的 图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题，小组的猜想 ； （填“正确”或“不正确” ） 当两点同时出发了 s 时，DE 取得最小值，为 cm 25 （6 分）为了推动全社会自觉尊法学法守法用法，促进全面依法治国，某区每年都举办 普法知识竞赛，该区某单位甲、乙两个部门各有员工 200 人，要在这两个部门中挑选一 个部门代表单位参加今年的竞赛
12、，为了解这两个部门员工对法律知识的掌握情况，进行 了抽样调查，从甲、乙两个部门各随机抽取 20 名员工，进行了法律知识测试，获得了他 们的成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息 a甲部门成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40x50，50x60，60x 70，70x80，80x90，90x100） b乙部门成绩如下： 40 52 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 c甲、乙两部门成绩的平均数、方差、中位数如下： 平均数 方差 中位数 甲 79.6 36.84 78.5 乙 77
13、147.2 m d近五年该单位参赛员工进入复赛的出线成绩如下： 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 出线成绩（百79 81 80 81 82 第 8 页（共 33 页） 分制） 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 m 的值； （2）可以推断出选择 部门参赛更好，理由为 ； （3）预估（2）中部门今年参赛进入复赛的人数为 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx22x+a3，当 a0 时，抛物线与 y 轴 交于点 A，将点 A 向右平移 4 个单位长度，得到点 B （1）求点 B 的坐标； （2）将抛物线在直线 ya 上方的部分沿直线
14、 ya 翻折，图象的其他部分保持不变，得 到一个新的图象，记为图形 M，若图形 M 与线段 AB 恰有两个公共点，结合函数的图象， 求 a 的取值范围 27 （7 分）如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 （0180） ，得到线段 BD，且 ADBC （1）依题意补全图形； （2）求满足条件的 的值； （3）若 AB2，求 AD 的长 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）和 P2（x2，y2） ，称 d（P1， P2）|x1x2|+|y1y2|为 P1、P2两点的直角距离 （1）已知：点 A（1，2） ，直接写
15、出 d（O，A） ； 第 9 页（共 33 页） （2）已知：B 是直线 yx+3 上的一个动点 如图 1，求 d（O，B）的最小值； 如图 2，C 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求 d（B，C）的最小 值 第 10 页（共 33 页） 2019 年北京市朝阳区中考数学一模试卷年北京市朝阳区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）下面是一些北京著名建筑物的简笔画，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称
16、图形，故错误； B、是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故正确 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 沿对称轴折叠后可重合 2 （2 分）实数 m，n 在数轴上对应的点的位置如图所示，若 mn0，且|m|n|，则原点可 能是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 【分析】由若 mn0 可知，m、n 异号，所以原点可能是点 B 或点 C，而又由|m|n|即可 根据距离正确判断 【解答】解：mn0 m、n 异号 原点可能是点 B 或点 C 又由|m|n|，观察数轴可知，原点应该是点 B 故选：B 第 11
17、 页（共 33 页） 【点评】本题考查的是绝对值的意义，利用数形结合的思想研究绝对值会让问题更加明 确清晰，是一种常用的方法 3 （2 分）下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是（ ） A B C D 【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可 【解答】解：A、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误； B、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误； C、三棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误； D、球的三视图完全相同，都是圆，正确； 故选：D 【点评】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体 4 （2 分）电影流浪地球中，人类计划带着地球一起逃
18、到距地球 4 光年的半人马星座比 邻星 已知光年是天文学中的距离单位， 1 光年大约是 95000 亿千米， 则 4 光年约为 （ ） A9.5104亿千米 B95104亿千米 C3.8105亿千米 D3.8104亿千米 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10，n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：950004380000 380000 亿千米3.8105亿千米 故选：C 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中 1|a| 10，确定 a 与 n 的值是解题的关键 5 （2 分）把不等式组中两个不等式的解集在数轴上
19、表示出来，正确的是（ ） A B C D 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可 第 12 页（共 33 页） 【解答】解：， 由得，x3， 由得，x1， 故不等式组的解集为：3x1 在数轴上表示为： 故选：C 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中 间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 6 （2 分）如果 ab，那么代数式（a） 的值为（ ） A B C3 D2 【分析】先化简分式，然后将 ab代入计算即可 【解答】解：原式 （ab） ， ab， 原式， 故选：A 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合
