1、下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（ ） A B C D 2 （2 分）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aab Bab0 Cac0 D|a|c| 3 （2 分）方程组的解为（ ） A B C D 4 （2 分）如图，点 D 在 BA 的延长线上，AEBC，若DAC100，B65，则 EAC 的度数为（ ） A65 B35 C30 D40 5 （2 分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星” ， 它距离太阳系约 4.2 光年光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1 光年约 为 9 500 000 000 000 千米
2、，则“比邻星”距离太阳系约为（ ） A41013千米 B41012千米 C9.51013千米 D9.51012千米 6 （2 分）如果 a2+3a+10，那么代数式（） 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 7 （2 分）三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点 A1，A2，A3的横、纵坐标分别表 第 2 页（共 37 页） 示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点 B1，B2，B3的横、纵坐标 分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数有如下三个结论： 上午派送快递所用时间最短的是甲； 下午派送快递件数最多的是丙； 在这一天中派送快递总件数最多的是乙 上述结论中，
3、所有正确结论的序号是（ ） A B C D 8 （2 分）中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识因为圆的任 何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线” 除了例以外，还有一些几何 图形也是 “等宽曲线” ， 如勒洛三角形 （图 1） ， 它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心， 以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图 2 是等宽 的勒洛三角形和圆 下列说法中错误的是（ ） A勒洛三角形是轴对称图形 B图 1 中，点 A 到上任意一点的距离都相等 C图 2 中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形 DEF 的中心 O1的距离都相等 D图 2 中
4、，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分分.每小题每小题 2 分）分） 9 （2 分）如图，在线段 AD，AE，AF 中，ABC 的高是线段 第 3 页（共 37 页） 10 （2 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 11 （2 分）分解因式：ax225a 12 （2 分）如图，点 O，A，B 郁都在正方形网格的格点上，将OAB 绕点 O 顺时针旋转 后得到OAB，点 A，B 的对应点 A，B也在格点上，则旋转角 a （0a180）的 度数为 13 （2 分）用一组 a、b 的值说明命题“对于非零实数 a，b，若 ab，则”是错误 的，这组值
5、可以是 a ，b 14 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 CD 上，将矩形 ABCD 沿 AE 所在直线折叠， 点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处若 DE5，FC4，则 AB 的长为 15 （2 分）小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务： 借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三 家餐厅，对每家餐厅随机选取了 1000 条网络评价，统计如下： 等级 评价条数 餐厅 五星 四星 三星 二星 一星 合计 甲 538 210 96 129 27 1000 乙 460 187 154 169 30 1000 第
6、4 页（共 37 页） 丙 486 388 81 13 32 1000 （说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星） 小芸选择在 （填“甲” 、 “乙”或“丙” ）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评 价不低于四星）的可能性最大 16 （2 分）高速公路某收费站出城方向有编号为 A，B，C，D，E 的五个小客车收费出口， 假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的 同时开放其中的某两个收费出口， 这两个出口 20 分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数量 （辆） 260 330 300 360
7、240 在 A，B，C，D，E 五个收费出口中，每 20 分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的 编号是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27， 28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （5 分）计算|5|2sin60（2019）0 18 （5 分）解不等式组： 19 （5 分）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为 60”的尺 规作图过程 已知：O 求作：矩形
