1、第十一讲 整数数列计算 在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识， 如等差数列 2，5， 8，11，14，17，在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数 2 为首项， 最后一个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差 3，3 称为公 差 你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗？ 第 m 项和第 n 项相差m n 个公差（mn） ； 项数公式：1项数末项首项公差； 求和公式： 2和首项末项项数 ； 项数为奇数时有：和 中间项 项数 在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想事 实上， “分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计
2、算相关的问题中 也能够发挥作用 例题 1 计算：10098969492908642 分析分析算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计 算的捷径呢？ 练习 1 计算：100999897969521 例题 2 计算：50494847464544434321 分析分析算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计 算的捷径呢？最后一组是否包含 4、3、2、1 这 4 个数呢？ 练习 2 计算：95939189878583817531 除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种 乘法是加法的简便运算，例如我们可以把66666简写为65乘方 是
3、乘法的简便运算， 例如我们可以把66666简写为 5 6， 读作 “6的5次方” 再 举几个例子：10 10可以记为 2 10， 读作 “10 的 2 次方” 或 “10 的平方” ；10 10 10 可以记为 3 10， 读作 “10 的 3 次方” 或 “10 的立方” ；10 10 10 10可以记为 4 10， 读作“10 的 4 次方” 对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如 2 aaa， 4 bb b b b 等 已知平方差公式： 22 ababab（把等式右边的乘法运算采用乘法 分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试） 可以用如下一句话来解释平方差公式： 两个数的平方差等于
4、它们的和乘以差， 简记为“平方差等于和乘差” 例题 3 已知平方差公式： 22 ababab 计算： （1） 22 666334； （2） 50 150 1； （3） 22222222 20191817161521 分析分析对于 22 2019我们可以写为 20 1920 1920 19，是不是整个算式中的数 都可以这样转化呢？ 练习 3 计算： 22222222222 1110987654321 本讲一开始的漫画中，幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的和是我们新 定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过在这类问题中， 新引入的运算符号代表新的含义， 而且在不同的题目中， 符号代表的
5、含义不一样 例题 4 规定运算“”为： 12abab 计算： 6 53 分析分析算式中涉及到两次“”运算，那么应该先算哪一个呢？ 练习 4 规定运算为：2abab，计算： （1）654； （2）654 例题 5 计算：123456789979899 分析分析算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找 到计算的捷径呢？ 例题 6 计算：1009999989897979643322 1 分析分析算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？ 课堂内外 平方和公式 计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”： 2222 1231216nnnn 平方和公式的推
6、导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识 平方数列求和： 2222 12312 123 134 11 1nnn = 1 22 3 3 411 23nnn 其中，等差数列 1 2312nnn ； 剩下的部分 1 22 3 3 411 23nnn 则是最基本的整数裂项， 我们进行如下操作： 3 1 21 240 1 2 3 2323 41 23 3 3 43 4523 4 相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有： = 12nnn， 所以， 1 22 3 3 41nn = 123nnn 减 ，得平方和公式： 2222 123n= 12312nnnnn = 123
7、12nnn = 124636nnn = 1216nnn 311211nnnnnnnn 31 22 33 41nn 作业 1. 计算： 2. 计算： （1）； （2） 3. 计算： 4. 规定运算“”为：+2abab计算54 2 5 计算： 1+23456789282930 22222222 100999897969521 22 6337 22 5545 9997959391893 1 第十一讲 整数数列计算 1. 例题 1 答案：50 详解： 原原式共有式共有 50 项， 两个一组，项， 两个一组， 共共有有 25 组， 每一组都是组， 每一组都是 2， 所以这个算式的结果是， 所以这个算式的
8、结果是25 250 2. 例题 2 答案：51 详解： 原式原式(50494847)(46454443)(6543)21 ， 350 共共 48 个数，所以一共分了个数，所以一共分了 12 组，原式组，原式12 42 151 3. 例题 3 答案： （1）332000； （2）2499； （3）210 详解： （1）原式）原式666334666-334)332000（）（ ； （2）原式）原式 22 =501250012499 ； （3）原式）原式 20192019181718172121 20 19 18 172 1210 4. 例题 4 答案：28 详解：先算括号里面的：53(5 1) (
9、32)6， 6(53)66(6 1) (62)28 5. 例题 5 答案：1584 详解： 原式原式(123)(456)(979899) 03696(396)3221584 6. 例题 6 答案：5000 详解：原式原式=(100999998)(98979796)(4332)2 1 992972322 12(991)5025000 7. 练习 1 答案：50 简答： 原原式共有式共有 100 项， 两个一组，项， 两个一组， 共共有有 50 组， 每一组都是组， 每一组都是 1， 所以这个算式的结果是， 所以这个算式的结果是50 150 8. 练习 2 答案：96 简答： 原式原式(95939
10、189)(87858381)(7531)， 195 连续奇数共有连续奇数共有 48 个，个， 所以共分了所以共分了 12 组，原式组，原式12 896 9. 练习 3 答案：66 简答：原式原式 11 1011 10989832321 11 10982166 10. 练习 4 答案：10；6 简答： （1）65426547427410； （2）6546254662666 11. 作业 1 答案：50 简答：原式= 999795933 1，从 1 至 99，公差为 2 的等差数列共有 9912150 项，每两项为一组，共有 25 组，和=2 2550 12. 作业 2 答案：1000；2600 简答：（1）原式= 55455545100 101000； （2）原式= 63376337100262600 13. 作业 3 答案：5050 简答：平方差公式，原式=10099989732 1 ，和为 5050 14. 作业 4 答案：52 简答：根据运算规定：4 24 2210，54 25 105 10252 15. 作业 5 答案：135 简答：三项为一组，共有 10 组： 原式=12345678928293003627 可以看成首项为 3，末项为 27，公差为 3 的等差数列，和为3+2792=135