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高斯小学奥数四年级上册含答案第13讲_变倍问题

1、第十三讲 变倍问题 大家在前面的学习中已经掌握了基本和倍、差倍、和差等问题的解法对于基本和 差倍问题,可以根据已知条件直接画出线段图而对于有些较复杂的和差倍问题,我们往往 需要先分析题目中的隐藏条件, 找到各个数量之间的和差倍关系, 然后再通过画线段图等方 法求解 之前学过的题目一般只涉及两个量的一种倍数关系,这时“1”份的量较容易确定如 果已知条件涉及多个量的倍数关系, 或是两个量之间的倍数关系发生了变化, 这时选择哪个 量作为“1”份量就是解题的关键了如果设为“1”份不好算,还可以选择一个合 适的数设为多份 试一试 甲是乙的 2 倍,也是丙的 3 倍,那么设甲为_份 甲是乙的 2 倍,也是

2、丙的 5 倍,那么设甲为_份 甲是乙的 3 倍,也是丙的 5 倍,那么设甲为_份 甲是乙的 11 倍,也是丙的 20 倍,那么设甲为_份 甲是乙的 99 倍,也是丙的 100 倍,那么设甲为_份 甲是乙的 4 倍,也是丙的 12 倍,那么设甲为_份 甲是乙的 6 倍,也是丙的 9 倍,那么设甲为_份 例题 1 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花,其中黄花的盆数最多,是红 花的 4 倍,是蓝花的 3 倍,已知蓝花比红花多 20 盆请问:学校门 口一共有多少盆花? 分析分析黄花盆数是红花的 4 倍,是蓝花的 3 倍红花、蓝花都与黄花有倍数关 系,我们应该把黄花设为几份呢? 练习 1 暑假里,心灵手

3、巧的萱萱折了很多纸鹤,做了一面漂亮的纸鹤帘隔开客厅跟 门厅纸鹤帘以粉色和黄色的纸鹤做背景,绿色的纸鹤排列成一个“家”字其 中粉色的纸鹤比较多,既是黄色纸鹤的 3 倍,又是绿色纸鹤的 5 倍,如果绿色和 黄色的纸鹤一共 240 个,那么萱萱的这面纸鹤帘一共有多少个纸鹤? 例题 2 雷老师和刘老师运动归来,非常饿,于是各吃了几碗面,此时刘老师 吃的面是雷老师的 3 倍, 过了会儿, 雷老师觉得不过瘾, 又吃了 3 碗, 于是刘老师吃的面只有雷老师的 2 倍了,请问刘老师吃了几碗面? 分析分析雷老师又吃了 3 碗,雷老师吃的数量发生了变化,但是刘老师吃的数量 没变,我们把不变的量设为多少呢? 在例题

4、 2 中刘老师吃的面一直没有变化,我们把它叫作不变量不变量 不变量往往 是解决问题的关键这道题用的是“不变量设多份”的方法,也就是说根据题目 的特点,把题中的不变量统一成一个便于计算的份数只要这个份数设得好,解 题就会很轻松了 练习 2 小矮人和绿巨人比身高,绿巨人的身高是小矮人的 3 倍 后来小矮人从巫婆 那里获得了生长剂,结果长了 30 厘米,而绿巨人却没有再长高,此时绿巨人的 身高只有小矮人的 2 倍请问小矮人和绿巨人原来分别有多高? 给来给去和不变,同增同减差不变把不变量设为多份是解决变倍问题时 常用的突破口 例题 3 有两个箱子,红色箱子装的是红球,绿色箱子装的是绿球红球的数 量是绿

5、球数量的 3 倍从红色箱子中拿出 10 个球放入绿色箱子中, 这时红色箱子球的数量是绿色箱子球的数量的 2 倍那么现在红色、 绿色两个箱子各有多少个球? 分析分析从红色箱子中拿出 10 个放入绿色箱子里, 两个箱子里的球数都发生了变 化,那到底有没有不变量,什么不变呢?我们又该把这个不变量设为几份呢? 练习 3 阿呆和阿瓜一起搬砖,原计划阿呆搬其中的一些,阿瓜搬剩余的砖那么阿 呆所搬的砖数是阿瓜的 5 倍;如果阿瓜帮阿呆搬 10 块,那么阿呆所搬的砖数是 阿瓜的 4 倍请问:原计划阿呆搬多少块砖?阿瓜搬多少块砖? 例题 4 高思学校小学部与初中部老师们为希望小学的孩子们捐书, 小学部的 捐书量

