1、第四讲 字母竖式 竖式问题中常用的突破口有：首位、末位、位数、进位及重复出现的汉字或字母 一、尾数分析 2、4、6、8（有两个答案） ，如：_2=_4，有 2、7 两个答案； 1、3、7、9（有一个答案） ，如：_3=_8，只有 6 一个答案； 5，偶数0、奇数5； 0，乘积个位为 0； _A_A=_A，A 可能为：0、1、5、6 二、首位分析位数分析估算，如： A B A A=1、2 或 3 一般来说，在包含字母（或汉字）的竖式中，不同的字母（或汉字）代表不 同的数字，相同的字母（或汉字）代表相同的数字 在加法与减法竖式中，进位与借位是非常重要的分析突破口尤其是相同数 位上重复出现的汉字或字
2、母，有的时候，会略带一些有关奇偶性的简单应用 例题 1 在下图的加法竖式中，不同的汉字代表不同 的数字，相同的汉字代表相同的数字那么 每个汉字各代表什么数字？ 分析分析观察首位， “车”是加出来的呢？末位三个数 字都是“卒” ，那“卒”又是多少呢？ 练习 1 在下图所示的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同 的字母代表不同的数字其中“G”代表 5， “D”代表 0， “H” 代表 6请问： “I”代表的数字是多少？ A B 8 A=1，B=2 A B 9 三、进、借位分析，如： B B B 没有借位，B=0； 有借位，B=9 黄金倒三角 A B C A=1，B=0，C=9 A B C D E
3、 A=1，B=0，C=0， D=9，E=9 兵 炮 马 卒 + 兵 炮 车 卒 车 卒 马 兵 卒 A A B + C D E F G D H I 例题 2 在下图的减法竖式中， 不同的汉字代表不同的 数字，相同的汉字代表相同的数字那么每个 汉字各代表什么数字？ 分析分析观察百位，相同的数字差为 0，那么“马”可 以是 0 吗？究竟是怎么回事呢？ 练习 2 下面竖式中，每个字母代表一个数字a_，s_，t_， v_ 例题 3 在图中的字母竖式中，相同的字母代表相同 的数字，不同的字母代表不同的数字已知 个位向十位的进位为 2， 且 E 是奇数， 则 A、 B、C、D、E 分别代表什么数字？ 分析
4、分析题目给的条件“进位为 2、E 是奇数”是解 决本题的关键哦！ 练习 3 在右图所示的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不 同的汉字代表不同的数字那么“喜欢”这两个汉字所代表 的两位数是多少？ 炮 兵 兵 炮 - 兵 马 兵 马 兵 马 t t v t t - v t s t s t v a A D B A D C A + E B A C E C E 喜 欢 欢 喜 + 喜 欢 人 人 喜 一般来说，乘法竖式比加减法竖式要难一些乘法竖式中不仅有第一个乘数 与第二个乘数每一位数字的乘法，还有计算这些乘积之和的加法 例题 4 在右下图的竖式中，相同的字母表示相同的数 字， 不同的字母表示不同的数
5、字， 那么ABCDEF 所代表的六位数是多少？ 分析分析观察个位，ABCCDEAC、7ABCDED， 你能判断出 C 是多少吗？ 练习 4 在下图的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的 字母表示不同的数字，那么ABCDE所代表的五位数是多 少？ 在竖式问题中，还有一类特殊的、类似于应用题的文字题在这类题目中并 没有明确给出竖式， 而是要大家根据题目条件写出正确的竖式来 这就好比是 “翻 译” ，我们要把“文字”翻译成“数学语言” ，然后再推理计算 例题 5 （1） 一个自然数的个位数字是 4， 将这个 4 移到左边首位数字前面， 所构成的新数恰好是原数的 4 倍，那么原数最小是多少？ （2
6、）一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五 位数，而且这个五位数恰好是原数的 4 倍，那么原来的五位数是多 少？ 分析分析在第（1）问中，我们可以把问题转化为竖式来考虑 在第（2）问中，我们可以假设原来的五位数是abcde，再列出竖式分析 A B C D C D E A C 7 E D F D B C A B A B C A B B D E A B 4 4 4 例题 6 下图中的竖式里，“江” 、 “峡” 、“美” 三个汉字分别代表三个各不相同的 数字，请把这个竖式写出来 分析分析本题已知条件大都集中在个位，观 察“江峡美美美” 、 “江峡美江江” 、 “江峡美 峡峡” ， 你能
7、判断出 “美” 是多少吗？“江”和“峡”又有什么特点呢？ 课堂内外 结绳记数 结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来宋朝人在 一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火”这是用结 草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的 人中间都还长期使用这种方法中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成： 每条上有两个结， 再把两条绳结在一起 有趣的是， 不但我们东方有过结绳， 西方也结过绳 看 样子，咱们这个星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话传说古波斯王有一次 打仗，命令手下兵马守一座桥，要守
