1、第八讲 数列规律计算 【漫画修改】 原图中从小高出发的是等差数列：1，2，3，4，5，现改为双重数列：1，1，2，1， 3，1，4，1，5，1，6，1，7，1， 我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础， 并通过找规律、应用等差数列和周期性解决问题 本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多例如：1，1，1，2， 1，3，1，4， 这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两 项两项地看 又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6， 奇数项和偶数项的规律 不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规 律了对于规律较复杂的
2、数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题 具体分析 首先让我们来寻找以下数列的规律 找规律 （1）40，2，37，4，34，6，31，8，_，_，25，12； （2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，_，_，64，7 例题 1 观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6， 50 请回答以下问题： （1）这个数列中有多少项是 10？ （2）这个数列中所有项的总和是多少？ 分析分析这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪 一重求项数呢？ 练习 1 观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，30，4 请回答以下问
3、题： （1）这个数列中有多少项是 4？ （2）这个数列中所有项的总和是多少？ 例题 2 观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，1，14， 2，16，3，18，50 请回答以下问题： （1）这个数列中有多少项是 2？ （2）这个数列所有项的总和是多少？ 分析分析这是一个双重数列，拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重 求项数呢？ 练习 2 观察数列的规律：1，30，3，28，1，26，3，24，1，22，3，20，1，18，3， 16，1，14，2请回答以下问题： （1）这个数列中有多少项是 3？ （2）这个数列所有项的总和是多少？ 例题 3 观察数列的规律：
4、1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，6，12，7，14， 8，16，9，18，19 请回答以下问题： （1）这个数列共有多少项？ （2）这个数列所有项的总和是多少？ 分析分析这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪 一重求项数呢？最后一个数 19 是属于哪一重的呢？ 练习 3 观察数列的规律：40，1，38，2，36，3，34，4，32，5，30，6，28，7， 26，8，24，9，2请回答以下问题： （1）这个数列共有多少项？ （2）这个数列所有项的总和是多少？ 例题 4 观察数组（1，2，3） ， （2，3，4） ， （3，4，5） ， 的规律求： （1）第 1
5、0 组中三个数的和； （2）前 10 组中所有数的和 分析分析解决数组问题，我们可以把数组竖着对齐写，观察一下，每列分别 有什么规律呢？ 练习 4 观察数组（1，2，3） ， （2，3，4） ， （3，4，5） ， 的规律求： （1）第 15 组中三个数的和； （2）前 20 组中所有数的和 解决多重数列问题，首先要把原数列拆成几个简单数列进行分析，而分析过 程中， 最关键的一步就是要判断清楚原多重数列的最后一项到底是属于哪一重的， 进而才能确定两重的项数是否相等 例题 5 观察数列的规律：2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，12，18，14， 21，16，24，18，27，60请问
6、：这个数列一共可能有多少项？ 分析分析这是一个几重数列？试着拆开看看， 这两重分别是一个什么数列呢？ 最后一个 60 到底是属于哪一重的呢？ 例题 6 一列由两个数组成的数组： （1，1） ， （2，1） ， （2，2） ， （3，1） ， （3， 2） ， （3，3） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ， （4，4） ， （5，1） ，请问： （1）第 70 组内的两个数之和是多少？ （2）前 55 组中“5”这个数 出现了多少次？ 分析分析（1， ） 有 1 组，（2， ） 有 2 组，（3， ） 有 3 组，（4， ） 有 4 组， ， 发现这个数组的规律了吗？第 70 组