6、是初中部的 6 倍,若两个部门各增加 30 本,则小学部的捐书 量是初中部的 4 倍,两个部门原来各捐书多少本? 分析分析两个部门各增加 30 本,那么两个部门的捐书量都发生了变化,但什 么没有变呢?我们把它设为几份容易计算呢? 练习 4 熊大和熊二比赛吃蜂窝,一开始熊大吃的个数是熊二的 4 倍,熊大和熊二之 后又分别吃了 10 个,此时熊大吃的个数只有熊二的 2 倍请问最后熊大和熊二 分别吃了多少个蜂窝? 例题 5 王老师和麦兜比赛抢包子, 一开始王老师包子的总个数是麦兜的 3 倍, 麦兜趁王老师不注意, 从王老师的手里抢走了 100 个包子, 结果麦兜包子的总个数变成了王老师的 2 倍 请

7、问王老 师和麦兜原来分别有多少的包子? 分析分析先找不变量,要仔细读题,注意倍数关系,千万别弄反哦! 例题 6 阿呆和阿瓜一起搬砖,原计划阿呆搬其中的一些,阿瓜搬剩余的砖如果阿呆帮阿瓜搬 10 块,那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的 5 倍;如果阿瓜帮阿呆搬 10 块,那么阿呆所搬的砖数是 阿瓜的 2 倍请问:原计划阿呆搬多少块砖?阿瓜搬多少块砖? 分析分析无论是阿呆帮阿瓜搬,还是阿瓜帮阿呆搬,砖的总数都是不变的我们 能不能用之前的方法把不变的总数设为多份呢? 课堂内外 最高级别的不变量 一、光速不变理论 真空中的光速对任何观察者来说都是相同的光速不变原理,在狭义相对论 中,指的是无论在何种惯性系(惯

8、性参照系)中观察,光在真空中的传播速度都 是一个常数,不随光源和观察者所在参考系的相对运动而改变这个数值是 299,792,458 米/秒 二、能量守恒定律 能量守恒定律是在 5 个国家、由各种不同职业的 10 余位科学家从不同 侧面各自独立发现的其中迈尔(德国医生) 、焦耳(英国物理学家) 、亥 姆霍兹(德国物理学家、生理学家)是主要贡献者 能量守恒定律:能量既不会消灭,也不会创生,它只会从一种形式转化 为其他形式,或者从一个物体转移到另一个物体,而在转化和转移的过程 中,能量的总量保持不变 作业 1. 风老师、雨老师、云老师比赛吃包子,风老师吃的包子个数是雨老师的 5 倍,还是云老 师的

9、3 倍其中云老师比雨老师多吃了 100 个包子请问风老师吃了多少个包子? 2. 李师傅有大小两种型号的零件, 其中大型号的零件个数是小型号的 3 倍, 李师傅使用了 10 个小型号的零件,使得大型号的零件个数变成了小型号的 4 倍请问李师傅原来有 多少个小型号的零件? 3. 河马和犀牛是好朋友, 他们经常派家里养的信鸽给对方送信 河马家信鸽的数量是犀牛 家的 3 倍,但某次河马出远门不小心忘记了锁鸽笼,结果等它回来时,已经有 10 只信 鸽飞到了犀牛家, 这时河马家的信鸽数量就只有犀牛家的 2 倍了 请问犀牛家原本养了 多少只信鸽? 4. 花园里开着一些红花和黄花红花的朵数是黄花的 3 倍秋天

10、到了,花儿凋谢了红花 和黄花各自减少了 60 朵 这时剩余的红花朵数是黄花的 6 倍 请问还剩下多少朵红花? 5. 兄弟两人分压岁钱,一开始哥哥的钱是弟弟的 3 倍,后来哥哥给了弟弟 20 元,结果弟 弟的钱是哥哥的 2 倍请问两人一共有多少元压岁钱? 第十三讲 变倍问题 1. 例题 1 答案:380 盆 详解:设黄花的盆数是设黄花的盆数是“12” ,红花的盆数就是,红花的盆数就是“3” ,蓝花的盆数就是,蓝花的盆数就是“4” ,蓝花比红花多,蓝花比红花多 20 盆,即盆,即“1”为”为 20 盆盆学校一共有学校一共有花“花“19” ,即” ,即19 20380盆盆 2. 例题 2 答案:18