8、 60 天为了让将士们不少守一天也不多守一天，波斯 王用一根长长的皮条，把上面系了 60 个扣他对守桥的官兵们说：“我走后你们一天解一 个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了” 回头我们再来看一件有趣的事情在我国古代的甲骨文中，数学的“数”，它的右边表 示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：“数”者，图结绳而记之也所以， 数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”，连招牌都不用挂了 江 峡 美 峡 江 美 美 江 峡 作业 1. 在下面的加法竖式中， 相同的汉字代表相同的数字， 不同的汉字代表不同的数字， 请问： 我爱数学表示的四位数是多少？ 2. 在左下图中的字母竖式中， 相同的
9、字母代表相同的数字， 不同的字母代表不同的数字 如 果 C 是一个偶数，请问三位数ABC是多少？ 3. 在下面的减法竖式中， 相同的字母代表相同的数字， 不同的字母代表不同的数字 请问： 六位数ABCDEF是多少？ 4. 下图的竖式中，每一个英文字母代表 0，1，2，9 中的一个数字，相同的字母代表 相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问字母 F 代表数字几？ 5. 一个六位数的个位数字是 7，将这个 7 移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原 数的 5 倍，请问：原六位数是多少？ A Q T Q T A Q A Q F R Q A B C B A - E F A D F F F 学
10、数 学 爱 数 学 + 我 爱 数 学 1 9 9 2 A A A C A + C A C B A 第四讲 字母竖式 1. 例题 1 答案：算式为算式为5240521010450 详解： 首位分析可以得出“车”代表数字首位分析可以得出“车”代表数字 1 分析个位分析个位卒卒卒，因此“卒”只能是，因此“卒”只能是 0 接下来分析千位，接下来分析千位，兵兵卒（卒（卒=0） ，得“兵”为） ，得“兵”为 5，并且百位没有向千位进位，并且百位没有向千位进位 分析十位分析十位“车马兵” （车（车=1、兵、兵=5） ，得“马”为） ，得“马”为 4 最后很容易得到最后很容易得到“炮炮”为为 2 所以原算式
11、为所以原算式为5 2 4 05 2 1 01 0 4 5 0 2. 例题 2 答案：算式为算式为1221292929 详解： 首位分析得“炮”为首位分析得“炮”为 1 分析百位分析百位“兵兵马” ，如果十位计算时没有向百位借位，则百位计算时就不需要向千位，如果十位计算时没有向百位借位，则百位计算时就不需要向千位 借位，这样被减数中的“炮” （炮借位，这样被减数中的“炮” （炮=1）就不能被减掉，与题目矛盾，因此十位在计算时向百位进）就不能被减掉，与题目矛盾，因此十位在计算时向百位进 行了借位运算，这样我们得到“马”为行了借位运算，这样我们得到“马”为 9 依次分析个位和十位，得到“兵”为依次分
12、析个位和十位，得到“兵”为 2 最后的算式为最后的算式为1 2 2 12 9 29 2 9 3. 例题 3 答案：A=7，B=9，C=8，D=4，E=1 详解： 个位“个位“_ _AAAE” ，已知个位向十位的进位为，已知个位向十位的进位为 2，则，则 A 只可能为只可能为 7、8、9，又因为，又因为 E 为奇数，所以为奇数，所以 8 被排除掉；如果被排除掉；如果 A 为为 9，则千位进位后总和应该为一个五位数，与题意不符，则千位进位后总和应该为一个五位数，与题意不符， 因此因此 A 为为 7，E 为为 1 再分析十位， “再分析十位， “2_ _BCBC” ，可得” ，可得 B 可能是可能是
13、 4 或或 9 分析百位“分析百位“11进位 DD” ，可以发现进位必须是” ，可以发现进位必须是 2 才可以满足奇偶性要求，所以确才可以满足奇偶性要求，所以确 定定 B 一定是一定是 9则则 D 为为 4，百位向千位进，百位向千位进 1，C 为为 8 最后的算式为最后的算式为7 4 9 74 8 71 9 78 1 8 1 4. 例题 4 答案：356219 详解： 7DF没有进位说明没有进位说明 D 只能为只能为 1 或或 2，而由，而由7ABCDED说明说明 D 不可能为不可能为 1，所以，所以 D 为为 2，F 为为 9 分析分析进位EED，其中进位为，其中进位为 0 或或 1，奇偶性
