1、第十七讲 复杂竖式 数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏， 它集中了中国古人的数学智慧 我们 以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题 本讲是以前内容和方法的综合应用， 重点是多位数乘除法， 考察的是同学们对知识的掌 握情况和分析复杂问题的能力 竖式问题常见突破口有： 1. 首位分析、尾数分析、进位分析首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位； 2. 位数分析位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法； 3. 相同位分析相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口 在这些突破口中， 数的位数是一个比较隐蔽的突破口， 其实它是我们进行估算的基础 比
2、 如一个三位数乘 4 还等于一个三位数， 那么这个乘数的百位数字就不能是 3 或者 3 以上的数 字，只能是 1 或 2这就是位数给我们提供的信息 有一些难题的式子中没有给出任何具体的数字， 但是它给出了所有数的位数， 这就提供 了估算的可能只要我们仔细观察，就很容易发现突破口，从而获得有价值的信息 对于多位数乘法竖式，我们将它拆成若干个多位数乘一位数的乘法，和一个加法竖式， 逐一观察将它们转化成基本问题加以解决 例题 1 请将右面的竖式补充完整 分析分析比较一下“”和“8” ，这两个数分别是怎么来的呢？ 能得出什么结论呢？ 练习 1 请将右面的竖式补充完整 找到突破口后，更重要的是学会分情况
3、枚举讨论，而突破口的寻找就是为了缩小我们 枚举讨论的范围 当然， 有的时候我们也需要用到类似于奇偶性分析这样的方法来帮助解题 例题 2 在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母 代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字请问：A、B、C、D 各代 表什么数字？（请写出所有可能） 分析分析多位数乘法竖式中，不仅包含一位数乘法的部分，还包含一个加 法竖式从哪部分更容易找到突破口呢？ 练习 2 在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字 母代表相同的数字， 不同的字母代表不同的数字 请问： 四位数ABCD是 多少？ 4 2 8 6 8 A B C D 1 1 D D
4、 8 A B C D 2 6 D D 1 对比较复杂的竖式问题，有时我们需要比较同一个多位数乘以两个不同的一位数，所 得结果的关系或差异 例题 3 如图所示是一个乘法竖式，请在其中的 10 个方框内分别填入 0 至 9 这 10 个数字，使得竖式成立 分析分析中间的三个乘积有什么大小关系呢？ 练习 3 请将右面的竖式补充完整 与乘法竖式比较，除法竖式就显得更复杂一些，除法竖式中包含了一位数乘法和减法， 和多位数乘法类似，我们仍然将大算式拆解成小算式，以此帮助寻找解决问题的突破口 例题 4 请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？ 分析分析 除数是个三位数， 它与商的百位和十位的乘积 分别
5、是 234 和 351，你能求出除数是多少吗？ 练习 4 请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？ 3 0 8 5 0 4 7 2 3 2 4 8 2 1 9 8 1 1 2 3 4 3 5 1 0 1 3 7 2 4 9 6 0 例题 5 请把图中的乘法竖式补充完整 分析分析哪个多位数乘一位数的乘法可以进行末位分析？对 比三个乘积， 为什么有些是三位数， 有些是四位数？你能填出第一 个乘数的百位吗？ 孤独的数字孤独的数字 下面是九个除法算式，它们在计算过程中分别只有 l、2、3、7、8、9 中的一个数 字，要求根据除法运算规律确定出算式中的每一个未知数字这是一些十分有趣的题目 9 0
6、2 0 1 0 3 2 9 4 5 5 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 例题 6 请把图中的除法竖式补充完整 分析分析这个竖式中几乎都是空格，我们只好 观察位数信息竖式中包含了五个减法，发现 什么熟悉的突破口了吗？ 课堂内外 细说谜语细说谜语 谜语是我国民间文学的一种特殊形式， 古时称“廋辞”或“隐语” 它起源于春秋战国， 那时各国大臣常用暗示、比喻的手法映射事物，以劝谏君主采纳自己的主张，逐渐形成了谜 语汉朝时一些文人常用诗词、典故来制谜，出现了妙喻事物特征的事物谜和文字形音义的 文字谜南北朝时文人常以制谜、猜谜来斗智，制谜技巧逐渐成熟隋唐时谜语由民间进入 宫廷，许多皇帝都喜
7、欢猜谜 北宋时期，随着城市经济的发展，市民文化娱乐生活的丰富，猜谜成为市民的一大乐 趣 南宋时， 每逢元宵节， 人们将自己制作的谜语挂在花灯上， 供人们边观灯边猜谜取乐 南 宋都城临安的灯谜居全国之首，被誉为“灯谜之乡”明清时期元宵节猜灯谜更加盛行，并 出现了研究谜语制作的专门著作 谜语就这样成了广大人民喜闻乐见的文学形式， 并一直流 传至今 谜语也叫灯谜，猜谜语亦称射虎在中国已经有 2500 年历史了，到清代其体系已经完 备谜语的文学性，知识性，趣味性深受广大群众喜爱 谜语的种类繁多，主要常见的有字谜，画谜，哑谜，印章谜，成语谜，诗词谜与楹联谜 等等并且还有许多的谜格要求（就像诗词文学中的填