7、的第一个数是几呢？你能根据等差数列的和 估算出来吗？ 课堂内外 斐波那契数列 斐波那契数列，又叫兔子数列，用文字来描述，就是由 0 和 1 开始，之 后的每一个数都是由前面两个数相加如下：0，1，1，2，3，5，8，13， 21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765， 10946， （一）兔子数列 在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契）， 他描述兔子生长的数目时用上了这个数列，如下为兔子繁殖的规律： 第一个月有一对刚诞生的兔子 第二个月他们可以生育 每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子 兔子永不死去 每个月兔子
8、对数为：1，2，3，5，8，13， （二）神奇的自然现象 百合花的花瓣是 3 枚，梅花是 5 枚，而苹果、梨、杏等蔷薇科植物花 瓣也都是 5 枚，飞燕草是 8 枚，瓜叶菊是 13 枚，向日葵有的是 21 枚，有 的是 34 枚，雏菊有的是 34 枚、55 枚或 89 枚这些花瓣数正好就是“斐波 那契数” 作业 1. 已知一个数列：1，30，1，27，1，24，1，1，6，1，3请问： （1）这个数列共有多少项？ （2）这个数列中所有数的和是多少？ 2. 1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，42观察上面数列的规律，请问： （1）这个数列中有多少个 1？ （2）这个数列中所有数的总
9、和是多少？ 3. 2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，33观察上面数列的规律，请问： （1）这个数列共有多少项？ （2）这个数列中所有数的和是多少？ 4. 观察数列： （1，2，3） ， （2，3，4） ， （3，4，5） ，三个数为一组，请问：10 第一次 出现在第几组？ 该组的三个数之和是多少？ 5. 观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，39观察上面数列 的规律，请问： （1）数列中有多少个 1？ （2）数列中所有数的总和是多少？ 第八讲 数列规律计算 1. 例题 1 答案：51 项；项；1775 详解： （1）奇数项是由常数）奇数项是由常数
10、10 组成的，偶数项是从组成的，偶数项是从 1 开始连续的开始连续的自然数自然数偶数项有偶数项有 50 项，所项，所 以奇数项也有以奇数项也有 50 项， 那么在奇数项中有项， 那么在奇数项中有 50 个个 10， 在偶数项中还有， 在偶数项中还有 1 个， 所以有个， 所以有 51 项是项是 10；（；（2） 奇数项的和是奇数项的和是50 10500，偶数项的和是，偶数项的和是1505021275，所以所有项的总和是，所以所有项的总和是 500 12751775 2. 例题 2 答案：9 项；699 详解： （1）奇数项是由）奇数项是由 1、2、3 组成组成的周期数列的周期数列，偶数项是从，
11、偶数项是从 2 开始连续的偶数偶数项有开始连续的偶数偶数项有 50225项，所以奇数项也有项，所以奇数项也有 25 项，项，25381，那么在奇数项那么在奇数项有有 8 个完整周期还多余个完整周期还多余 1 个数个数，每个周期中有，每个周期中有 1 个个 2，多出来的，多出来的 1 项是项是 1，所以奇数项一共有，所以奇数项一共有 8 个个 2，在偶数项中还有，在偶数项中还有 1 个， 所以有个， 所以有 9 项是项是 2；（；（2） 奇数项的和是） 奇数项的和是8123149 ， 偶数项的和是， 偶数项的和是250252650， 所以所有项的总和是所以所有项的总和是49650699 3. 例
12、题 3 答案：37 项；532 详解： （1 1）奇数项是由从奇数项是由从 1 开始连续的开始连续的自然数自然数组成，偶数项是从组成，偶数项是从 2 开始连续的偶数开始连续的偶数最后一项最后一项 是是奇数项奇数项， 奇数项有奇数项有 19 项项， 偶偶数项有数项有 18 项项 共有共有 37 项；（项；（2） 奇数项之和是） 奇数项之和是1 19192190； 偶数项的最后一项是偶数项的最后一项是18 236，所以偶数项之和是，所以偶数项之和是236182342，所有项的总和是，所有项的总和是 190342532 4. 例题 4 答案：33；195 详解： （1）观察数组的规律，可以知道数组里
13、面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个 数组成了从数组成了从 1 开始连续的自然数，所以第开始连续的自然数，所以第 10 组三个数是组三个数是 （10，11，12） ，三个数的和是） ，三个数的和是11 333 ； （； （2）第）第 1 组三个数的和是组三个数的和是23，第，第 2 组三个数的和组三个数的和 是是3 3，依次类推，前，依次类推，前 10 组所有数的和是组所有数的和是323411195 5. 例题 5 答案：59 项或 40 项 详解：奇数项是从奇数项是从 2 开始连续的偶数组成，偶数项是从开始连续的
14、偶数组成，偶数项是从 3 开始公差为开始公差为 3 的等差数列组成的等差数列组成60 可可 能是奇数项也可能是偶数项当能是奇数项也可能是偶数项当 60 是奇数项的时候，奇数项有是奇数项的时候，奇数项有60230项，所以偶数项有项，所以偶数项有 29 项，共有项，共有 59 项项；当当 60 是偶数项的时候，偶数项有是偶数项的时候，偶数项有60320 项，所以奇数项也有项，所以奇数项也有 20 项，共有项，共有 40 项项 6. 例题 6 答案：16；11 次 详解： （1）观察数组的规律，第一个数是）观察数组的规律，第一个数是 1 的有的有 1 组，组，第一个数是第一个数是 2 的有的有 2