8、ABCD，使得矩形 ABCD 内接于O，且其对角线 AC，BD 的夹角为 60 作法：如图 作O 的直径 AC； 以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线 AC 上方的圆弧于点 B； 连接 BO 并延长交O 于点 D； 所以四边形 ABCD 就是所求作的矩形 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 第 5 页（共 37 页） 证明：点 A，C 都在O 上， OAOC 同理 OBOD 四边形 ABCD 是平行四边形 AC 是O 的直径， ABC90（ ） （填推理的依据） 四边形 ABCD 是矩形 AB BO， 四边形 ABCD
9、 四所求作的矩形 20 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c0 （1）当 cb2 时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的 b，c 的值，并求此时方程 的根 21 （5 分）如图，在ABC 中，ACBC，点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，连接 DE，DF （1）求证：四边形 DFCE 是菱形； （2）若A75，AC4，求菱形 DFCE 的面积 第 6 页（共 37 页） 22 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：yx+b 与 x 轴交于点 A（2，0） ，与 y 轴 交于点 B双曲线 y与直线
10、l 交于 P，Q 两点，其中点 P 的纵坐标大于点 Q 的纵坐标 （1）求点 B 的坐标； （2）当点 P 的横坐标为 2 时，求 k 的值； （3）连接 PO，记POB 的面积为 S若，结合函数图象，直接写出 k 的取值 范围 23 （6 分）如图，AB 是O 的直径，CB 与O 相切于点 B点 D 在O 上，且 BCBD， 连接 CD 交O 于点 E过点 E 作 EFAB 于点 H，交 BD 于点 M，交O 于点 F （1）求证：MEDMDE （2）连接 BE，若 ME3，MB2求 BE 的长 24 （6 分）如图，是直径 AB 所对的半圆弧，C 是上一定点，D 是上一动点，连接 DA，
11、DB， DC 已知 AB5cm， 设 D， A 两点间的距离为 xcm， D， B 两点间的距离为 y1cm， D，C 两点间的距离为 y2cm 小腾根据学习函数的经验分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探 究下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应 值； x/cm 0 1 2 3 4 5 y1cm 5 4.9 4 3 0 第 7 页（共 37 页） y2cm 4 3.32 2.47 1.4 0 3 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1
12、） ， （x，y2）并画出函数 y1，y2的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接 BC，当BCD 是以 CD 为腰的等腰三角形时，DA 的长度约为 cm 25 （6 分）某公司的午餐采用自助餐的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费” 该公司 共有 10 个部门，且各部门的人数相同，为了解午餐的浪费情况，从这 10 个部门中随机 抽取了 A，B 两个部门，进行了连续四周（20 个工作日）的调查，得到这两个部门每天 午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量” （单位：千克） ，并对这些数据进行了 整理、描述和分析，下面给出了部分信息 aA 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成 6
13、 组：0x2，2x4，4 x6，6x8，8x10，10x12） ： 第 8 页（共 37 页） bA 部门每日餐余重量在 6x8 这一组的是：6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8 c B 部门每日餐余重量如下： 1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8 dA，B 两个部门这 20 个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下： 部门 平均数 中位数 众数 A 6.4 m 7.0 B 6.6 7.2 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 m，n 的值；
14、（2）在 A，B 这两个部门中， “适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是 （填“A” 或“B” ） ，理由是 ； （3）结合 A，B 这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10 个部门）一年（按 240 个工作日计算）的餐余重量 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2mx+n （1）当 m2 时， 求抛物线的对称轴，并用含 n 的式子表示顶点的纵坐标； 若点 A（2，y1） ，B（x2，y2）都在抛物线上，且 y2y1，则 x2的取值范围是 ； （2）已知点 P（1，2） ，将点 P 向右平移 4 个单位长度，得到点 Q当 n3 时，若抛 物线与线段 PQ 恰有一
15、个公共点，结合函数图象，求 m 的取值范围 27 （7 分） 如图， 在ABC 中， ABC90， BABC 将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 得到线段 AD，E 是边 BC 上的一动点，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 BF （1）求证：FBFD； 第 9 页（共 37 页） （2）点 H 在边 BC 上，且 BHCE，连接 AH 交 BF 于点 N 判断 AH 与 BF 的位置关系，并证明你的结论； 连接 CN若 AB2，请直接写出线段 CN 长度的最小值 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于两个点 P，Q 和图形 W，如果在图形 W 上存在 点 M，N（M，N
