1、第三讲 基本直线形面积公式 在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形在日常生活中，我们最常 见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形 在有关直线形的计算中，计算周长和计算面积是最常见的两类我们已经学 过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积 1. 正方形和长方形的面积 正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如下图： 试一试 1. 正方形的边长是 6 厘米，面积是_平方厘米 2. 长方形的长为 8 厘米，宽为 4 厘米，面积是_平方厘米 3. 正方形的面积是 121 平方厘米，它的边长是_厘米 4. 长方形的面积是 48 平方厘米，宽为 4
2、厘米，长为_厘米 例题 1 如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽 种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜其中栽种茄子 的面积是 16 平方米，栽种黄瓜的面积是 28 平方米， 栽种豆角的面积是 32 平方米，栽种莴笋的面积是 72 平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方 形请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？ 分析分析左上角是面积为 16 的正方形， 那么它的边长是多少？你还能求出哪些线 段的长度呢？ 练习 1 如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、 黄瓜，其中冬瓜地的面积是 24 平方米，西瓜地的面积是 36 平方米，南瓜地的面 积是 18 平方米，
3、而且左下角西瓜地恰好是一个正方形请问：剩下的黄瓜地的 16 32 28 72 ? 正方形 正方形的面积边长 边长 边长 长 长方形的面积长 宽 宽 面积是多少？ 2. 平行四边形的面积 如下图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色 标出来 为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一 个长方形，如下图 这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同， 都等于长方形的长乘以 宽长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段在平行四边形中，这 两条线段分别叫做底和高于是我们有： 平行四边形面积底 高 如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是
4、相等的， 都等于上下两条平行线间的距离 36 18 24 ？ 底 高 高 高 当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形， 如下面 左图所示同样得到相对于这条底的若干条高，如下面右图所示，这些高也是相 等的，都等于左右两条平行线间的距离 要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高大家看看 下面的几个图形，试着画出与底边相对应的高 画一画 下面有四个平行四边形，每个平行四边形都指定了一条边作为底，请画出与每条 底相对应的高 例题 2 下图是由两个边长分别为 4 和 7 的正方形拼成的， 请求出阴影平行四边形的面积 分析分析阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？
5、 相应的高是多少呢？ 练习 2 如图， 大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四 边形如果大正方形的边长是 20 厘米，小正方形的边长是 8 厘米那么阴影平行四边形的面积是多少？ H A B C G F E D 7 4 底 高 高 高 底 底 底 底 3. 三角形的面积 三角形中也有相对应的底和高过三角形的一个顶点向所对的边做一条垂线， 所得的垂线段叫做三角形的高，所对的边叫做三角形的底每个三角形有三组对 应的底和高 要计算三角形的面积，同样要利用底和高的长度观察下图，我们把一个三 角形倒过来和原图形拼在一起，可以得到一个平行四边形 平行四边形的底与三角形的底相等，高也与三角形的高相等而平行
6、四边形 的面积等于 “底 高” ，正好是三角形面积的 2 倍，所以我们有三角形面积公式： 2三角形面积底 高 从形状上讲，三角形有三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形由于 三角形的形状多变，在初学阶段要找准三角形相对应的底和高很不容易因此要 想算出三角形的面积，最关键的还在于准确地找到底与相应的高 下面是一个简 单的作图练习，大家不妨画一画 画一画 以下三个三角形都指定了一条边为底，请分别作出每条底所对应的高 底 底 底 例题 3 如下图所示，两个正方形并排放在一起，大 正方形的边长是 8 厘米， 小正方形的边长是 6 厘米请问：阴影三角形的面积是多少？ 分析分析阴影部分是三角形，应该选哪
