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2020年5月清华大学中学生标准学术高三能力诊断性数学试题(理科)含答案

1、中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年年 5 月测试月测试 理科数学试卷(理科数学试卷(一一卷)卷) 本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 log (2)0Axx, 2 45,By yxxxA,则AB( ) A3, B2, C2, D3, 2在复平面内,复数 23 1 i i 的虚部为( ) A13 B 13 2 C13 D 13 2 3已知单位向量a,b满足22abab,则 3abab( ) A1 B2 C3 D4 4下列程序框图的算法思想源于我国古

2、代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图, 若输入16a ,10b ,则程序中需要做减法的次数为( ) A6 B5 C4 D3 5在 2 5 2 211xxx的展开式中, 4 x的系数为( ) A6 B6 C10 D4 6 在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边, 且满足 222 6 5 bcabc, 则s i n 2 BC ( ) A 2 2 B 5 5 C 2 5 D 2 5 5 7函数 3 2 x e fx x 的部分图像大致是( ) A B C D 8已知函数 3 1 66 3 xx f xxxee ,若 2 11 0 11 ff aa ,则a的取值范围为(

3、) A , 12, B1,2 C1,00,1 D1,1 $2, 9已知等差数列 n a满足: 1 1a , 416 4aa,则 1912 222a aa ( ) A 38 2 B 19 2 C 16 2 D 76 2 10已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 2 5 ,以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆与直线 21yx相切,则a( ) A2 B5 C3 D1 11设 f x为定义于1,1上的偶函数,当0,1x时, 1 2f xx ,则方程 2 2 x ff x的实数 解的个数为( ) A8 B6 C4 D2 12已知当0,1x时,不等式 2 2 cos11sin0xxxx

4、恒成立,则的取值范围为( ) A 5 1212 kk(k为任意整数) B 5 66 kk(k为任意整数) C 5 2 2 1212 kk(k为任意整数) D 5 2 2 66 kk(k为任意整数) 二、填空题:本大题共 4 小题 13设数列 n a满足 1 4a , 2 10a , 22 21 5 nnn aaa ,3n ,则 20192018 1 lnln 2 aa_ 14设实数x,y满足 0 220 3 xy xy x ,则 22 xy的最大值为_ 15假设抛一枚质地均匀的色子,若抛出的点数为 1、2 或 3,我们称为“小” ,否则,若抛出的点数为 4、 5 或 6,则称为“大” 。独立重

5、复地抛这枚色子两次,已知两次都为“大” ,则第 1 次抛出的点数为 6 的概率 _ 16已知定义于实数R上的奇函数 f x满足 2f x ,则不等式 2 13 2ln3 1 2f xxxx 的解集为_ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作 答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 17 设ABC中, coscos3sincos0CAAB, 内角A、B、C对应的对边长分别为a、b、c (1)求角B的大小; (2)若 22 48ac,求ABC面积S的最大值,并求出S取得最大值时b的值 18如下为简化的计划生育模型:每

6、个家庭允许生男孩最多一个,即某一胎若为男孩,则不能再生下一胎, 而女孩可以多个为方便起见,此处约定每个家庭最多可生育 3 个小孩,即若第一胎或前两胎为女孩,则 继续生,但若第三胎还是女孩,则不能再生了。设每一胎生男生女等可能,且各次生育相互独立依据每 个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定,令X为某一家庭所生的女孩数,Y为此家庭 所生的男孩数 (1)求X,Y的分布列,并比较它们数学期望的大小; (2)求概率P XD X,其中D X为X的方差 19如图,已知四棱锥PABCD的底面ABCD为边长为 2 的菱形,PA 平面ABCD,2PA, 60ABC,F为棱PC上一点,且:1:3PF

7、 FC (1)求证:BDAF; (2)求二面角APD C的余弦值; (3)求三棱锥FAPD的体积V 20 已知双曲线C: 22 22 10,0 xy ab ab 的离心率3e , 其左焦点 1 F到此双曲线渐近线的距离为2 2 (1)求双曲线C的方程; (2)若过点2,0D的直线l交双曲线C于AB两点,且以AB为直径的圆E过原点O,求圆E的圆心到 抛物线 2 4xy的准线的距离 21设函数 3 ln ae f xxb x ,0x ,其中e为欧拉数,a,b为未知实数,且0a 如果 0,e和, e 均为函数 f x的单调区间 (1)求a; (2)若函数 3h xf xcx在0,ee上有极值点,c为