11、 碗 详解:刘老师是不变量,设设刘老师吃的面是“刘老师吃的面是“6” ,则雷老师一开始吃了“” ,则雷老师一开始吃了“2” ,后来吃了“” ,后来吃了“3” ,” , 即“即“1”为”为 3 碗,所以刘老师吃了“碗,所以刘老师吃了“6”3 618 碗碗 3. 例题 3 答案:红箱子 80 个球,绿箱子 40 个球 详解:给来给去和不变,设设两个箱的球一共有“两个箱的球一共有“12” ,则原来绿箱子有球“” ,则原来绿箱子有球“3” ,红箱子有球“” ,红箱子有球“9” ,” , 后来绿箱子有球“后来绿箱子有球“4” ,红箱子有球“” ,红箱子有球“8” ,绿箱子的球增加了“” ,绿箱子的球增加

12、了“1”即”即 10 个球,所以现在绿箱子个球,所以现在绿箱子 有球“有球“4”10 440个,红箱子有球“个,红箱子有球“8”10 880 个个 4. 例题 4 答案:小学部 270 本,初中部 45 本 详解: 同增同减差不变, 设设小学部的捐书量与初中部捐书量之差为 “小学部的捐书量与初中部捐书量之差为 “15” , 则原来初中部捐书 “” , 则原来初中部捐书 “3” ,” , 小学部捐书“小学部捐书“18” ,后来初中部捐书“” ,后来初中部捐书“5” ,小学部捐书“” ,小学部捐书“20” ,初中部和小学部都是增加了“” ,初中部和小学部都是增加了“2” 即即 30 本书,所以“本

13、书,所以“1”为”为 15 本本初中部原来捐书“初中部原来捐书“3”3 1545 本,小学部原来捐书“本,小学部原来捐书“18” 18 15270本本 5. 例题 5 答案:王老师 180 个,麦兜 60 个 详解:给来给去和不变,设设包子的总个数是“包子的总个数是“12” ,则原来麦兜的包子个数是“” ,则原来麦兜的包子个数是“3” ,王老师的包” ,王老师的包 子个数是“子个数是“9” ,后来王老师的包子个数是“” ,后来王老师的包子个数是“4” ,麦兜的包子个数是“” ,麦兜的包子个数是“8” ,麦兜增加了“” ,麦兜增加了“5”即抢”即抢 来的来的 100 个包子,所以“个包子,所以“

14、1”为”为 20 个那么王老师原来有包子“个那么王老师原来有包子“9”920180 个,麦兜原来个,麦兜原来 有“有“3”3 2060 个个 6. 例题 6 答案:阿呆搬 90 块,阿瓜搬 30 块 详解:给来给去和不变,设设阿呆和阿瓜一共搬了“阿呆和阿瓜一共搬了“6” ,如果阿呆帮阿瓜搬,则阿瓜搬了“” ,如果阿呆帮阿瓜搬,则阿瓜搬了“1” ,” , 阿呆搬了“阿呆搬了“5” ;如果阿瓜帮阿呆搬,则阿瓜搬了“” ;如果阿瓜帮阿呆搬,则阿瓜搬了“2” ,阿呆搬了“” ,阿呆搬了“4” 阿呆帮阿瓜搬,相当于阿呆帮阿瓜搬,相当于 比阿呆自己实际应该搬的多比阿呆自己实际应该搬的多 10 块, 而阿瓜

15、帮阿呆搬, 相当于比阿呆自己实际应该搬的少块, 而阿瓜帮阿呆搬, 相当于比阿呆自己实际应该搬的少 10 块,块, 所以阿呆减少的“所以阿呆减少的“1”相当于”相当于 20 块而当阿呆帮阿瓜搬时,阿瓜搬了“块而当阿呆帮阿瓜搬时,阿瓜搬了“1”1 2020 块,阿块,阿 呆搬了“呆搬了“5”520100 块块原计划阿瓜搬原计划阿瓜搬201030块,阿呆搬块,阿呆搬100 1090块块 7. 练习 1 答案:690 个 详解:设设粉色纸鹤数量粉色纸鹤数量是是“15” ,则黄色纸鹤则黄色纸鹤是是“5” ,绿色纸鹤绿色纸鹤是是“3” ,绿色和黄色纸鹤一共绿色和黄色纸鹤一共 240 个个,即,即“8”为”