7、条边作为底 呢？相应的高是多少呢？ 练习 3 右图是由两个边长分别为 4 和 6 的正方形拼成的，请求出阴 影三角形的面积 4. 梯形的面积 三角形和平行四边形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有在梯形中， 平行的一组对边分别叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰，上底和下底之 间的距离叫做梯形的高 如下图所示，把两个相同的梯形拼在一起，可以得到一个平行四边形 从图中可以看出，这个平行四边形的面积是梯形面积的 2 倍同时平行四边 形的底由梯形的上底和下底拼接而成，高与梯形的高相等所以： 2梯形的面积上底下底高 8 6 上底 下底 腰 腰 高 例题 4 一个正方形和一个长方形按下图的方式排 放，
8、已知正方形的面积是 49 平方厘米，长 方形的长为 11 厘米，宽为 8 厘米，那么阴 影部分的面积是多少？ 分析分析阴影部分是梯形，要求面积，关键是找清楚它的上底、下底、高分 别是多少 练习 4 如下图， 大正方形的边长是 8 厘米， 小正方形的边长是 6 厘米请问：图中的阴影图形的面积是多少平方厘米？ 例题 5 如下图所示，两个边长 10 厘米的正方形 相互错开 3 厘米，那么图中阴影平行四 边形的面积是多少？ 分析分析阴影部分是平行四边形，应该选哪 条边作为底呢？相应的高是多少呢？ 例题 6 如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是 5 厘米，大正 方形的边长是 7 厘米请问：阴影部
9、分的面积是多少？ 分析分析阴影部分由两个三角形组成， 你能分别求出这两 个三角形的面积吗？以哪条边作为底最容易计算呢？ 11 8 10 10 3 课堂内外 小欧拉与大羊圈 欧拉是著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支 领域中都取得了出色的成就 不过， 这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢， 他是一个被学校除了名的小学生 小欧拉因为问老师天上星星有多少颗，老师也答不上来，只知道天上的星星是上帝 镶上去的小欧拉感觉上帝真是太粗心了，竟然忘记了星星的数目！在欧拉的年代，对 上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考小欧拉没有与 上帝“保持一致”
10、，老师就让他离开学校回家 回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童他一面放羊，一面读书他读的 书中，有不少数学书爸爸的羊渐渐增多了，达到了 100 只原来的羊圈有点小了，爸 爸决定建造一个新的羊圈他用尺量出了一块长方形的土地，长 40 米，宽 15 米，他一 算，面积正好是 600 平方米，平均每一头羊占地 6 平方米正打算动工的时候，他发现 他的材料只够围 100 米的篱笆，不够用若要围成长 40 米，宽 15 米的羊圈，其周长将 是 110 米父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添 10 米长的材料；要是缩小 面积，每头羊的面积就会小于 6 平方米 小欧拉却向父亲说， 不用缩小羊圈，
11、 也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划 他 有办法父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他小欧拉急了，大声说，只要稍稍 移动一下羊圈的桩子就行了 父亲听了直摇头， 心想： “世界上哪有这样简单的事情？” 但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美父亲终于同意让儿子试试看 小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁他以一个木桩为中心， 将原来的 40 米边长截短， 缩短到 25 米 父亲着急了， 说： “那怎么成呢？那怎么成呢？ 这个羊圈太小了，太小了”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来 15 米的边长 延长，又增加了 10 米，变成了 25 米经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个 2
12、5 米边长的正方形 然后， 小欧拉很自信地对爸爸说： “现在， 篱笆也够了， 面积也够了 ” 父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100 米长的篱笆真的够了，不多不少，全 部用光面积也足够了，而且还稍稍大了一些父亲心里感到非常高兴孩子比自己聪 明，真会动脑筋，将来一定大有出息父亲感到让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜 了后来，他想办法让 小欧拉认识了一个大数学家伯努利通过这位数学家的推荐，1720 年，小欧拉成了巴塞 尔大学的大学生这一年，小欧拉 13 岁，是这所大学最年轻的大学生 作业 1. 在下面的每个平行四边形与三角形中，作出以 AB 为底的高 2. 如图， 大正方形被分成三块区域 左上角
13、的正方形面积为 4， 右上角的长方形面积为 6， 请问：大正方形的面积是多少？ 3. 下图中，大正方形的面积是 64，小正方形的面积是 36求平行四边形的面积 4. 下面两幅图都是边长为 8 和 6 的两个正方形拼成的， 根据图中所示的线段长度， 求两个 阴影三角形的面积 5. 如图，两个正方形并排放在一起，小正方形的边长是 9 厘米，大正方形的边长是 13 厘 米请问阴影梯形的面积是多少平方厘米？ 8 6 6 8 4 6 A B C D A B C D A B C A B C 第三讲 基本直线形面积公式 1. 例题 1 答案：8 平方米 详解：方法一：正方形的面积是方法一：正方形的面积是 1
