1、第十三讲 变倍问题 大家在前面的学习中已经掌握了基本和倍、差倍、和差等问题的解法对于基本和 差倍问题，可以根据已知条件直接画出线段图而对于有些较复杂的和差倍问题，我们往往 需要先分析题目中的隐藏条件， 找到各个数量之间的和差倍关系， 然后再通过画线段图等方 法求解 之前学过的题目一般只涉及两个量的一种倍数关系，这时“1”份的量较容易确定如 果已知条件涉及多个量的倍数关系， 或是两个量之间的倍数关系发生了变化， 这时选择哪个 量作为“1”份量就是解题的关键了如果设为“1”份不好算，还可以选择一个合 适的数设为多份 试一试 甲是乙的 2 倍，也是丙的 3 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 2 倍，也是
2、丙的 5 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 3 倍，也是丙的 5 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 11 倍，也是丙的 20 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 99 倍，也是丙的 100 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 4 倍，也是丙的 12 倍，那么设甲为_份 甲是乙的 6 倍，也是丙的 9 倍，那么设甲为_份 例题 1 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花，其中黄花的盆数最多，是红 花的 4 倍，是蓝花的 3 倍，已知蓝花比红花多 20 盆请问：学校门 口一共有多少盆花？ 分析分析黄花盆数是红花的 4 倍，是蓝花的 3 倍红花、蓝花都与黄花有倍数关 系，我们应该把黄花设为几份呢？ 练习 1 暑假里，心灵手
3、巧的萱萱折了很多纸鹤，做了一面漂亮的纸鹤帘隔开客厅跟 门厅纸鹤帘以粉色和黄色的纸鹤做背景，绿色的纸鹤排列成一个“家”字其 中粉色的纸鹤比较多，既是黄色纸鹤的 3 倍，又是绿色纸鹤的 5 倍，如果绿色和 黄色的纸鹤一共 240 个，那么萱萱的这面纸鹤帘一共有多少个纸鹤？ 例题 2 雷老师和刘老师运动归来，非常饿，于是各吃了几碗面，此时刘老师 吃的面是雷老师的 3 倍， 过了会儿， 雷老师觉得不过瘾， 又吃了 3 碗， 于是刘老师吃的面只有雷老师的 2 倍了，请问刘老师吃了几碗面？ 分析分析雷老师又吃了 3 碗，雷老师吃的数量发生了变化，但是刘老师吃的数量 没变，我们把不变的量设为多少呢？ 在例题
4、 2 中刘老师吃的面一直没有变化，我们把它叫作不变量不变量 不变量往往 是解决问题的关键这道题用的是“不变量设多份”的方法，也就是说根据题目 的特点，把题中的不变量统一成一个便于计算的份数只要这个份数设得好，解 题就会很轻松了 练习 2 小矮人和绿巨人比身高，绿巨人的身高是小矮人的 3 倍 后来小矮人从巫婆 那里获得了生长剂，结果长了 30 厘米，而绿巨人却没有再长高，此时绿巨人的 身高只有小矮人的 2 倍请问小矮人和绿巨人原来分别有多高？ 给来给去和不变，同增同减差不变把不变量设为多份是解决变倍问题时 常用的突破口 例题 3 有两个箱子，红色箱子装的是红球，绿色箱子装的是绿球红球的数 量是绿
5、球数量的 3 倍从红色箱子中拿出 10 个球放入绿色箱子中， 这时红色箱子球的数量是绿色箱子球的数量的 2 倍那么现在红色、 绿色两个箱子各有多少个球？ 分析分析从红色箱子中拿出 10 个放入绿色箱子里， 两个箱子里的球数都发生了变 化，那到底有没有不变量，什么不变呢？我们又该把这个不变量设为几份呢？ 练习 3 阿呆和阿瓜一起搬砖，原计划阿呆搬其中的一些，阿瓜搬剩余的砖那么阿 呆所搬的砖数是阿瓜的 5 倍；如果阿瓜帮阿呆搬 10 块，那么阿呆所搬的砖数是 阿瓜的 4 倍请问：原计划阿呆搬多少块砖？阿瓜搬多少块砖？ 例题 4 高思学校小学部与初中部老师们为希望小学的孩子们捐书， 小学部的 捐书量
