1、第二讲 和差倍中的分组比较 三年级我们学习过，当题目中包含两个以上的对象时，最简单的解决方法就 是：把其中的若干对象“打包” ，变成一个对象，从而减少对象的数量，最终把 问题变成两个对象间的和差倍问题这种“打包”的方法就是所谓的分组法在 有多个对象的和差倍问题中，分组法和比较法是常用的方法 我们先来看这么一个简单的问题： 甲、乙、丙三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出 60 千克与 90 千克之间的重量，因此他们三人只能两人两人一起称重甲和乙一起称，总重量 是 73 千克；乙和丙一起称，总重量是 80 千克；丙和甲一起称，总重量是 75 千 克三人的体重分别是多少千克？ 我们把甲、 乙
2、两人看成一组， 乙、 丙两人也看成一组 （其中乙同时属于两组） ， 比较这两组我们发现丙比甲重（千克） 再结合甲、丙总重量为 75 千 克，可以根据和差关系算出甲、丙各自的重量 80 737 在这个例子中，我们既考虑两人一组的总重量，也把两组的总重量作比较 除此之外， 还有另外一种利用分组进行比较的分析方法： 同样的， 我们把甲、 乙、丙三个人两两的体重看做一组，把三组相加，即为三个人体重和的 2 倍由 此可得三人体重之和为（千克） ， 再分别与每一组进行比较， 即可得到三个人的体重 由此可见，用分组法与比较法在处理多个对象的和差倍关系时，可以把条件 之间的关系变得更清晰而且，一个题目往往是可
3、以从不同的角度去采用不同的 分析方法进行解决的所以我们要根据题目的实际情况进行合理的比较 有些题目直接列出算式去比较会很麻烦， 所以我们可以用画图的方法来帮助 我们比较 例题 1 高思举办吃包子大赛， 高高比思思多吃3个， 萱萱比卡莉娅多吃9个， 高高和卡莉娅共吃了 87 个那么这四个人共吃了多少个包子？ 分析分析按画出分组图，比较两组中有关联的人，你有什么发现吗？ 练习 1 有来自阳光、 灿烂、 雨天、 清风这四所小学的同学参加高思吃包子比赛， 其中阳光学校参赛人数比灿烂学校多 5 人，雨天学校参赛人数比清风学校多 7 人如果灿烂、雨天两校一共有 40 人参加比赛，那么阳光、清风两校一共 有
4、多少人参加比赛？ 例题 2 在神秘的星球上只有四种水果，其中火龙果和水龙果共 83 个，水龙 果和金龙果共 86 个，金龙果和木龙果共 88 个请问：火龙果和木龙 果共多少个？ 分析分析 这三组的总数之间有什么联系吗？比较其中两组的水果数量， 你有什么发现吗？或 者试试比较法中“累加”的思想，能有什么发现呢？ 练习 2 西瓜太郎有四种西瓜，其中红西瓜和绿西瓜共 23 个，绿西瓜和粉西瓜共 35 个，粉西瓜和黄西瓜共 39 个问：红西瓜和黄西瓜共多少个？ 73 80752 114 在以前学习盈亏问题时，我们也经常把两种情况进行对比，然后分析其中的 差别，只要找出差别的原因，问题也就随之解决了而在
5、和差倍问题中，我们也 会使用类似的办法不止如此，以后五六年级面对更复杂的应用题时，比较法仍 然是一个非常重要的思考方法通过本讲的学习，大家对比较法会有更深刻的理 解 例题 3 某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满 30 天，工厂将给他一套 工作服和 1000 元钱但由于学校另有安排，他工作了 10 天后便中止 了合同按天计算所得的报酬，工厂需要给他一套工作服和 200 元 钱请问：这套工作服值多少元？ 分析分析工作 10 天比工作 30 天要少拿 20 天的报酬，究竟是少拿了多少钱呢？ 练习 3 在海洋王国里，海豚在鲸鱼开的餐厅打工它俩说好工作满 30 天，鲸鱼就 付给海豚 100 个海洋币