14、6 平方米，所以正方形的边长是平方米，所以正方形的边长是 4 米，黄瓜的面积是米，黄瓜的面积是 28 平方平方 米，黄瓜的宽是米，黄瓜的宽是 4 米，长就是米，长就是2847米豆角的面积是米豆角的面积是 32 平方米，豆角的宽是平方米，豆角的宽是 4 米，所以长米，所以长 是是3248米，莴笋的宽是米，莴笋的宽是 8 米，面积是米，面积是 72 平方米，所以长是平方米，所以长是7289米所以苦瓜的宽是米所以苦瓜的宽是 972米，长是米，长是 4 米，所以苦瓜的面积是米，所以苦瓜的面积是2 48平方米；方法二：豆角是茄子面积的平方米；方法二：豆角是茄子面积的 2 倍，倍， 所以莴笋是黄瓜和苦瓜面
15、积和的所以莴笋是黄瓜和苦瓜面积和的 2 倍，黄瓜和苦瓜的面积是倍，黄瓜和苦瓜的面积是72236平方米， 所以苦瓜的面积平方米， 所以苦瓜的面积 是是36288平方米平方米 2. 例题 2 答案：28 详解：阴影平行四边形的底阴影平行四边形的底 BC 是是 4，高，高 FG 是是 7，所以平行四边形的面积是，所以平行四边形的面积是4 728 3. 例题 3 答案：42 平方厘米 详解： 阴影三角形的底是阴影三角形的底是 6 厘米， 高是厘米， 高是6814厘米， 所以阴影三角形的面积是厘米， 所以阴影三角形的面积是6 14242平平 方厘米方厘米 4. 例题 4 答案：30 平方厘米 详解： 阴
16、影部分是一个梯形， 这个梯形的上底是正方形上面的边， 正方形的面积是阴影部分是一个梯形， 这个梯形的上底是正方形上面的边， 正方形的面积是 49 平方厘米，平方厘米， 所以正方形的边长是所以正方形的边长是 7 厘米，梯形的下底是长方形的宽即厘米，梯形的下底是长方形的宽即 8 厘米，梯形的高即长方形长与正方厘米，梯形的高即长方形长与正方 形边长之差，为形边长之差，为1174厘米，所以梯形的面积是厘米，所以梯形的面积是784230平方厘米平方厘米 5. 例题 5 答案：91 平方厘米 详解：由于两个大小一样的正方形错开了由于两个大小一样的正方形错开了 3 厘米，可以知道图中两个小的直角三角形的直角
17、边厘米，可以知道图中两个小的直角三角形的直角边 都是都是 3 厘米，所以阴影平行四边形的底就是厘米，所以阴影平行四边形的底就是1037厘米，高就是厘米，高就是10313厘米，所以其面厘米，所以其面 积是积是7 1391平方厘米平方厘米 6. 例题 6 答案：12 平方厘米 详解： 小正方形的边长是小正方形的边长是 5 厘米， 大正方形的边长是厘米， 大正方形的边长是 7 厘米 阴影部分是由两个三角形组成的，厘米 阴影部分是由两个三角形组成的， 这两个三角形的底都是这两个三角形的底都是752厘米，左面三角形的高是厘米，左面三角形的高是 5 厘米，右面三角形的高是厘米，右面三角形的高是 7 厘米，
18、厘米， 所以面积分别是所以面积分别是2 525 平方厘米，平方厘米，2 727平方厘米，所以阴影部分的面积是平方厘米，所以阴影部分的面积是5712 平方厘米平方厘米 7. 练习 1 答案：12 平方米 详解：西瓜地是正方形，面积为西瓜地是正方形，面积为 36 平方米，所以边长为平方米，所以边长为 6 米；冬瓜地面积为米；冬瓜地面积为 24 平方米，长为平方米，长为 6 米，所以宽为米，所以宽为2464米；南瓜地面积为米；南瓜地面积为 18 平方米，长为平方米，长为 6 米，所以宽为米，所以宽为1863米；黄瓜米；黄瓜 地长为地长为 4 米，宽为米，宽为 3 米，所以面积为米，所以面积为4 31
19、2 平方米米 8. 练习 2 答案：96 平方厘米 详解：阴影平行四边形的底是小正方形边长即阴影平行四边形的底是小正方形边长即 8 厘米，高是两正方形边长之差，即厘米，高是两正方形边长之差，即20812厘 米，所以平行四边形的面积是，所以平行四边形的面积是8 1296平方厘米 9. 练习 3 答案：30 简答：阴影三角形的底是阴影三角形的底是 6，高是，高是6410，所以阴影三角形的面积是，所以阴影三角形的面积是6 10230 10. 练习 4 答案：14 平方厘米 简答：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是小正方形的边长，即阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是小正方形的边长，即 6 厘米；梯
20、形的下底是大厘米；梯形的下底是大 正方形的边长即正方形的边长即 8 厘米，梯形的高即两正方形边长之差，为厘米，梯形的高即两正方形边长之差，为862厘米，所以梯形的面积是厘米，所以梯形的面积是 682214平方厘米平方厘米 11. 作业 1 答案：如图所示 简答： 12. 作业 2 答案：25 简答：小正方形的边长为 2，小长方形的长为 3，那么大正方形的边长为 5，面积为5 525 13. 作业 3 答案：48 简答：小正方形的边长为 6，大正方形的边长为 8，平行四边形的面积是6 848 14. 作业 4 答案：24；18 简答：左图阴影三角形的底选为 6，高为 8，面积是6 8224 右图阴影三角形的底选为 6， 高为 6，面积是6 6218 A B C D 高 高 A B C D 高 高 A B C 高 A B C 高 15. 作业 5 答案：242 平方厘米 简答： 梯形的上底为小正方形的边长， 即 9 厘米 梯形的下底为大正方形的边长， 即 13 厘米 梯 形的高为大、小正方形边长和为 22 厘米梯形的面积为(913)222242平方厘米 6.