20、运算法则是解题的关键 7 （2 分）今年是我国建国 70 周年，回顾过去展望未来，创新是引领发展的第一动力，北 京科技创新能力不断增强， 下面的统计图反映了 20102018 年北京市每万人发明专利申 请数与授权数的情况 第 13 页（共 33 页） 根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（ ） A20102018 年，北京市毎万人发明专利授权数逐年增长 B20102018 年，北京市毎万人发明专利授权数的平均数超过 10 件 C2010 年申请后得到授权的比例最低 D2018 年申请后得到授权的比例最高 【分析】根据统计图得出各年的具体数据，依据增长情况和百分比概念逐一判断即可得 【解答】解
21、：A20102018 年，北京市毎万人发明专利授权数在 20122013 年不变， 此选项错误； B 2010 2018年 ， 北 京 市 毎 万 人 发 明 专 利 授 权 数 的 平 均 数 为 13.7，超过 10 件，此选项正确； C2014 年申请后得到授权的比例最低，此选项错误； D2017 年申请后得到授权的比例最高，此选项错误； 故选：B 【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数 形结合的思想解答 8 （2 分）下表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果（ ） 抛掷次数 n 50 100 150 200 250 300 350 400 450
22、500 “正面向上”次 数 m 22 52 71 95 116 138 160 187 214 238 第 14 页（共 33 页） “正面向上”频 率 0.44 0.52 0.47 0.48 0.46 0.46 0.46 0.47 0.48 0.48 下面有三个推断： 表中没有出现“正面向上”的概率是 0.5 的情况，所以不能估计“正面向上”的概率 是 0.5； 这些次试验投掷次数的最大值是 500，此时“正面向上”的频率是 0.48，所以“正面 向上”的概率是 0.48； 投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每 一次试验中都发生； 其中合理的是（ ） A
23、 B C D 【分析】随着试验次数的增加， “正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳 定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5，据此进行判断即可 【解答】解：随着试验次数的增加， “正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一 定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5，故错误； 这些次试验投掷次数的最大值是 500，此时“正面向上”的频率是 0.48，所以“正面 向上”的概率是 0.48，故错误； 投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每 一次试验中都发生，正确； 故选：C 【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概
24、率的定义，大量重复实 验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个 频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件 的概率 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可 【解答】解：在实数范围内有意义， x10， 第 15 页（共 33 页） 解得 x1 故答案为：x1 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0 10 （2 分
25、）用一组 a，b，c 的值说明命题“若 acbc，则 ab”是错误的，这组值可以是 a1，b2，c0 【分析】根据题意选择 a、b、c 的值即可 【解答】解：当 c0，a1，b2， 所以 acbc，但 ab， 当 c0，a3，b2， 所以 acbc，但 ab， 故答案不唯一； 故答案为：a1，b2，c0 【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 11 （2 分）如图，某人从点 A 出发，前进 5m 后向右转 60，再前进 5m 后又向右转 60， 这样一直走下去，当他第一次回到出发点 A 时，共走了 30 m 【分
26、析】从 A 点出发，前进 5m 后向右转 60，再前进 5m 后又向右转 60，这样 一直走下去，他第一次回到出发点 A 时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和 为 360，判断多边形的边数，再求路程 【解答】解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为 n， 则 60n360，解得 n6， 他第一次回到出发点 A 时一共走了：5630（m） ， 故答案为：30 【点评】本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质关键是根据每一个外角 判断多边形的边数 12 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，ABC 是 锐角 三角形 （填“锐角” “直角” 第 16 页（共 33
27、 页） 或“钝角” ） 【分析】根据三边的长可作判断 【解答】解：AB232+1210，AC212+4217，BC232+4225， AB2+AC2BC2， ABC 为锐角三角形， 故答案为：锐角 【点评】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边 分别为 a、b、c，当 a2+b2c2时，ABC 为锐角三角形；当 a2+b2c2时，ABC 为钝角三角形；当 a2+b2c2时，ABC 为直角三角形 13 （2 分）如图，过O 外一点 P 作O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，作直线 BC，连接 AB，AC，若P80，则C 50 【分析】根据切线的性质得出P
28、AOPBO90，求出AOB 的度数，根据圆周角 定理求出C 即可 【解答】解：连接 OA， 过O 外一点 P 作O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B， PAOPBO90， P80， AOB360909080100， 第 17 页（共 33 页） CAOB50， 故答案为：50 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识点，能求出AOB 的度数和根据圆 周角定理得出CAOB 是解此题的关键 14 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，过点 B 作对角线 AC 的垂线，交 AD 于点 E，若 AB2， BC4，则 AE 1 【分析】根据矩形的性质得到DABABC90，ADBC4，根据