16、可以重合）使得 PMQN，那么称点 P 与点 Q 是图形 W 的一对平衡点 （1）如图 1，已知点 A（0，3） ，B（2，3） 设点 O 与线段 AB 上一点的距离为 d，则 d 的最小值是 ，最大值是 ； 在 P1（） ，P2（1，4） ，P3（3，0）这三个点中，与点 O 是线段 AB 的一对平 衡点的是 （2）如图 2，已知圆 O 的半径为 1，点 D 的坐标为（5，0） ，若点 E（x，2）在第一象限， 且点 D 与点 E 是圆 O 的一对平衡点，求 x 的取值范围 第 10 页（共 37 页） （3）如图 3，已知点 H（3，0） ，以点 O 为圆心，OH 长为半径画弧交 x 轴的
17、正半轴于 点 K，点 C（a，b） （其中 b0）是坐标平面内一个动点，且 OC5，圆 C 是以点 C 为 圆心，半径为 2 的圆，若弧 HK 上的任意两个点都是圆 C 的一对平衡点，直接写出 b 的 取值范围 第 11 页（共 37 页） 2019 年北京市西城区中考数学一模试卷年北京市西城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分分.每小题每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项符合题众的选项只有一个题均有四个选项符合题众的选项只有一个 1 （2 分）下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（ ） A B C D 【分析】圆锥
18、侧面是曲面，所以侧面展开后是扇形； 【解答】解：圆锥的展开图是扇形， 故选：B 【点评】本题考查圆锥的展开图；掌握圆锥侧面展开后的几何图形是扇形是解题的关键 2 （2 分）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aab Bab0 Cac0 D|a|c| 【分析】根据数轴的特点：判断 a、b、c 正负性，然后比较大小即可 【解答】解：根据数轴的性质可知：ab0c，且|c|b|a|； 所以 ab，ab0，ac0 错误；|a|c|正确； 故选：D 【点评】本题考查实数与数轴的关系，关键是根据实数在数轴上的位置判断字母的正负 性，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的
19、大小 3 （2 分）方程组的解为（ ） A B C D 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， 2+得：9x9， 第 12 页（共 37 页） 解得：x1， 把 x1 代入得：y2， 则方程组的解为， 故选：C 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 4 （2 分）如图，点 D 在 BA 的延长线上，AEBC，若DAC100，B65，则 EAC 的度数为（ ） A65 B35 C30 D40 【分析】由图可得EACDACDAE，先根据平行线的性质得到DAE 的度数， 即可得出EAC 的度数 【解答】解：AEBC， BDAE65， 又DAC100， E
20、ACDACDAE1006535， 故选：B 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等 5 （2 分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星” ， 它距离太阳系约 4.2 光年光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1 光年约 为 9 500 000 000 000 千米，则“比邻星”距离太阳系约为（ ） A41013千米 B41012千米 C9.51013千米 D9.51012千米 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝
21、对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：依题意得：4.2 光年4.29.5101241013 第 13 页（共 37 页） 故选：A 【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形 式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 6 （2 分）如果 a2+3a+10，那么代数式（） 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据 a2+3a+10，即可求 得所求式子的值 【解答】解： （） 2a（a+3） 2（a
22、2+3a） ， a2+3a+10， a2+3a1， 原式2（1）2， 故选：D 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 7 （2 分）三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点 A1，A2，A3的横、纵坐标分别表 示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点 B1，B2，B3的横、纵坐标 分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数有如下三个结论： 上午派送快递所用时间最短的是甲； 下午派送快递件数最多的是丙； 在这一天中派送快递总件数最多的是乙 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） 第 14 页（共 37 页） A B C D 【分析】从