8、词一样） 谜语构成有四大要素： 1. 谜面：是给猜谜者了解意图的谜题； 2. 谜格：是猜谜时候的一种要求与规则（如：卷帘格 秋千格等）； 3. 谜目：是让猜谜者猜射的范围（如：打一字 打一城市名等）； 4. 谜底：是谜语的答案 4 5 5 1 0 猜谜语之前， 首先要看清楚谜面， 再看看有没有谜格的要求， 下来就看谜目是什么了 如 果谜语没有谜格，就直接顾及谜面与谜目了 例如：“颜料门市部”（打国家名字一）以色列 谜面：颜料门市部；谜目：打国家名字一；谜底：以色列 顾名思义，卖颜料的门市部，它所陈列的商品当然是各种各样 的颜料啦 作业 1. 在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字， 使得竖
9、式成立， 那么第二个乘数是多 少？ 2. 在左下图中的乘法竖式中， 每个方框和字母都代表一个数字， 相同的字母代表相同的数 字，不同的字母代表不同的数字则乘积是多少？ 3. 在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么乘积是多少？ 2 2 2 5 8 A B C D 2 3 B B 8 5 1 1 0 5 4. 在左下图中的除法竖式的方框中填入合适的数字， 使得竖式成立， 那么被除数是多少？ 5. 在右图中的除法竖式的方框内填上合适的数字，使竖 式成立那么被除数是多少？ 6 1 7 6 1 0 2 3 6 9 2 4 6 0 第十七讲 复杂竖式 1. 例题 1 答案：58 1
10、2696 详解： 比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数十位比比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数十位比 2 小，排除小，排除 0，只能是，只能是 1， 进而得第一个乘数个位是进而得第一个乘数个位是 8；再根据结果百位的；再根据结果百位的 6，可得乘法竖式为，可得乘法竖式为58 12696 2. 例题 2 答案：5432；18 76 详解： 先分析加法竖式，可得第一个加数（即中间第一个乘积）为先分析加法竖式，可得第一个加数（即中间第一个乘积）为 108，即，即108ABD那么就那么就 有有54 2、36 3、274、18 6、12 9五种可能；五种可能； 再根据第二个
11、乘式再根据第二个乘式1AB CD，可得，可得 AB 为为 36 和和 12 都是不可能的；都是不可能的； 当当 AB 为为 54 时，根据尾数分析可得，时，根据尾数分析可得，C 为为 3，所以有，所以有5432； 当当 AB 为为 27 时，根据尾数分析可得，时，根据尾数分析可得，C 只能是只能是 2，27254不是三位数，所以不成立；不是三位数，所以不成立； 当当 AB 为为 18 时，根据尾数分析可得，时，根据尾数分析可得，C 为为 7，所以有，所以有18 76； 综上所述，本题有两个答案综上所述，本题有两个答案 3. 例题 3 答案：376 24893248 详解： 先分析加法竖式，可得
12、第一个加数为先分析加法竖式，可得第一个加数为 3008、第二个加数为、第二个加数为 1504、第三个加数为、第三个加数为 752； 这三个加数同时也是三个乘法算式的乘积，根据它们的倍数关系，可得竖式中第二个乘数这三个加数同时也是三个乘法算式的乘积，根据它们的倍数关系，可得竖式中第二个乘数 的个位是百位的的个位是百位的 4 倍、十位是百位的倍、十位是百位的 2 倍；倍； 那么第二个乘数就有那么第二个乘数就有 124 和和 248 两种可能，然后分别尝试，依据“十个方框内分别填的是两种可能，然后分别尝试，依据“十个方框内分别填的是 09 各一个” ，可以排除各一个” ，可以排除 124，正确结果是
13、，正确结果是376 24893248 4. 例题 4 答案：27027 详解： 分析竖式中的两个乘积分析竖式中的两个乘积 234 和和 351，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出： 2341172、3511173，所以除数为，所以除数为 117、商为、商为 231； 接下来把竖式补充完整，可得被除数为接下来把竖式补充完整，可得被除数为 27027 5. 例题 5 答案：495 392194040 详解： 如左上图，中间的三个乘数分别标为、如左上图，中间的三个乘数分别标为、 首先根据中间的末位是首先根据中间的末位是 5，可得第一个乘数的末位是
14、，可得第一个乘数的末位是 5，那么中间的个位是，那么中间的个位是 0； 接下来，比较分析和，它们分别是由第一个乘数乘以接下来，比较分析和，它们分别是由第一个乘数乘以 2 和和 3 所得，而是三位数、所得，而是三位数、 是四位数，所以第一个乘数只可能是三百多或四百多，而第一个乘数乘以第二个乘数十位数字是四位数，所以第一个乘数只可能是三百多或四百多，而第一个乘数乘以第二个乘数十位数字 所得的乘积为四千多，估算可得第一个乘数只能是四百多，第二个乘数十位数字只能是所得的乘积为四千多，估算可得第一个乘数只能是四百多，第二个乘数十位数字只能是 9； 此时，竖式已经变成如右上图所示：此时，竖式已经变成如右上
