1、2020 年河东区高考模拟考试数学试卷年河东区高考模拟考试数学试卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟 第卷（选择题 共 45 分） 一、选择题：本题共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分，每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求 1已知集合 2, 3, 4,4,5A ， |1|Bxx，则AB（ ） A 2, 3,4 B 2,4,5 C 1, 2, 3, 4,0,1,2,3,4,5 D 2,4 2i是虚数单位，复数Z满足条件2| 2ZZi，则复数Z在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3双曲线 2
2、2 2 1(0) 5 xy a a 的一条渐进线与直线5yx垂直，则a的值为（ ） A5 B25 C5 D1 4已知平面a，直线l，直线m不在平面上，下列说法正确的是（ ） A若,m，则lm B若,m，则lm C若,lm，则m D若,lm m，则 5对于非零向量a、b， “2ab”是“a，b共线”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 已知函数 f x为定义在 3,3的奇函数， 且(2)(1)(3)0fff， 则下列各式中一定成立的是 （ ） A 21 3 1 (1)log(0)log 9 8 ffff B 12 3 1 log 9( 1)log(
3、0) 8 ffff C 12 3 log 9( 1)(1)log 8ffff D 12 3 1 log 9( 1)log(0) 8 ffff 7 三角形ABC中，,ABC对应的边分别为, ,a b c， 2 3 A ，3b， 三角形ABC的面积为15 3 4 ， 则边a的长为（ ） A19 B 91 2 C7 D49 8已知实数, ,0a b ab ，则 2222 4 ab aba b 的最大值为（ ） A 1 6 B 1 4 C 1 7 D6 9已知函数 13 ( )sin 40, 324 f xxx ，函数( )( )g xf xa有 3 个零点 1 x， 2 x， 3 x，则 123 x
4、xx的取值范围是（ ） A 107 , 32 B 75 , 128 C 5 0, 8 D 75 , 128 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上 ） 10在 5 2 y x 的展开式中， 3 xy的系数为_ 11已知抛物线的焦点为 1 0, 2 F ，点(1, )Pt在抛物线上，则点P、F的距离为_ 12已知圆O过点(0,0), (0,4),(1,1)ABC，点(3,4)D到圆O上的点最小距离为_ 13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为 8 3 ，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱的中点的球的表 面积为_ 14 如图，圆O内接正三角形ABC边长为
5、 2，圆心为O，则OB OC_ 若线段BC上一点D， 1 2 BDDC，OC AD_ 15函数( )f xx， 2 ( )3g xxx若存在 12 9 ,0, 2 n x xx ，使得 121121nnnn fxfxfxgxgxgxgxfx ， * nN，则n的最大值 为_ 三、解答题： （本大题 5 个题，共 75 分） 16已知递增等差数列 n a，等比数列 n b，数列 n c， 11 1ac， 4 9c ， 1 a、 2 a、 3 a成等比数列， nnn bac， * nN （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）求数列 n c的前n项和 n S 172020 年 1 月生日
6、天津日报发表文章总结天津海河英才计划成果 厚植热土 让天下才天津用 我市精细服务海河英才优化引才结构 “海河英才”行动计划，紧紧围绕“一基地三区”定位，聚焦战略性新兴产业人才需求，大力、大胆集聚 人才。政策实施 1 年半以来，截至 2019 年 11 月 30 日，累计引进各类人才落户 23.5 万人具体比例如图所 示，新引进两院院士，长江学者，杰出青年科学基金获得者等顶尖领军人才 112 人 记者李军计划从人才库中随机选取一部分英才进行跟踪调查采访 （1） 李军抽取了 8 人其中学历型人才 4 人， 技能型人才 3 人， 资格型人才 1 人， 周二和周五随机进行采访， 每天 4 人（4 人顺
7、序任意） ，周五采访学历型人才人数不超过 2 人的概率； （2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补贴，学历型人才 500 元/人，技能型人才 400 元/人，资格型 人才 600 元/人， 则创业型急需型人才最少补贴多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/人？ 18如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，正方形ABCD边长为 2，E是PA的中点 （1）求证：PC平面BDE； （2）求证：直线BE与平面PCD所成角的正弦值为 10 10 ，求PA的长度； （3）若2PA，线段PC上是否存在一点F，使AF 平面BDE，若存在求PF的长度，若不存在则说 明 19已知椭圆