6、是初中部的 6 倍，若两个部门各增加 30 本，则小学部的捐书 量是初中部的 4 倍，两个部门原来各捐书多少本？ 分析分析两个部门各增加 30 本，那么两个部门的捐书量都发生了变化，但什 么没有变呢？我们把它设为几份容易计算呢？ 练习 4 熊大和熊二比赛吃蜂窝，一开始熊大吃的个数是熊二的 4 倍，熊大和熊二之 后又分别吃了 10 个，此时熊大吃的个数只有熊二的 2 倍请问最后熊大和熊二 分别吃了多少个蜂窝？ 例题 5 王老师和麦兜比赛抢包子， 一开始王老师包子的总个数是麦兜的 3 倍， 麦兜趁王老师不注意， 从王老师的手里抢走了 100 个包子， 结果麦兜包子的总个数变成了王老师的 2 倍 请
7、问王老 师和麦兜原来分别有多少的包子？ 分析分析先找不变量，要仔细读题，注意倍数关系，千万别弄反哦！ 例题 6 阿呆和阿瓜一起搬砖，原计划阿呆搬其中的一些，阿瓜搬剩余的砖如果阿呆帮阿瓜搬 10 块，那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的 5 倍；如果阿瓜帮阿呆搬 10 块，那么阿呆所搬的砖数是 阿瓜的 2 倍请问：原计划阿呆搬多少块砖？阿瓜搬多少块砖？ 分析分析无论是阿呆帮阿瓜搬，还是阿瓜帮阿呆搬，砖的总数都是不变的我们 能不能用之前的方法把不变的总数设为多份呢？ 课堂内外 最高级别的不变量 一、光速不变理论 真空中的光速对任何观察者来说都是相同的光速不变原理，在狭义相对论 中，指的是无论在何种惯性系（惯
8、性参照系）中观察，光在真空中的传播速度都 是一个常数，不随光源和观察者所在参考系的相对运动而改变这个数值是 299,792,458 米/秒 二、能量守恒定律 能量守恒定律是在 5 个国家、由各种不同职业的 10 余位科学家从不同 侧面各自独立发现的其中迈尔（德国医生） 、焦耳（英国物理学家） 、亥 姆霍兹（德国物理学家、生理学家）是主要贡献者 能量守恒定律：能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化 为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程 中，能量的总量保持不变 作业 1. 风老师、雨老师、云老师比赛吃包子，风老师吃的包子个数是雨老师的 5 倍，还是云老 师的
9、3 倍其中云老师比雨老师多吃了 100 个包子请问风老师吃了多少个包子？ 2. 李师傅有大小两种型号的零件， 其中大型号的零件个数是小型号的 3 倍， 李师傅使用了 10 个小型号的零件，使得大型号的零件个数变成了小型号的 4 倍请问李师傅原来有 多少个小型号的零件？ 3. 河马和犀牛是好朋友， 他们经常派家里养的信鸽给对方送信 河马家信鸽的数量是犀牛 家的 3 倍，但某次河马出远门不小心忘记了锁鸽笼，结果等它回来时，已经有 10 只信 鸽飞到了犀牛家， 这时河马家的信鸽数量就只有犀牛家的 2 倍了 请问犀牛家原本养了 多少只信鸽？ 4. 花园里开着一些红花和黄花红花的朵数是黄花的 3 倍秋天