15、图所示： 根据或都可以判断出第一个乘数只能是根据或都可以判断出第一个乘数只能是 495，由此可得结果为，由此可得结果为495 392194040 6. 例题 6 答案：10006541 23435067 详解： 首先，第一个减法竖式中有“黄首先，第一个减法竖式中有“黄 金倒三角” ，可得被除数前两位分别金倒三角” ，可得被除数前两位分别 是是 1、0，的十位是，的十位是 9； 除数除数4 ， 所以除数十位为， 所以除数十位为2， 除数只可能是除数只可能是 23 或或 24，相应的为，相应的为 92 或或 96； 再根据被除数个位为再根据被除数个位为 1，可得，可得 个位为个位为 1，而是由除数
16、乘以一个，而是由除数乘以一个 一位数所得，根据个位分析可得除数一位数所得，根据个位分析可得除数 只能是只能是 23（排除（排除 24） ，为） ，为 92，且商个位为，且商个位为 7，为，为 161； 此时可得，为此时可得，为2 351 1 5 ，的百位也是，的百位也是 1； 再观察竖式，被除数中的再观察竖式，被除数中的 5 所在百位所对应的中间过程没有乘积，可得商的百位为所在百位所对应的中间过程没有乘积，可得商的百位为 0；且；且 的百位、十位两个数字所组成的两位数要比的百位、十位两个数字所组成的两位数要比 23 小，所以只能是小，所以只能是 15（百位为（百位为 1、十位为、十位为 5）
17、，由此） ，由此 可得为可得为 116，且的百位为，且的百位为 1； 接下来分析接下来分析16 ，由于是由，由于是由 23 乘以一个一位数所得且比乘以一个一位数所得且比 150 小，所以可得是小，所以可得是 23 6138，即商的十位是，即商的十位是 6，为，为 154； 此时，只剩下第一个和第二个减法竖式了根据第一个减法竖式可得其被减数只能是此时，只剩下第一个和第二个减法竖式了根据第一个减法竖式可得其被减数只能是 100 或或 101，再结合，再结合23 369 、23 492以及第二个减法竖式差为以及第二个减法竖式差为 11 可得，这两个减法竖式分别可得，这两个减法竖式分别 3 2 9 4
18、 5 5 4 5 3 9 2 9 0 4 5 5 1 5 4 0 4 5 5 1 0 是是100928和和806911； 至此，整个竖式全部填完，为至此，整个竖式全部填完，为10006541 23435067 7. 练习 1 答案：12 891068 详解：比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数个位比比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数个位比 8 大，只能是大，只能是 9，进而尝，进而尝 试分析可得，只可能是试分析可得，只可能是12 896、12 9108；所以乘法竖式为；所以乘法竖式为12 891068 8. 练习 2 答案：6793 详解： 先分析加法竖式，可得先
19、分析加法竖式，可得第一第一个加数（即中间的第一个乘积）为个加数（即中间的第一个乘积）为 201，即，即201ABD那么那么 只可能是只可能是67 3； 再看第二个乘式，再看第二个乘式，6AB CD，即，即6 763C，可得，可得 C 等于等于 9 9. 练习 3 答案：21 901 简答：先分析加法竖式，可得第一个加数为先分析加法竖式，可得第一个加数为 21、第二个加数为、第二个加数为 189； 其中其中 21 只可能是只可能是21 1，所以，所以18921 9 （本题也可以根据 （本题也可以根据 189 和和 21 的的 9 倍关系确定第倍关系确定第 二个乘数中的二个乘数中的 1 和和 9）
20、 10. 练习 4 答案：42284 简答：分析竖式中的两个乘积分析竖式中的两个乘积 372 和和 496，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出： 372124 3、4961244，所以除数为，所以除数为 124、商为、商为 341； 接下来把竖式补充完整，可得被除数为接下来把竖式补充完整，可得被除数为 42284 11. 作业 1 答案：901 简答：首先把其中的加法算式补充完整：282520025228；再根据 252 是 28 的 9 倍，可得只 能是2828 1、25228 9，即第一个乘数一定是 28，第二个乘数为 901 12.
21、作业 2 答案：3328 简答：首先看加法算式，可得AB D的乘积为 208，而 208 可以拆为52 4或26 8；再根据 3ABCB，可得 AB 不能是 26，只能为 52，而 C 则为 6，竖式乘积为52 643328 13. 作业 3 答案：15805 简答：第二个乘数十位数字是 0；根据乘积首位为 1，可得两个乘数百位都是 1；然后根据第一 个乘数与第二个乘数个位数字的乘积可得第二个乘数的个位数字只可能是 7 或者 9， 然后逐一尝 试即可 14. 作业 4 答案：8931 简答：67 ，所以一定是6 7 17 ，即除数的个位是 7，商的十位是 1；然后根 据6 761 ，可得一定是687 32061 所以除数是 687，商是 13，被除数是 8931 15. 作业 5 答案：39606 简答：通过第一个乘积 369 和第二个乘积 246 可得除数为 123，然后逐一分析即可