6、和 1 颗珍珠但是工作了 25 天，海豚便决定不干了按 天算工资，鲸鱼只付给它 50 个海洋币和 1 颗珍珠请问：这颗珍珠值多少个海 洋币？ 例题 4 某食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍， 该食堂每天消耗面粉20袋， 大米 60 袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下 200 袋这个食堂买 来大米多少袋？ 分析分析由于大米的袋数是面粉的 4 倍，我们可以把 1 份面粉和 4 份大米分成一组，怎 么分组才能使每天恰好消耗完一组中的面粉呢？这时一组里剩下多少袋大米呢？你能算出 一共用了多少天吗？ 练习 4 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的 3 倍每次从箱子里取出 7 个白球， 15 个红球
7、经过若干次后， 箱子里白球恰好被取完， 只剩下 54 个红球 那 么箱子里原有红球、白球各多少个？ 例题 5 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是 121 人；不算丁班，其余三个班的总人数是 134 人；丁班人数的 2 倍 比甲班多 9 人请问：这四个班共有多少人？ 分析分析把题目给出的条件列举出来，进行比较分析，能得出什么关于丁、甲两班的关 系吗？ 例题 6 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班，其余三个班的总人数是 140 人；乙、丙两个班的 总人数比甲、 丁两个班的总人数少 1 人 请问： 这四个班共有多少人？ 分析分
8、析我们把乙、丙两班分成一组，甲、丁两班分成一组，你知道这两组人数之间都有哪 些关系吗？ 课堂内外 真差 25 倍吗？ 在秋天的赛季里，有两匹马星期天和戈尔被公认是发挥最出色的星期天 轻松地获得肯塔基的冠军，戈尔取得了贝尔盟的桂冠而在这两项比赛里，两匹马都取 得了一项赛事的冠军，打成了平手关键在于另一项总决赛，即普力克在普力克这场 比赛里，这两匹马都奋力向终点冲去，超过其它马有一匹马的身位电子记录显示，星 期天获得了胜利，但仅比对手快了一个鼻子那么一丁点 在这一单项赛事里，星期天获得了 50 万美元的奖励再加上总成绩第一的 100 万 奖金，这样就达到了 150 万美元而第二名戈尔只得到了 6
9、万美元星期天得到的 是戈尔的 25 倍，那么星期天做的真的比戈尔好 25 倍吗？不可能完成这 3 项比赛需要 5 个星期的时间，需要跑 4 公里的路程，一匹马只是比其对手快了 2 英寸而已，实际上 差别并不大，甚至可以说几乎没有差别而它们的回报却相差 25 倍！这就是微小边缘 原理在起作用 也许只是多一点点的训练也许只是多一点点的奋争，也许计划方法只是好那么一 点点，也许所有这些因素或者还有其它更多的原因每一项几乎都是微不足道的，然而 把这一些加起来，优势和利益将令你难以置信 其实，人与人之间的差别和精明与否，是通过许多小的步骤取得的每次只是一小 步而已许多人失败后，就灰心丧气，然后放弃倘若把
10、注意力先放在小的改变上面将 会更容易，更高效并且少受挫折，之后再看它们累加起来的效果 注意微小的边缘，专心致志，不遗余力，寻求突破，你将挥别失败 与痛苦，笑迎成功与欢乐 作业 1. 学校举行联欢会如果甲、乙、丙三个班的学生参加，共 60 人；如果只有甲、乙两班 的学生参加，共 40 人；如果只有乙、丙两班的学生参加，共 32 人则乙班有多少人？ 2. 某次数学考试，甲、乙的成绩和是 184 分，乙、丙的成绩和是 188 分，那么甲比丙少多 少分？ 3. 一个油桶里有一些油，如果把油加到原来的 2 倍，油桶连油共重 38 千克；如果把油加 到原来的 4 倍，这时油和桶共重 46 千克那么桶重多少