29、勾股定理得到 AC2，设 AC 与 BE 交于 F，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， DABABC90，ADBC4， AC2， 设 AC 与 BE 交于 F， BEAC， AB2AFAC， AF， CFACAF， AEBC， AEFCBF， ， ， 第 18 页（共 33 页） AE1， 故答案为：1 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方 形的性质是解题的关键 15 （2 分）某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下： 科目 思想品德 历史 地理 参考人数（人） 19 13 18 其中思想品德
30、、历史两门课程都选了的有 3 人，历史、地理两门课程都选了的有 4 人， 则该班选了思想品德而没有选历史的有 16 人；该班至少有学生 29 人 【分析】选了思想品德而没有选历史的有 19316 人，设三门课都选的有 x 人，同时 选择地理和政治的有 y 人，总人数为 19+18+13342xy432xy，根据各自选 课情况可知 x3，11y0，该班至少有学生 4341029 【解答】解：思想品德、历史两门课程都选了的有 3 人，选了思想品德而没有选历史 的有 19316 人， 设三门课都选的有 x 人，同时选择地理和政治的有 y 人， 则有总人数为 19+18+13342xy432xy， 选
31、择历史没有选择政治的有 6 人， 2x6， x3， x1，2， 只选政治的现在有 19341y11y， y 最大是 10， 该班至少有学生 4341029， 故答案为 16；29； 【点评】本题考查统计的应用；能够将问题转化为二元一次方程，借助实际问题的取值 第 19 页（共 33 页） 情况，求至少的人数； 16 （2 分）某实验室对 150 款不同型号的保温杯进行质量检测，其中一个品牌的 30 款保温 杯的保温性、便携性与综合质量在此检测中的排名情况如图所示，可以看出其中 A 型保 温杯的优势是 便携性 【分析】从点图的分布可以看到在便携性中，综合质量名次好于保温性； 【解答】解：从左图可
32、以看出 A 型的综合质量名次为 120 名，保温性名次为 140 名，从 右图可以看出综合质量为 120 名的点，便携性名次为 60 名，所以 A 型的优势为便携性； 故答案为便携性 【点评】本题考查用样本估计总体；能够从图中综合对比出样本的优劣是解题的关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27， 28 题，每小题题，每小题 5 分）分） 17 （5 分）计算：2sin45+|（2019）0 【分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得
33、出 答案 【解答】解：原式2+13 1 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18 （5 分）解分式方程： 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 第 20 页（共 33 页） 得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：6xx2， 解得：x4， 经检验 x4 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 19 （5 分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：直线 l 及直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使得 PQl 作法：如图 在直线 l 上取两点 A，B；
34、 以点 P 为圆心，AB 为半径画弧，以点 B 为圆心，AP 为半径画弧，两弧在直线 l 上方 相交于点 Q； 作直线 PQ 根据小东设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：PA BQ ，AB PQ ， 四边形 PABQ 是平行四边形 PQl（ 平行四边形的对边平行 ） （填写推理的依据） 【分析】 （1）根据要求画出图形即可 （2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可 【解答】解： （1）直线 PQ 如图所示 第 21 页（共 33 页） （2）证明：PABQ，ABPQ， 四边形 PABQ 是平行四边形 PQl（平行四边形的对边平
35、行） 故答案为：BQ，PQ，平行四边形的对边平行 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型 20 （5 分）已知关于 x 的方程 mx2+（2m1）x+m10（m0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数 m 的值 【分析】 （1）由于 m0，则计算判别式的值得到1，从而可判断方程总有两个不相 等的实数根； （2）先利用求根公式得到 x11，x21，然后利用有理数的整除性确定整数 m 的 值 【解答】 （1）证明：m0， 方程为一元二次方程， （2m1）24m（m1）10， 此方程总有两个不相
36、等的实数根； （2）x， x11，x21， 方程的两个实数根都是整数，且 m 是整数， m1 或 m1 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的 实数根；当0 时，方程无实数根 21 （5 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，D、E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 ED 并延长到点 F，使 DFED，连接 BE、BF、CF、AD （1）求证：四边形 BFCE 是菱形； （2）若 BC4，EF2，求 AD 的长 第 22 页（共 33 页） 【分析】 （1）根据平行
37、线的判定定理得到四边形 BFCE 是平行四边形，根据直角三角形 的性质得到 BECE，于是得到四边形 BFCE 是菱形； （2）连接 AD，根据菱形的性质得到 BDBC2，DEEF1，根据勾股定理即可 得到结论 【解答】 （1）证明：D 是边 BC 的中点， BDCD， DFED， 四边形 BFCE 是平行四边形， 在 RtABC 中，ABC90，E 是边 AC 的中点， BECE， 四边形 BFCE 是菱形； （2）解：连接 AD， 四边形 BFCE 是菱形，BC4，EF2， BDBC2，DEEF1， BE， AC2BE2， AB2， AD2 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位