8、实数,求c的取值范围 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分作 答时请写清题号 22选修 4-5:不等式选讲 设 f x为定义于0,1上的函数,满足: (1)对任意0,1x,都有 0f x ; (2)对任意x,0,1y,都有 1 2 1 f xfx fyfy 求证: f x在0,1上的导数恒为零 23选修 2-2,推理与证明 设数列 n a为非负实数列,且满足 12 20 kkk aaa , 1 1 k i i a ,1k ,2, 求证: 1 2 2 0 kk aa k ,1k ,2, 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能

9、力测试诊断性测试 2020 年年 5 月测试月测试 理科数学(一卷)答案理科数学(一卷)答案 一选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B C A D A D A D A C 二填空题: 13 (线下答案)ln5 (线上答案,均可得分)答案 1: 20162016 11 21 22 20172017 11 2ln5ln252 22 答案 2: 20152016 11 2 22 20162017 111 2ln5ln10510 222 1473 15 1 3 160,1 三、解答题:解答应写出

10、文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作 答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 17解: (1)因coscoscoscossinsinCABABAB 得 coscos3sincossincos3sincosCAABABAB 2sinsin0 3 AB 由于sin0A,0B可知 3 B (2)因a,0c , 22 48ac, 22 44acac,故2ac 于是, 1133 sin2 2222 SacB 知ABC面积S的最大值为 3 2 且当S取得最大值时,2ac ,2ac,可得2a ,1c 由余弦定理, 222 2cos3bacacB,

11、即得3b 18解: (1)易知X的取值为 0,1,2,3,对应取值的概率为别为: 1 0 2 P X , 2 11 1 24 P X , 3 11 2 28 P X , 3 11 3 28 P X 即得X的分布列如下 X 0 1 2 3 P 1 2 1 4 1 8 1 8 类似地,Y的取值为 0,1,对应取值的概率分别为: 1 03 8 P YP Y, 7 110 8 P YP Y ; 得Y的分布列如下: X 0 1 P 1 8 7 8 由X,Y的分布列可得它们的期望分别为: 11117 0123 24888 EX , 177 01 888 EY 因此EXEY (2) 2 2 22222 11

12、11771 0123 2488864 D XEXEX 故 711 23 644 P XD XP XP XP X 19解: (1)因PA 平面ABCD,故PABD 又因底面ABCD为菱形,故ACBD 又:PAACA,于是BD 平面PAC 而AF 平面PAC, 因此BDAF (2) 设菱形ABCD的对角线交点为O, 因A CB D,PA 平面ABCD, 我们以O为原点, 分别以OC、 OD的方向为x,y轴的正方向可建立空间直角坐标系如图所示 由题设,易知下列各点的坐标: 1,0,0A ,1,0,2P ,0, 3,0D,1,0,0C 于是,可得向量0,0,2AP , 1, 3,0AD , 2,0,

13、2PC ,1, 3,0CD , 从而,平面APD和平面PCD的法向量分别为 1 3, 1,0r , 2 3,1, 3r 二面角APD C的余弦值 1212 7 /2/ 27 7 r rrr (3)三菱锥FAPD的体积V 三菱锥PACD的体积 1 V 三菱锥FACD的体积 2 V 三棱锥PACD与三棱锥FACD有相同的底面三角形ACD 三棱锥FAPD的高2PA, 因:1:3PF FC ,可知三棱锥PACD的高为 33 42 PA , 于是三菱锥FAPD的体积 13113 23 32326 ACD VS 20解: (1)根据题意,我们有3 c e a , 22 2 2 bc ab ,且 222 a