10、到了，花儿凋谢了红花 和黄花各自减少了 60 朵 这时剩余的红花朵数是黄花的 6 倍 请问还剩下多少朵红花？ 5. 兄弟两人分压岁钱，一开始哥哥的钱是弟弟的 3 倍，后来哥哥给了弟弟 20 元，结果弟 弟的钱是哥哥的 2 倍请问两人一共有多少元压岁钱？ 第十三讲 变倍问题 1. 例题 1 答案：380 盆 详解：设黄花的盆数是设黄花的盆数是“12” ，红花的盆数就是，红花的盆数就是“3” ，蓝花的盆数就是，蓝花的盆数就是“4” ，蓝花比红花多，蓝花比红花多 20 盆，即盆，即“1”为”为 20 盆盆学校一共有学校一共有花“花“19” ，即” ，即19 20380盆盆 2. 例题 2 答案：18
11、 碗 详解：刘老师是不变量，设设刘老师吃的面是“刘老师吃的面是“6” ，则雷老师一开始吃了“” ，则雷老师一开始吃了“2” ，后来吃了“” ，后来吃了“3” ，” ， 即“即“1”为”为 3 碗，所以刘老师吃了“碗，所以刘老师吃了“6”3 618 碗碗 3. 例题 3 答案：红箱子 80 个球，绿箱子 40 个球 详解：给来给去和不变，设设两个箱的球一共有“两个箱的球一共有“12” ，则原来绿箱子有球“” ，则原来绿箱子有球“3” ，红箱子有球“” ，红箱子有球“9” ，” ， 后来绿箱子有球“后来绿箱子有球“4” ，红箱子有球“” ，红箱子有球“8” ，绿箱子的球增加了“” ，绿箱子的球增加
12、了“1”即”即 10 个球，所以现在绿箱子个球，所以现在绿箱子 有球“有球“4”10 440个，红箱子有球“个，红箱子有球“8”10 880 个个 4. 例题 4 答案：小学部 270 本，初中部 45 本 详解： 同增同减差不变， 设设小学部的捐书量与初中部捐书量之差为 “小学部的捐书量与初中部捐书量之差为 “15” ， 则原来初中部捐书 “” ， 则原来初中部捐书 “3” ，” ， 小学部捐书“小学部捐书“18” ，后来初中部捐书“” ，后来初中部捐书“5” ，小学部捐书“” ，小学部捐书“20” ，初中部和小学部都是增加了“” ，初中部和小学部都是增加了“2” 即即 30 本书，所以“本
13、书，所以“1”为”为 15 本本初中部原来捐书“初中部原来捐书“3”3 1545 本，小学部原来捐书“本，小学部原来捐书“18” 18 15270本本 5. 例题 5 答案：王老师 180 个，麦兜 60 个 详解：给来给去和不变，设设包子的总个数是“包子的总个数是“12” ，则原来麦兜的包子个数是“” ，则原来麦兜的包子个数是“3” ，王老师的包” ，王老师的包 子个数是“子个数是“9” ，后来王老师的包子个数是“” ，后来王老师的包子个数是“4” ，麦兜的包子个数是“” ，麦兜的包子个数是“8” ，麦兜增加了“” ，麦兜增加了“5”即抢”即抢 来的来的 100 个包子，所以“个包子，所以“
14、1”为”为 20 个那么王老师原来有包子“个那么王老师原来有包子“9”920180 个，麦兜原来个，麦兜原来 有“有“3”3 2060 个个 6. 例题 6 答案：阿呆搬 90 块，阿瓜搬 30 块 详解：给来给去和不变，设设阿呆和阿瓜一共搬了“阿呆和阿瓜一共搬了“6” ，如果阿呆帮阿瓜搬，则阿瓜搬了“” ，如果阿呆帮阿瓜搬，则阿瓜搬了“1” ，” ， 阿呆搬了“阿呆搬了“5” ；如果阿瓜帮阿呆搬，则阿瓜搬了“” ；如果阿瓜帮阿呆搬，则阿瓜搬了“2” ，阿呆搬了“” ，阿呆搬了“4” 阿呆帮阿瓜搬，相当于阿呆帮阿瓜搬，相当于 比阿呆自己实际应该搬的多比阿呆自己实际应该搬的多 10 块， 而阿瓜
15、帮阿呆搬， 相当于比阿呆自己实际应该搬的少块， 而阿瓜帮阿呆搬， 相当于比阿呆自己实际应该搬的少 10 块，块， 所以阿呆减少的“所以阿呆减少的“1”相当于”相当于 20 块而当阿呆帮阿瓜搬时，阿瓜搬了“块而当阿呆帮阿瓜搬时，阿瓜搬了“1”1 2020 块，阿块，阿 呆搬了“呆搬了“5”520100 块块原计划阿瓜搬原计划阿瓜搬201030块，阿呆搬块，阿呆搬100 1090块块 7. 练习 1 答案：690 个 详解：设设粉色纸鹤数量粉色纸鹤数量是是“15” ，则黄色纸鹤则黄色纸鹤是是“5” ，绿色纸鹤绿色纸鹤是是“3” ，绿色和黄色纸鹤一共绿色和黄色纸鹤一共 240 个个，即，即“8”为”