23、图中根据的信息依次统计，即可求解； 【解答】解：从图可知以下信息： 上午送时间最短的是甲，正确； 下午送件最多的是乙，不正确； 一天中甲送了 65 件，乙送了 75 件，正确； 故选：B 【点评】本题考查坐标与点，统计的知识；能够从图中获取信心，针对性的统计是求解 的关键 8 （2 分）中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识因为圆的任 何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线” 除了例以外，还有一些几何 图形也是 “等宽曲线” ， 如勒洛三角形 （图 1） ， 它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心， 以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形
24、，图 2 是等宽 的勒洛三角形和圆 下列说法中错误的是（ ） A勒洛三角形是轴对称图形 B图 1 中，点 A 到上任意一点的距离都相等 C图 2 中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形 DEF 的中心 O1的距离都相等 D图 2 中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质判断即可 【解答】解：A、勒洛三角形是轴对称图形，正确； B、图 1 中，点 A 到上任意一点的距离都相等，正确； C、图 2 中，连接 O1E，连接 DO1并延长交于 G， 设等边三角形 DEF 的边长为 a， 第 15 页（共 37 页） 则 O1DEO1a， DGDEa， O1
25、Gaa， 勒洛三角形上任意一点到等边三角形 DEF 的中心 O1的距离不相等，故错误； D、设等边三角形 DEF 的边长为 a， 勒洛三角形的周长3a，圆的周长a， 勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故正确 故选：C 【点评】本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，正确的理解题 意是解题的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分分.每小题每小题 2 分）分） 9 （2 分）如图，在线段 AD，AE，AF 中，ABC 的高是线段 AF 【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高 【解答】解：AFBC 于 F， AF 是ABC 的高线， 故
26、答案为：AF 【点评】本题主要考查了三角形的高线，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三 角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点 是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直 线相交于三角形外一点 第 16 页（共 37 页） 10 （2 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式进行计算即可求解 【解答】解：根据题意得 x30， 解得 x3 故答案为：x3 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数 11 （2 分）分解因式：ax225a
27、 a（x+5） （x5） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（x+5） （x5） ， 故答案为：a（x+5） （x5） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 12 （2 分）如图，点 O，A，B 郁都在正方形网格的格点上，将OAB 绕点 O 顺时针旋转 后得到OAB，点 A，B 的对应点 A，B也在格点上，则旋转角 a （0a180）的 度数为 90 【分析】连接 BB，在BOB中，BO，BO，BB，利用勾股定理判断 三角形形状，BOB就是旋转角 ； 【解答】解：连接 BB， 在BOB中，BO，BO，BB， BB
28、2BO2+BO2， BOB90， 90； 故答案为 90； 第 17 页（共 37 页） 【点评】本题考查三角形的旋转，抓住 OB 与 OB易求边长的特点，构造BOB，通过边 长求角是解题的关键 13 （2 分）用一组 a、b 的值说明命题“对于非零实数 a，b，若 ab，则”是错误 的，这组值可以是 a 1 ，b 1 【分析】通过 a 取1，b 取 1 可说明命题“若 ab，则”是错误的 【解答】解：当 a1，b1 时，满足 ab，但 故答案为1，1 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真” “假”是就命题的内容而言任何一个命 题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一
29、个命题是假命 题，只需举出一个反例即可 14 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 CD 上，将矩形 ABCD 沿 AE 所在直线折叠， 点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处若 DE5，FC4，则 AB 的长为 8 【分析】由矩形的性质可得 ABCD，C90，由折叠的性质可得 DEEF5，由 勾股定理可求 EC 的值，即可求 AB 的值 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形 ABCD，C90 折叠 DEEF5， 在 RtEFC 中，EC3 CDDE+EC5+38 ABCD8 故答案为：8 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的 关键 第
30、18 页（共 37 页） 15 （2 分）小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务： 借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三 家餐厅，对每家餐厅随机选取了 1000 条网络评价，统计如下： 等级 评价条数 餐厅 五星 四星 三星 二星 一星 合计 甲 538 210 96 129 27 1000 乙 460 187 154 169 30 1000 丙 486 388 81 13 32 1000 （说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星） 小芸选择在 丙 （填“甲” 、 “乙”或“丙” ）餐厅用餐，