14、bc可得 2 2b,1a ,3c 于是可得双曲线C的方程为 2 2 1 8 y x (2)易知直线AB与x轴不重合,设直线AB的方程为2xmy 联立方程 2 2 1 8 2 y x xmy ,可得 22 8132240mymy 上述方程式的判别式 2 32 830m ,以及 2 810m (否则直线l不能与双曲线交两点) 设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则 12 2 32 81 m yy m , 12 2 24 81 y y m , 同时可得 2 2 12121212 2 84 2224 81 m x xmymym y ym yy m 以AB为直径的圆过原点O,知 1212 0x

15、 xy y, 结合 2 810m ,可知 2 8424m , 10 2 m 因抛物线 2 4xy的准线方程为1y ,且圆E的圆心即AB中点的纵坐标为 12 2 168 10 28119 yym m 于是可得圆E的圆心到抛物线 2 4xy的准线距离为 8 10 1 19 或 8 10 1 19 21解: (1)令 3 ln3ln aeae g xxx xx ,0x , 2 3 )0 ae gx xx (因 0a ,0x ) 故函数 g x在0,单调递增 设 0g x 的唯一根为 0 x,即 0 x满足 0 0 3ln ae x x (利用3lnx, ae x 的函数图很容易确定) 于是,当 0

16、0,xx时, 0g x ,而当 0, xx时, 0g x 从而,当 0 0,xx时, 3ln ae f xxb x , 当 0, xx时, 3ln ae f xxb x 可知, 0 0,x为 f x的单调递减区间, 0, x 为 f x的单调递增区间 进而,由题设得 0 xe 因此, 00 3ln 3 xx a e (2)若函数 3h xfxcx在0,ee上有极值点,则易知存在 0 0,xee,使得 0h x 注意到 2 2 33 3 ,0, 33 3 , e c xe xx h e c xe x x x , 故知有两种情形: 2 33 30 e c xx 在0,e上有根,或等价于 2 0ey

17、yc在 1 , e 上有解, 这只需 2 11 0ec ee ,即得 2 c e 2 33 30 e c xx 在, e 上有根,或等价于 2 0eyyc在 1 0, e 上有解,故需满足0c且 2 11 0ec ee ,从而 2 0c e 综上,c的取值范围为 22 ,0, ee (二)选考题:请考生在第 22,23 题中任选题作答,如果多做,则按所做的第一题计分作答时请写清 题号 22选修 4-4:坐标系与参数方程 证明:要证明 f x在0,1上的导数恒为零,等价于证明 f x在0,1上恒为常数 因对任意0,1x, 都有 0f x , 故对任意x,0,1y, 都有 f x,1fx, fy,

18、10fy 对任意x,0,1y,都有 1 2 1 f xfx fyfy ,故有 1121f x fyf y fxf y fy (3) 因(3)对于任意0,1x都成立,故令1xy ,可得 22 1210f xfxf x fx 但注意到 222 1211f xfxf x fxf xfx, 我们有 2 10f xfx,从而, 1f xfx,0,1x 于是, 1 2 1 f xfx fyfy 可化为 22 fx fy ,即 f xf y,x,0,1y 同理,亦有 f yf x,x,0,1y 因此,x,0,1y, f xf y即得证 f x在0,1上恒为一个常数 23选修 4-5:不等式选讲 证明:先证

19、1 0 kk aa ,1k ,2, 若存在某个 0 1k ,使得 00 1kk aa ,则有 00000 1122kkkkk aaaaa 即从 0 k a起,非负数列 n a单调递增, 于是, 1 k i i a 将随着 k 的增加而趋于正无穷,不可能永远小于等于 1,即与 1 1 k i i a 1k ,2,矛盾故 1 0 kk aa ,1k ,2, 再证 1 2 2 kk aa k ,1k ,2, 令 1 0 kkk baa ,1k ,2,由 12 20 kkk aaa 可知 1kk bb ,1k ,2, 又因 1234123 1 1223 k ikk i abaaaabbaa 1231 23 kk bbbkbka 123 23 k bbbkb 故有 123 1 1231 2 2 kkk k k bbbkbk bb 从而, 2 22 1 k b k kk 即证得 1 2 2 kk aa k ,1k ,2,