11、千克？ 4. 森林学校里，有的学生爱吃苹果，有的学生爱吃桔子于是，兔子厨师就专门针对不同 学生的口味订购了一批苹果和桔子，已知苹果数量是桔子的 5 倍，小朋友们每天一共要 吃 30 个桔子和 90 个苹果，几天后桔子全部被吃完了，苹果却还剩下 600 个请问兔子 厨师一共订购了多少个苹果？ 5. 老大、老二、老三是张家三兄弟，今年老大与老二的年龄之和是 23 岁，老二与老三的 年龄之和是 18 岁，老大与老三的年龄之和比老二年龄的 2 倍多 1 岁请问：今年三兄 弟的年龄和是多少岁？ 第二讲 和差倍中的分组比较 1. 例题 1 答案：180 详解：根据题目的数量关系，分组画图，根据题目的数量关
12、系，分组画图，思思和萱萱一共吃了思思和萱萱一共吃了 873993 个包子， 所以这四个人共吃了个包子， 所以这四个人共吃了8793180个包子个包子 2. 例题 2 答案：85 详解：方法一：方法一：根据题目的数量关系，分组画图，根据题目的数量关系，分组画图，金龙果比火龙金龙果比火龙 果多果多 3 个，所以火龙果和木龙果的总个数比金龙果和木龙果的总个数少个，所以火龙果和木龙果的总个数比金龙果和木龙果的总个数少 3 个，即个，即88385个个 方法二：方法二：8388171个，即为金、木、水、火四种水果的总个数要求火、木的个数，用四种个，即为金、木、水、火四种水果的总个数要求火、木的个数，用四种
13、 水果的总个数减去金、水的个数即可，水果的总个数减去金、水的个数即可，171 8685个个 3. 例题 3 答案：200 元 详解：30 天工资天工资=工作服工作服+1000 元，元，10 天工资天工资=工作服工作服+200 元，比较两次的工资，去掉相同的部元，比较两次的工资，去掉相同的部 分即工作服，比较差异，相差分即工作服，比较差异，相差1000200800元，是因为实际少工作了元，是因为实际少工作了 20 天，所以此天，所以此 800 元恰元恰 好是好是 20 天的工资，所以天的工资，所以 10 天的工资就是天的工资就是8002400元，根据第二个等式可以知道工作服值元，根据第二个等式可
14、以知道工作服值 400200200元元 4. 例题 4 答案：800 袋 详解：大米的袋数是面粉的大米的袋数是面粉的 4 倍，根据倍数关系分组，实际每天消耗面粉倍，根据倍数关系分组，实际每天消耗面粉 20 袋，所以将袋，所以将 20 袋袋 面粉、面粉、80 袋大米分为一组，但是大米每天消耗袋大米分为一组，但是大米每天消耗 60 袋，所以每组剩下袋，所以每组剩下 20 袋，最后一共剩下袋，最后一共剩下 200 袋，所以共有袋，所以共有2002010组，即大米有组，即大米有10 80800袋袋 5. 例题 5 答案：156 人 详解：乙、丙、丁共乙、丙、丁共 121 人，甲、乙、丙共人，甲、乙、丙
15、共 134 人，其中乙、丙的人数和是不变的，通过比较人，其中乙、丙的人数和是不变的，通过比较 可以知道甲比丁多可以知道甲比丁多134 121 13人，而丁的人，而丁的 2 倍比甲多倍比甲多 9 人，画线段图可以知道丁班的人数是人，画线段图可以知道丁班的人数是 13922人，这四个班的总人数就是人，这四个班的总人数就是13422156人人 高高 + 卡莉娅 87 思思 + 萱萱 -3 +9 火 + 水 83 金 + 水 86 金 + 木 88 +3 +2 火 + 木 ？ -3 -3 6. 例题 6 答案：181 人 详解：乙、丙、丁共乙、丙、丁共 131 人，甲、乙、丙共人，甲、乙、丙共 140