31、能获得良好用餐体验（即评价 不低于四星）的可能性最大 【分析】不低于四星，即四星与五星的和居多为符合题意的餐厅 【解答】解：不低于四星，即比较四星和五星的和，丙最多 故答案是：丙 【点评】考查了可能性的大小和统计表解题的关键是将问题转化为比较四星和五星的 和的多少 16 （2 分）高速公路某收费站出城方向有编号为 A，B，C，D，E 的五个小客车收费出口， 假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的 同时开放其中的某两个收费出口， 这两个出口 20 分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数量 （辆） 260 330 300 3
32、60 240 在 A，B，C，D，E 五个收费出口中，每 20 分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的 编号是 B 【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论， 【解答】解：33026070，33030030，36030060，360240120，260 24020， CA，BD，EC，DA，BE， 第 19 页（共 37 页） 由 BD 和 DA 得 BA， 由 EC 和 BE 得 BC， 每 20 分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是 B， 故答案为：B 【点评】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意是解题的关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22
33、 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27， 28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （5 分）计算|5|2sin60（2019）0 【分析】先分别计算绝对值、二次根式、三角函数值、零指数幂，然后算加减法 【解答】解：原式5+221 5 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、二次根式、三角函数值、零指数幂 的运算是解题的关键 18 （5 分）解不等式组： 【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解 【解答】解：， 解不等式得：x1， 解不等式得：
34、x4， 所以不等式组的解集为：4x1 【点评】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较 大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了 19 （5 分）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为 60”的尺 规作图过程 已知：O 求作：矩形 ABCD，使得矩形 ABCD 内接于O，且其对角线 AC，BD 的夹角为 60 作法：如图 第 20 页（共 37 页） 作O 的直径 AC； 以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线 AC 上方的圆弧于点 B； 连接 BO 并延长交O 于点 D； 所以四边形 ABCD 就是所求作的矩形 根据小东设计的尺规作
35、图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：点 A，C 都在O 上， OAOC 同理 OBOD 四边形 ABCD 是平行四边形 AC 是O 的直径， ABC90（ 直径所对圆周角是直角 ） （填推理的依据） 四边形 ABCD 是矩形 AB AO BO， 四边形 ABCD 四所求作的矩形 【分析】 （1）根据要求作图即可得； （2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得 【解答】解： （1）如图所示，矩形 ABCD 即为所求； 第 21 页（共 37 页） （2）证明：点 A，C 都在O 上， OAOC 同理 OBOD 四边形 ABCD 是平行四边形
36、AC 是O 的直径， ABC90（直径所对圆周角是直角） 四边形 ABCD 是矩形 ABAOBO， 四边形 ABCD 即为所求作的矩形， 故答案为：直径所对圆周角是直角，AO 【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的性质 20 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c0 （1）当 cb2 时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的 b，c 的值，并求此时方程 的根 【分析】 （1）计算判别式的值得到（b2）2+4，则可判断0，然后根据判别式 的意义判断方程根的情况； （2）利用方程有两个相等的实数根得到b
37、24c0，设 b2，c1，方程变形为 x2+2x+10，然后解方程即可 【解答】解： （1）cb2， b24cb24（b2）（b2）2+4， （b2）20， （b2）2+40 第 22 页（共 37 页） 0， 方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根， b24c0， 若 b2，c1，方程变形为 x2+2x+10，解得 x1x21 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的 实数根；当0 时，方程无实数根 21 （5 分）如图，在ABC 中，ACBC，点 D，