38、数的性质，勾股定理，熟练掌握 第 23 页（共 33 页） 菱形的判定和性质定理是解题的关键 22 （5 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，点 O 在 AB 上，BCCD，过点 C 作O 的切 线，分别交 AB，AD 的延长线于点 E，F （1）求证：AFEF； （2）若 cosDAB，BE1，求 AD 的长 【分析】 （1）连接 OC，如图，先证明 OCAF，再根据切线的性质得 OCEF，从而得 到 AFEF； （2）先利用 OCAF 得到COEDAB，在 RtOCE 中，设 OCr，利用余弦的定 义得到，解得 r4，连接 BD，如图，根据圆周角定理得到ADB90，然后 根据余弦的定义可
39、计算出 AD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， CDBD， ， 12， OAOC， 2OCA， 1OCA， OCAF， EF 为切线， OCEF， AFEF； （2）解：OCAF， COEDAB， 第 24 页（共 33 页） 在 RtOCE 中，设 OCr， cosCOEcosDAB，即，解得 r4， 连接 BD，如图， AB 为直径， ADB90， 在 RtADB 中，cosDAB， AD8 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 线也考查了圆周角定理和解直角三角形 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴上，
40、点 B 在第一象限内，OAB 90，OAAB，OAB 的面积为 2，反比例函数 y的图象经过点 B （1）求 k 的值； （2）已知点 P 坐标为（a，0） ，过点 P 作直线 OB 的垂线 l，点 O，A 关于直线 l 的对称 点分别为 O，A，若线段 OA与反比例函数 y的图象有公共点，直接写出 a 的取值范围 【分析】 （1）运用反比例函数的几何意义，求出 k4； （2）运用对称的点坐标关系，分别表示 O、A，在第三象限，当点 O在双曲线上 第 25 页（共 33 页） 时 a 取最小值，当点 A在双曲线上时，a 取最大值；在第一象限，同理可求 a 的取值范 围 【解答】解： （1）OA
41、B90，OAAB， 设点 B 的坐标为（m，m） ，则 OAABm， OAB 的面积为 2， 2， 解得：m2（负值舍去） ， 点 B 的坐标为（2，2） ， 代入反比例函数 y中，得 k4； （2）B（2，2） BOA45， lOB， OAx 轴 P、O、A三点共线，且点 O在直线 OB 上 O（a，a） 、A（a，a2） 当 O在反比例函数图象上时，有 aa4 解得：a12，a22 当 A在反比例函数图象上时，有 a（a2）4 解得：a31+，a41 若线段 OA与反比例函数 y的图象有公共点， a 的取值范围是：2a1 或 2a1+ 【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问
42、题，熟练运用图象上的点 的坐标满足图象的解析式是本题的关键 24 （6 分）小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发， 沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？ 小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题： 如图，在 RtABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 D 以 1cm/s 的速度从点 C 向点 B 运动，点 E 以 2cm/s 的速度从点 A 向点 B 运动，当点 E 到达点 B 时，两点同时停 止运动，若点 D，E 同时出发，多长时间后 DE 取得最小值？ 第 26 页（共 33 页） 小超猜想当
43、 DEAB 时， DE 最小， 探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难， 于是根据函数的学习经验，设 C，D 两点间的距离为 xcm，D，E 两点间的距离为 ycm， 对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小超的探究过程，请补充完整： （1）由题意可知线段 AE 和 CD 的数量关系是 AE2CD ； （2）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，得到了 y 与 x 的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 y/cm 6.0 4.8 3.8 3.0 2.7 3.0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的
44、表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的 图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题，小组的猜想 不正确 ； （填“正确”或“不正 确” ）当两点同时出发了 4 s 时，DE 取得最小值，为 2.7 cm 【分析】 （1）根据时间和速度可得 AE 和 CD 的长，可得结论； （2）根据图象可得结论； （3）画图象即可； （4）作辅助线，根据勾股定理计算 DE 的长，根据二次函数的最值可得结论 【解答】解： （1）由题意得：AE2x，CDx AE2CD； 故答案为：AE2CD； （2）根据图象可得：当 x3 时，y3.0， 故答案为：3.0； （3）如图所示： 第 27 页（共 33 页） （4）
45、如图所示，过 D 作 DGAB 于 G， 由（1）知：CDx，则 BD8x， sinB， ，DG，BG， EGAE+BG102x+10， y， 0x5， 当 x4 时，y 有最小值是2.7， 故答案为：不正确，4，2.7 【点评】本题属于三角形和函数的综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形的 性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用勾股定理解决问题，学会利用图象法解 决问题，属于中考压轴题 25 （6 分）为了推动全社会自觉尊法学法守法用法，促进全面依法治国，某区每年都举办 普法知识竞赛，该区某单位甲、乙两个部门各有员工 200 人，要在这两个部门中挑选一 个部门代表单位参加今年的竞赛，为了解这两个部门员工对法律知识的掌握情况，进行 第 28 页（共 33 页） 了抽样调查，从甲、乙两个部门各随机抽取 20 名员工，进行了法律知识测试，获得了他 们的成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息 a甲部门成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40x50，50x60，60x 70，70x80，80x90，90x100） b乙部门成绩如下： 40 52 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82