14、可知进位为，奇偶性可知进位为 0，所以，所以 E 为为 1 ABCCDEAC，得到，得到 C 可能为可能为 0，1，5，6其中其中 0，1 明显不可能明显不可能 而而_CDD，因此，因此，C 不可能是不可能是 5 C 为为 6 时有满足题意的解时有满足题意的解 A=3，B=5 因此所能代表的六位数为因此所能代表的六位数为 356219 5. 例题 5 答案： （1）102564； （2）21978 详解： （1）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑从个位向前逐次填出，直到乘积的首位出现）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑从个位向前逐次填出，直到乘积的首位出现 4 最后得到原数为最后得到原数为 102
15、564 （2）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑：）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑： 末位分析，末位分析，A 为偶数，再通过首位分析可得，为偶数，再通过首位分析可得，A 只能是只能是 2，进而可得，进而可得 E 只能是只能是 8 个位向十位进个位向十位进 3，所以，所以 B 一定是奇数，而千位没有向万位进位，可得一定是奇数，而千位没有向万位进位，可得 B 只能是只能是 1 所以十位“所以十位“4D”乘积个位是”乘积个位是 8，再结合千位，可得，再结合千位，可得 D=7 进而很容易可得进而很容易可得 C=9 6. 例题 6 答案：286 82623636 详解： “江峡美 美美” ，末尾判断，
16、“美”只能是” ，末尾判断， “美”只能是 0、1、5、6 中的一个很容易排中的一个很容易排 除除 0 和和 1； 而 “； 而 “_美江江、_美 峡峡” ， 因此 “美” 只能为” ， 因此 “美” 只能为 6，“，“江峡美 江江” ，” ， 首位判断，“江” 最大是首位判断，“江” 最大是 3， 末位判断，“江” 一定是偶数， 因此江， 末位判断，“江” 一定是偶数， 因此江=2； 而 “； 而 “26峡峡峡” ，” ， 可知“峡”至少是可知“峡”至少是 5，并且“峡”是一个偶数，因此峡，并且“峡”是一个偶数，因此峡=8竖式为竖式为286 82623636 7. 练习 1 答案：3 详解：
17、分析首位，分析首位，G 为为 5，所以，所以 C 为为 4，则百位向千位进，则百位向千位进 1；再分析百位，；再分析百位，D 为为 0，所以，所以 A 一定一定 4 4 4 A B C D E 4 E D C B A 为为 9，且十位向百位进，且十位向百位进 1；接下来分析十位，；接下来分析十位，A 为为 9，H 为为 6，且向百位有进位，所以，且向百位有进位，所以 E 一定是一定是 7（注意（注意 E 和和 H 不能代表相同数字，所以不能代表相同数字，所以 E 不能为不能为 6） ，个位向十位没有进位；此时，还有数字） ，个位向十位没有进位；此时，还有数字 1、2、3、8 没有用过，所以个位
18、可能是没有用过，所以个位可能是123或者2 13 ，即 I 为 3 8. 练习 2 答案：a=0，s=8，t=1，v=3 详解：分析首位，分析首位，t 为为 1；分析个位，得；分析个位，得 a 为为 0；观察竖式，可知十位相减会向百位借；观察竖式，可知十位相减会向百位借 1，再分析，再分析 百位，可得百位，可得 v 为为 3，因此，因此 s 为为 8，所以算是为，所以算是为11311 31818130 9. 练习 3 答案：85 简答：分析个位，可得“欢”为分析个位，可得“欢”为 0 或或 5，而“欢”作为十位数字，所以只能为，而“欢”作为十位数字，所以只能为 5，且个位向十位，且个位向十位
19、进进 1；再分析十位， “；再分析十位， “51 喜喜人人” ，尝试可得“喜”为 8， “人”为 2 10. 练习 4 答案：25106 简答：ABBCAB，末尾分析可得 B 可能为 0、1、5、6，排除 0 和 1，尝试可得 B 只能是 5， 为25 5125 ，进而可得整个乘法算式为25 25625 11. 作业 1 答案：1264 简答：三个“学”之和的个位数字是 2，所以“学”等于 4；所以个位向十位进 1，三个“数” 之和的个位数字就是 8，十位向百位进 1，所以“数”等于 6；因此，两个“爱”之和的个位数 字为 4，因为和的千位为 1，所以百位到千位没有进位，所以“我”等于 1，“
20、爱”等于 2 12. 作业 2 答案：586 简答：从个位得到 A 是 5，从百位得到 C 是 6，从十位计算出 B 是 8 13. 作业 3 答案：107398 简答：一个五位数减去一个四位数，差为三位数，所以可得 A 等于 1，B 等于 0，E 等于 9；个 位 1 减 D，必然要借位，所以十位相减，差得 8，所以 F 等于 8，C 等于 7，D 等于 3；所以这 个六位数是 107398 14. 作业 4 答案：3 简答：AQ 乘 T 仍然得 AQ，所以 T 等于 1；两个 Q 相乘，乘积个位仍然是 Q，所以 Q 可能是 0， 1，5 或者 6，因为 Q 乘 AQ 得一个百位是 1 的三位数，所以 Q 只可能是 5 或 6，而且 A 只可能 是 2 或者 3分别计算，可得只有 2515 符合条件，所以 F 等于 3 15. 作业 5 答案：142857 简答：列出竖式，把问题转化为竖式来考虑从个位向前逐次填出：列出竖式，把问题转化为竖式来考虑从个位向前逐次填出： 最后得到原六位数为最后得到原六位数为 142857 7 5 7