15、组，组，第一个数是第一个数是 3 的有的有 3 组，组，因为因为12341166 组，所以从第组，所以从第 67 组开始，每组的第一个数是组开始，每组的第一个数是 12，第，第 67 组是 （组是 （12， 1） ， 依此类推第） ， 依此类推第 70 组是 （组是 （12， 4） ， 两个数的和是） ， 两个数的和是12416；（；（2） 因为） 因为1231055 组，所以第组，所以第 55 组恰好是组恰好是 （10，10） ，第一个数是） ，第一个数是 5 的有的有 5 组，即（组，即（5，1） ， （） ， （5，2） ， （） ， （5，3） ， （） ， （5，4） ，） ， （5
16、，5） 第二个数第二个数是是 5 的的只能是（只能是（5，5） ， （） ， （6，5） ， （） ， （7，5） ， （） ， （8，5） ， （） ， （9，5） ， （） ， （10，5） ，出现） ，出现 了了 6 次，所以“次，所以“5”这个数出现了”这个数出现了 11 次次 7. 练习 1 答案：31；585 详解： （1）偶偶数项是由常数数项是由常数 4 组成的，组成的，奇奇数项是从数项是从 1 开始连续的开始连续的自然数自然数奇奇数项有数项有 30 项，所以项，所以 偶偶数项也有数项也有 30 项，那么在项，那么在偶偶数项中有数项中有 30 个个 4，在，在奇奇数项中还有数项中
17、还有 1 个，所以有个，所以有 31 项是项是 4； （； （2） 偶数项的和是偶数项的和是30 4120，奇数项的和是，奇数项的和是130302465，所以所有项的总和是，所以所有项的总和是 120465585 8. 练习 2 答案：7 项；269 详解： （1）奇数项是由）奇数项是由 1、3 组成组成的周期数列的周期数列，偶数项是，偶数项是 302 连续的偶数偶数项有连续的偶数偶数项有30215 项，所以奇数项也有项，所以奇数项也有 15 项，项，15271，那么在奇数项那么在奇数项有有 7 个周期还多余个周期还多余 1 个数个数，每个周，每个周 期中有期中有 1 个个 3，多出来的，多出
18、来的 1 项是项是 1，所以奇数项一共有，所以奇数项一共有 7 个个 3，在偶数项中，在偶数项中没有没有 3，所以，所以共共有有 7 项是项是 3； （； （2）奇数项的和是）奇数项的和是713129 ，偶数项的和是，偶数项的和是230152240，所以所有项，所以所有项 的总和是的总和是29240269 9. 练习 3 答案：39 项；610 简答： （1 1）偶偶数项是由从数项是由从 1 开始连续的开始连续的自然数自然数组成，组成，奇数奇数项是项是 402 连续的偶数连续的偶数最后一项是最后一项是奇奇 数项数项， 奇数项有奇数项有40220项项， 偶偶数项有数项有19项项， 共有， 共有3
19、9项；（项；（2） 奇数项之和是） 奇数项之和是240202420； 偶数项的最后一项是偶数项的最后一项是 19，所以偶数项之和是，所以偶数项之和是1 19192190，所有项的总和是，所有项的总和是 420 190610 10. 练习 4 答案：48；690 简答： （1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个 数组成了从数组成了从 1 开始连续的自然数，所以第开始连续的自然数，所以第 15 组三个数是组三个数是 （15，16，17） ，三个数的和是） ，三个数的和是16 348 ；
20、（； （2）第）第 1 组三个数的和是组三个数的和是23，第，第 2 组三个数的和组三个数的和 是是3 3，依次类推，前，依次类推，前 20 组所有数的和是组所有数的和是323421690 11. 作业 1 答案：20；175 简答： （1）奇数项都是 1，偶数项是公差为 3 的等差数列，偶数项有 10 项，整个数列有 20 项； （2）奇数项之和为 10，偶数项之和为 303102165 ，所有数之和为 175 12. 作业 2 答案：7；504 简答：（1）偶数项是 2，4，6，42，有 21 项；奇数项也有 21 项，是 1，2，3 这三个数为 一个周期的循环数列，21 个数包含 7 个
21、完整周期偶数项中没有 1，奇数项中有 7 个 1，因此一 共有 7 个 1；（2）偶数项总和为24642462，奇数项总和为123742，所 有数之和为 504 13. 作业 3 答案：22；330 简答： （1）偶数项是 3，6，9，33，有 11 项；奇数项也有 11 项，整个数列有 22 项；（2） 奇数项是 2， 4，6，8， 共 11 项，所以第 11 项是 22，所以奇数项之和是222112132， 所有偶数项之和是333112198，所有数之和为 330 14. 作业 4 答案：8；27 简答：先看第一个问题，每组第 1 个数分别为 1，2，3，第 8 组的三个数为（8，9，10）， 第 9 组的三个数为（9，10，11），10 第一次出现在第 8 组再看第二个问题，第 8 组三个数之 和为 27 15. 作业 5 答案：10；220 简答： （1）奇数项都是 1，偶数项是公差为 4 的等差数列，偶数项是 3，7，11，15，39， 共有3934110 项，所以奇数项也有 10 项，所以共有 10 个 1；（2）奇数项之和是 10， 偶数项之和是339102210，所有数之和是 220