38、E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，连接 DE，DF （1）求证：四边形 DFCE 是菱形； （2）若A75，AC4，求菱形 DFCE 的面积 【分析】 （1）根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论； （2）过 E 作 EGBC 于 G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点， DECF，DEBC，DFCE，DFAC， 四边形 DECF 是平行四边形， ACBC， DEDF， 四边形 DFCE 是菱形； （2）过 E 作 EGBC 于 G， ACBC，A75， BA75， C30， 第 23 页（
39、共 37 页） EGCEAC1， 菱形 DFCE 的面积212 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质， 菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键 22 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：yx+b 与 x 轴交于点 A（2，0） ，与 y 轴 交于点 B双曲线 y与直线 l 交于 P，Q 两点，其中点 P 的纵坐标大于点 Q 的纵坐标 （1）求点 B 的坐标； （2）当点 P 的横坐标为 2 时，求 k 的值； （3）连接 PO，记POB 的面积为 S若，结合函数图象，直接写出 k 的取值 范围 【分析】 （1）有点 A 的坐标，可求出
40、直线的解析式，再由解析式求出 B 点坐标 （2）把点 P 的横坐标代入直线解析式即可求得点 P 的纵坐标，然后把点 P 代入反比例 函数解析式即可得 k 值 （3）根据POB 的面积为 S 的取值范围求点 P 的横坐标取值，然后把横坐标代入直线 解析式，即可求得点 P 纵坐标的取值范围，进而求得 k 的取值范围 【解答】解： （1）直线 l：yx+b 与 x 轴交于点 A（2，0） 2+b0 b2 一次函数解析式为：yx+2 直线 l 与 y 轴交于点 B 为（0，2） 点 B 的坐标为（0，2） ； （2）双曲线 y与直线 l 交于 P，Q 两点 点 P 在直线 l 上 当点 P 的横坐标为
41、 2 时，y2+24 第 24 页（共 37 页） 点 P 的坐标为（2，4） k248 k 的值为 8 （3）如图：当 k0 时， SBOP2xpxp， ， xp1， yp3， k3； 当 k0 时， SBOP2|xp|xp， ， xp1， 1xp， 1yp， 1k； 1k或k3 第 25 页（共 37 页） 【点评】本题主要涉及一次函数与反比例函数相交的知识点根据交点既在一次函数上 又在反比例函数上，即可解决问题 23 （6 分）如图，AB 是O 的直径，CB 与O 相切于点 B点 D 在O 上，且 BCBD， 连接 CD 交O 于点 E过点 E 作 EFAB 于点 H，交 BD 于点 M
42、，交O 于点 F （1）求证：MEDMDE （2）连接 BE，若 ME3，MB2求 BE 的长 【分析】 （1）由题意得 EFBC，则CDEM，又CMDE，则结论得证； （2）连 BE，可得BEFD，可证BEMBDE，则 BE2BMBD，可 求 BE 的长 【解答】 （1）证明：CB 与O 相切于点 B， OBBC， EFAB， EFBC， DEMC， BCBD， CMDE， MEDMDE； （2）EFAB，AB 是O 的直径， 第 26 页（共 37 页） ， DBEF， EBMDBE， BEMBDE， ，即 BE2BMBD， BM2，ME3，BD5， 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性
43、质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质， 相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的 关键 24 （6 分）如图，是直径 AB 所对的半圆弧，C 是上一定点，D 是上一动点，连接 DA， DB， DC 已知 AB5cm， 设 D， A 两点间的距离为 xcm， D， B 两点间的距离为 y1cm， D，C 两点间的距离为 y2cm 小腾根据学习函数的经验分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探 究下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应 值； x/cm
44、0 1 2 3 4 5 y1cm 5 4.9 4 3 0 y2cm 4 3.32 2.47 1.4 0 3 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1） ， （x，y2）并画出函数 y1，y2的图象； 第 27 页（共 37 页） （3）结合函数图象，解决问题：连接 BC，当BCD 是以 CD 为腰的等腰三角形时，DA 的长度约为 1.4 或 4.6 cm 【分析】 （1）由圆周角定理得出ACB90，由勾股定理求出 DB 4.58（cm） ，填表即可； （2）描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1） ， （x，y2） ，画出函数 y1，y2的图象
45、 即可； （3）由表中 y1，y2与 x 的对应值，AD0cm 时，DB5cm，即点 D 与点 A 重合，DC AC4cm，由勾股定理求出 BC3（cm） ，当BCD 是以 CD 为腰的等腰 三角形时，分两种情况： CDBC 时，即 CD3cm 时，由函数图象得：y23 时，x1.4cm 或5cm，点 D 与 点 B 重合，BCD 不存在； CDDB 时，即 y1与 y2相交时，由图象得出 x4.6cm 即可 【解答】解： （1）是直径 AB 所对的半圆弧，C 是上一定点， ACB90， DA2cm，AB5cm， DB4.58（cm） ， 即当 D、A 两点间的距离为 2cm 时 y14.58cm； 如下表所示： 第 28 页（共 37 页） （2）描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1） ， （x，y2） ，画出函数 y1，y2的图象， 如图所示： （3）由表中 y1，y2与 x 的对应值，AD0cm 时，DB5cm，即点 D 与点 A 重合，DC AC4cm， AB5cm， BC3（cm） ， 当BCD 是以 CD 为腰的等腰三角形时，分两种