8、22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为( , 0)F c，左右顶点分别为A，B上顶点为C， 120BFC （1）求椭圆离心率； （2）点F到直线BC的距离为 21 7 ，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，点P在椭圆上且异于A、B两点，直线AP与直线2x 交于点D，说明P运动 时以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明 20已知函数 2 ( )lnf xxxkx，0k （1）函数( )f x在点(1,(1)f处的切线的斜率为 2，求k的值； （2）讨论函数( )f x的单调性； （3）若函数( )f x有两个不同极值点为 1 x、 2 x，证明 12 1 2 4 fxfxk
9、2020 年河东区高考模拟考试数学参考答案年河东区高考模拟考试数学参考答案 一、选择题：本大题共 9 个小题，每小题 5 分，满分 45 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B A B B D C A D 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分 10 5 4 111 125 136 14 2 3 、 2 3 158 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 75 分解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程 16 （1）由已知，1(1) n and ， 2 215 aa a 2 分 解为2d 或 0（舍） ， * 21 n annN 4 分 111 2ba
10、c， 1 2 n n bq ， 444 16bac，解2q ，2n n b 8 分 （2）2(21) n nnn cban 2 12 21232(21) n nn Scccn 212 22213(21)22 nn nn * nN 14 分 17 （1）事件A“周五采访学历型人才人数不超过 2 人”的概率 41322 44444 4 8 53 ( ) 70 CC CC C P A C 6 分 （2）各类人才的补贴数额为随机变量，取值分别为 400、500、600、x分布列为： 400 500 600 x P 25.5% 53.6% 19.1% 1.8% ( )4000.2555000.53660
11、00.1910.018484.60.018Exx 484.60.018500x，解为 7700 (855.56) 9 x 15 分 18 （1）如图以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz (0,2,0) (0,2,2) (0,0,2)(0,0,0) ( ,2,0)(0)ABCDP aa ,2,0 2 a E (, 2,2)PCa 设平面BDE法向量为 1000 ,nxy z (0,2,2)DB ，,2,0 2 a DE 00 00 220 20 2 yz a xy 令 0 1y ， 1 4 ,1, 1n a 1 4220PC n ，PC 平面BDE，PC平面BDE 5 分 （2）设平面PCD法向
12、量为 2000 ,nxy z，(0,0,2)DC ，( ,2,0)DPa， 0 00 20 20 z axy 令 0 2x ， 2 (2,0)na，,0, 2 2 a BE ，夹角 2 2 2 22 |10 sin|cos,| 10| 44 4 BE na BE n BE n a a 解2a 或 4 10 分 （3） 1 2, (2,2,0),(22 ,22 ,2 ),( 2,1, 1)aPPFPC Fn (22 , 2 ,2 )AF， 222 21 ，解 1 3 ， 2 3 3 PF 15 分 19 （1）由已知， 1 cos60 2 c a 3 分 （2）( ,0),(0, )B aCb，
13、直线 3 :() 2 BC lyxa ， 3()21 77 F BC ac d 解为2a ，1c ，椭圆方程为 22 1 43 xy 7 分 （3）以BD为直径的圆与直线PF相切，证明直线:(2)(0) AP lyk xk 22 (2) 3412 yk x xy 交点为 , pp A P xy 得 22 2222 22 161268 431616120, 2, 4343 pp kk kxk xkxx kk 2 12 2 43 pp k yk x k ，(1,0)F，点(2,4 )Dk，BD中点圆心(2,2 )Ek 当 1 2 k 时，点 3 1, 2 P ，直线:1 PF lx ，圆心(2,
14、1)，半径 1，与直线相切 当 1 2 k 时， 2 4 114 p PF p y k k xk ， 2 4 :(1) 14 PF k lyx k 点E到直线PF的距离 2 2 2 14 221 4 |2 | 14 1 4 E PF k k k dk k k 为半径，得证 15 分 20 （1）( )21(0) k fxxx x ，(1)12fk ，1k 3 分 （2）令( )210 k fxx x 即 2 20xxk，1 8k 当 1 8 k 时，0 ，( )0fx，( )f x在(0,)单调递增 当 1 0 8 k时，0 ， 12 0 2 k x x ， 12 1 0 2 xx， 12 ,
15、0x x 1 118 4 k x ， 2 118 4 k x ， 12 xx ( )f x在 118 0, 4 k ， 118 , 4 k 单调递增 在 118118 , 44 kk 单调递减 8 分 （3）由（2）可知， 1 0 8 k， 21 f xf x 22 11 1212121212 22 ln1ln xx f xf xxxxxkxxxxk xx 1 lnln(1)ln(1) 441 kk 令(0,1)t 则 2 111 2 444 kt ，只需证明 2 ln(1)ln(1) 44 tt ktt 2 ( )ln(1)ln(1) 44 tt g tktt（只需证明( )0g t 即可） 2 11112 ( ) 2411241 ttk g tk ttt 2 11(1 8 )8tkk ， ( )0 2 t g t，( )g t在(0,1)单调递增 ( )(0)0g tg，得证 （注：学生有其它解法时，请参照以上标准按步骤给分）