16、为 240 个，所以“个，所以“1”为”为 30 个个三种颜色的纸鹤三种颜色的纸鹤一共有一共有 “23” ，即” ，即23 30690个个 8. 练习 2 答案：小矮人 60 厘米，绿巨人 180 厘米 详解：绿巨人是不变量，设设绿巨人身高是“绿巨人身高是“6” ，则小矮人一开始身高“” ，则小矮人一开始身高“2” ，后来身高“” ，后来身高“3” ，即” ，即 “1”为”为 30 厘米，所以原来小矮人身高“厘米，所以原来小矮人身高“2”2 3060厘米，绿巨人身高“厘米，绿巨人身高“6”6 30180 厘米厘米 9. 练习 3 答案：阿呆 250 块，阿瓜 50 块 简答： 给来给去和不变，
17、 设设两个人所搬的砖一共有 “两个人所搬的砖一共有 “30” ， 则原计划阿瓜搬砖 “” ， 则原计划阿瓜搬砖 “5” ， 阿呆搬砖 “” ， 阿呆搬砖 “25” ，” ， 后来阿瓜搬砖“后来阿瓜搬砖“6” ，阿呆搬砖“” ，阿呆搬砖“24” ，阿瓜的砖增加了“” ，阿瓜的砖增加了“1”即”即 10 块，所以原计划阿瓜搬砖“块，所以原计划阿瓜搬砖“5” 10 550 块，阿呆搬砖“块，阿呆搬砖“25” 10 25250块块 10. 练习 4 答案：熊大 30 个，熊二 15 个 简答：同增同减差不变，设设熊大熊二所吃蜂窝数量之差为“熊大熊二所吃蜂窝数量之差为“3” ，则原来熊二吃蜂窝数量为“”
18、 ，则原来熊二吃蜂窝数量为“1” ，” ， 熊大吃蜂窝数量为“熊大吃蜂窝数量为“4” ，后来熊二吃蜂窝数量为“” ，后来熊二吃蜂窝数量为“3” ，熊大吃蜂窝数量为“” ，熊大吃蜂窝数量为“6” ，熊大和熊二都” ，熊大和熊二都 是增加了“是增加了“2”即”即 10 个蜂窝，所以“个蜂窝，所以“1”为”为 5 个个后来熊二吃蜂窝数量为“后来熊二吃蜂窝数量为“3”3 515 个，个， 熊大吃蜂窝数量为“熊大吃蜂窝数量为“6”6 530个个 11. 作业 1 答案：750 个 简答：设风老师吃的包子是“15” ，则雨老师吃的是“3” ，云老师吃的是“5” ，云老师比雨老师 多吃“2” ，即 100
19、个包子，所以“1”100250个风老师吃了“15”15 50750个包子 12. 作业 2 答案：40 个 简答：设大型号零件的个数是“12” ，所以小型号零件原来的个数是“4” ，后来是“3” ，减少的 “1” ，即 10 个李师傅原来有“4”4 1040个小型号的零件 13. 作业 3 答案：30 只 简答： 由于信鸽的总数量不变， 所以设信鸽的总数量是 “12” ， 一开始犀牛家的信鸽数量是 “3” ， 河马家的信鸽数量是“9” ，后来犀牛家的信鸽数量是“4” ，河马家的信鸽数量是“8” 犀牛家 的信鸽数量增加“1” ，即 10 只，所以“1”=10 只犀牛家原来有“3”3 1030 只
20、信鸽 14. 作业 4 答案：240 朵 简答：由于红花和黄花相差的数量是不变的，所以设红花的朵数与黄花的朵数之差是“10” ，一 开始黄花有“5” ，红花有“15” ，剩下的黄花有“2” ，剩下的红花有“12” 红花和黄花分别减 少了“3” ，即 60 朵，所以“1”即 20 朵剩下的红花有“12”20 12240朵 15. 作业 5 答案：48 元 简答： 由于哥哥和弟弟压岁钱的总数不变， 所以设压岁钱的总数是 “12” 份， 一开始弟弟有 “3” ， 哥哥有“9” ，后来哥哥有“4” ，弟弟有“8” 弟弟增加的“5” ，即 20 元，所以“1”2054 元两人一共有“12”4 1248元压岁钱