16、 人，相加可得， “乙丙”的人，相加可得， “乙丙”的 2 倍与“甲丁”一共倍与“甲丁”一共 271 人，又知“甲丁”比“乙丙”多人，又知“甲丁”比“乙丙”多 1 人，所以“乙丙”的人，所以“乙丙”的 3 倍为倍为271 1270 人，则“乙丙”人，则“乙丙” 为为270390人， “甲丙”为人， “甲丙”为 91 人，四个班一共人，四个班一共9091 181 7. 练习 1 答案：38 人 详解：根据题目的数量关系，分组画图，根据题目的数量关系，分组画图，阳光和清风一共有阳光和清风一共有 405738个人个人 8. 练习 2 答案：27 个 详解：233962个，即为红、绿、粉、黄四种西瓜的
17、总个数要求红、黄的个数，用四种西个，即为红、绿、粉、黄四种西瓜的总个数要求红、黄的个数，用四种西 瓜的总个数减去粉、绿的个数即可，瓜的总个数减去粉、绿的个数即可，623527个个 9. 练习 3 答案：200 个 简答：30 天工资天工资=珍珠珍珠+100 个海洋币，个海洋币，25 天工资天工资=珍珠珍珠+50 个海洋币，比较两次的工资，去掉相个海洋币，比较两次的工资，去掉相 同的部分即珍珠，比较差异，相差同的部分即珍珠，比较差异，相差1005050个海洋币，是因为实际少工作了海洋币，是因为实际少工作了 5 天，所以此天，所以此 50 个海洋币恰好是个海洋币恰好是 5 天的工资，所以天的工资，
18、所以 30 天的工资就是天的工资就是50 6300个海洋币，根据第一个等式海洋币，根据第一个等式 可以知道珍珠值可以知道珍珠值300 100200个海洋币海洋币 10. 练习 4 答案：白球 63 个；红球 189 个 简答：红球的个数是白球的红球的个数是白球的 3 倍，根据倍数关系分组，实际每天消耗白球倍，根据倍数关系分组，实际每天消耗白球 7 个，所以将个，所以将 7 个白个白 球、球、21 个红球分为一组，但是红球每天消耗个红球分为一组，但是红球每天消耗 15 个，所以每组剩下个，所以每组剩下 6 个，最后一共剩下个，最后一共剩下 54 个，个， 所以共有所以共有5469组，即白球有组，
19、即白球有9763个，红球有个，红球有9 21 189个个 11. 作业 1 答案：12 人 简答：甲、乙、丙的总人数减去甲、乙的总人数，可得丙班有604020人；甲、乙、丙的总 人数减去乙、丙的总人数，可得甲班有603228人；所以乙班有60202812人 12. 作业 2 答案：4 分 简答：甲、乙和为 184，乙、丙和为 188，所以丙比甲多188 1844分，即甲比丙少 4 分 13. 作业 3 灿烂 + 雨天 40 阳光 + 清风 +5 -7 答案：30 千克 简答：从 38 千克增加到 46 千克，增加的是“2 倍油”的重量，即46388千克，所以油桶的 重量是38830千克 14.
20、 作业 4 答案：1500 个 简答：苹果是桔子的 5 倍，小朋友们每天一共要吃 30 个桔子和 90 个苹果，所以我们把 30 个桔 子和 150 个苹果分为一组，这样每天、每组会剩下 60 个苹果，最后只剩下 600 个苹果，所以一 共分了6006010组，开始一共有苹果150 101500个 15. 作业 5 答案：31 岁 简答：老大与老二年龄和是 23 岁，老二与老三年龄和是 18 岁，相加可得老大、老三与“老二 年龄的 2 倍”一共是23 1841岁而老大与老三的年龄和比“老二年龄的 2 倍”多 1 岁，所 以 “老二年龄的 2 倍” 为41 1220岁， 即老二今年 10 岁 所以三兄弟的年龄和为41 1031 岁