16、为 240 个,所以“个,所以“1”为”为 30 个个三种颜色的纸鹤三种颜色的纸鹤一共有一共有 “23” ,即” ,即23 30690个个 8. 练习 2 答案:小矮人 60 厘米,绿巨人 180 厘米 详解:绿巨人是不变量,设设绿巨人身高是“绿巨人身高是“6” ,则小矮人一开始身高“” ,则小矮人一开始身高“2” ,后来身高“” ,后来身高“3” ,即” ,即 “1”为”为 30 厘米,所以原来小矮人身高“厘米,所以原来小矮人身高“2”2 3060厘米,绿巨人身高“厘米,绿巨人身高“6”6 30180 厘米厘米 9. 练习 3 答案:阿呆 250 块,阿瓜 50 块 简答: 给来给去和不变,

17、 设设两个人所搬的砖一共有 “两个人所搬的砖一共有 “30” , 则原计划阿瓜搬砖 “” , 则原计划阿瓜搬砖 “5” , 阿呆搬砖 “” , 阿呆搬砖 “25” ,” , 后来阿瓜搬砖“后来阿瓜搬砖“6” ,阿呆搬砖“” ,阿呆搬砖“24” ,阿瓜的砖增加了“” ,阿瓜的砖增加了“1”即”即 10 块,所以原计划阿瓜搬砖“块,所以原计划阿瓜搬砖“5” 10 550 块,阿呆搬砖“块,阿呆搬砖“25” 10 25250块块 10. 练习 4 答案:熊大 30 个,熊二 15 个 简答:同增同减差不变,设设熊大熊二所吃蜂窝数量之差为“熊大熊二所吃蜂窝数量之差为“3” ,则原来熊二吃蜂窝数量为“”

18、 ,则原来熊二吃蜂窝数量为“1” ,” , 熊大吃蜂窝数量为“熊大吃蜂窝数量为“4” ,后来熊二吃蜂窝数量为“” ,后来熊二吃蜂窝数量为“3” ,熊大吃蜂窝数量为“” ,熊大吃蜂窝数量为“6” ,熊大和熊二都” ,熊大和熊二都 是增加了“是增加了“2”即”即 10 个蜂窝,所以“个蜂窝,所以“1”为”为 5 个个后来熊二吃蜂窝数量为“后来熊二吃蜂窝数量为“3”3 515 个,个, 熊大吃蜂窝数量为“熊大吃蜂窝数量为“6”6 530个个 11. 作业 1 答案:750 个 简答:设风老师吃的包子是“15” ,则雨老师吃的是“3” ,云老师吃的是“5” ,云老师比雨老师 多吃“2” ,即 100

19、个包子,所以“1”100250个风老师吃了“15”15 50750个包子 12. 作业 2 答案:40 个 简答:设大型号零件的个数是“12” ,所以小型号零件原来的个数是“4” ,后来是“3” ,减少的 “1” ,即 10 个李师傅原来有“4”4 1040个小型号的零件 13. 作业 3 答案:30 只 简答: 由于信鸽的总数量不变, 所以设信鸽的总数量是 “12” , 一开始犀牛家的信鸽数量是 “3” , 河马家的信鸽数量是“9” ,后来犀牛家的信鸽数量是“4” ,河马家的信鸽数量是“8” 犀牛家 的信鸽数量增加“1” ,即 10 只,所以“1”=10 只犀牛家原来有“3”3 1030 只

20、信鸽 14. 作业 4 答案:240 朵 简答:由于红花和黄花相差的数量是不变的,所以设红花的朵数与黄花的朵数之差是“10” ,一 开始黄花有“5” ,红花有“15” ,剩下的黄花有“2” ,剩下的红花有“12” 红花和黄花分别减 少了“3” ,即 60 朵,所以“1”即 20 朵剩下的红花有“12”20 12240朵 15. 作业 5 答案:48 元 简答: 由于哥哥和弟弟压岁钱的总数不变, 所以设压岁钱的总数是 “12” 份, 一开始弟弟有 “3” , 哥哥有“9” ,后来哥哥有“4” ,弟弟有“8” 弟弟增加的“5” ,即 20 元,所以“1”2054 元两人一共有“12”4 1248元压岁钱