1、第二十讲 底高的选取与组合 在之前， 我们已经学习过基本直线形的面积公式 从这节课开始我们要熟练掌握基本直 线形的面积公式，以便解决更为复杂的几何问题基本直线形的面积公式如下： 正方形的面积 边长 边长； 长方形的面积长 宽； 平行四边形的面积底 高； 2三角形的面积底 高； 2梯形的面积上底下底高 已知三角形的底和高，我们很容易算出面积如果已知三角形的面积和一条边的长度， 就可以算出以这条边为底对应的高是多少； 如果已知三角形的面积和一条高的长度， 就可以 算出与这条高所对应的底边的长度这种反求的方法，在几何问题中是经常会遇到的 练一练练一练 下面三个三角形的面积都是 60，有的高未知，有的
2、底未知请求出未知的长度 需要注意的是，已知三角形面积和底（或高） ，求三角形高（或底）的时候，切记首先 要“ 2 ” 例题 1 如图，在平行四边形 ABCD 中，三角形 BCE 的面 积为 42 平方厘米， BC 长为 14 厘米， AE 长为 9 厘米 请 问：三角形 ECD 的面积是多少平方厘米？ 分析分析三角形已知面积和一条边，就可以求高 啦！ 练习 1 如图，直角梯形 ABCD 的上底是 5 厘米，下 底是 17 厘米，三角形 ACD 的面积是 25 平方厘 米请问：梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 例题 2 如图，把小正方形的每边延长 2 厘米后，得到一个大正方形，大正方形的面
3、积比小正方 形的面积大 36 平方厘米请问：小正方形的边长是多少厘米？小正方形的面积是多少平方 厘米？ 分析分析仔细观察图形， 大正方形与小正方形的面积差 36 其实就是哪些图形的面 积和？ 8 15 20 A B C D E A B C D 增加 36 平方厘米 2 2 2 2 练习 2 如图所示，校园中间有个正方形花坛，花坛的四周铺了 1 米宽的水 泥路如果水泥路的总面积是 24 平方米，那么花坛的面积是多少平方 米？ 我们知道，正方形的面积等于边长的平方但是，如果不知道边长，只知道正方形的对 角线长，又如何求出正方形的面积呢？ 如下图， 我们把正方形沿对角线剪成两个一样的等腰直角三角形，
4、 再拼接成一个大的等 腰直角三角形，总面积没有发生改变，由此可以得出正方形面积公式： 类似地，等腰直角三角形的面积等于直角边长平方的一半如果不知道直角边长，只知 道斜边长，也能求出等腰直角三角形的面积 从图中我们也可以看出， 等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半， 而且斜边上的高 还把等腰直角三角形分成了两个一模一样的小等腰直角三角形 例题 3 如图所示是一个由正方形 ABDC 和等腰直角三角形 BDE 组成的梯形，三角形 BDE 的斜边 BE 长 6 厘米，这个梯形的 面积是多少平方厘米？ 分析分析已知等腰直角三角形斜边长度，如何计算面 积呢？正方形与等腰直角三角形有什么关系呢？ 2正方形
5、面积对角线长度的平方 对 角 线 对 角 线 对 角 线 4等腰直角三角形面积斜边长度的平方 斜 边 斜 边 斜 边 A B C D E 练习 3 一个等腰直角三角形的斜边长为 8 厘米， 这个等腰直角三角形的面积是多少平方厘米？ 例题 4 如图，正方形 ABCD 被两条平行的直线截成了面积相等的 三个部分，其中上、下两部分都是等腰直角三角形已知两条 截线的长度都是 6 厘米，那么整个正方形的面积是多少平方厘 米？ 分析分析注意： 两条平行线把正方形截成了面积相等 的三部分！ 练习 4 两个等腰直角三角形如图所示摆放，恰好拼成一个直角梯 形已知较小的等腰直角三角形斜边长为 4，那么这个直角梯
6、形的面积是多少？ 画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从 下手的复杂题目变得非常简单一般我们习惯把辅助线画成虚线 例题 5 如图所示，梯形 ABCD 的上底 AD 长 5 厘米，下底 BC 长 12 厘米腰 CD 的长为 8 厘米，过 B 点向 CD 作出 的垂线BE的长为9厘米， 那么梯形ABCD的面积是多少？ 分析分析观察图形，BE与CD垂直，这两条线段 的位置关系是否像某个三角形的底和高呢？由此 可以计算出什么吗？ B D A C 4 A B C D E 例题 6 如图，直角梯形 ABDC 中，ACE 和 BDE 都是等腰直角三角形 （1）如果三角形
7、 ACE 面积为 8，三角形 BDE 面积为 18请问：梯形 面积是多少？ （2）如果三角形 ACE 面积为 9，三角形 BDE 面积为 16请问：梯形 面积是多少？ 分析分析（1）等腰直角三角形面积是 8 和 18，可以反求出哪 几条边的长度呢？要求梯形面积，又需要知道哪些线段的长 度呢？（2）等腰直角三角形面积是 9 和 16，可以反求出哪 几条边的长度呢？由此可以计算出什么呢？ 课堂内外 变形记变形记 在几何图形都市里住着各种各样的图形， 三角形正是几何图形都市中的一员， 它每天忙 碌着上下班，过着跟普通上班族一样的生活在公司里，三角形跟上司的关系是非常不和谐 的，原因是它头上长着其他图
8、形没有的“尖角”，所以就经常的“顶撞”上司，跟上司闹矛 盾，这让三角形的职业生涯并不是一帆风顺的 话说有一天，三角形在下班途中路过了一家美容院，美容院的广告词上写着： “想改变 自己吗？那就快点来加入到美容变形中来吧从现在起，改变自己”三角形被美容院的广 告词吸引住了，它很想改变自己跟上司的关系，于是它走进美容院中，在和老板商定好协议 后就开始了它的“变形”之旅了它把自己改变成梯形，为的是去掉这个“与众不同”的尖 角， 少顶撞上司 经过变形后的它回到了公司， 由此改变成梯形后的三角形受到上司的重用 然而， 变成梯形后的三角形虽然能受到上司的重用， 但是并不能得到职位上的进一步提 升同事告诉它说
9、： “上司很喜欢跟能广泛接触上层领导的人打交道，虽然你是改变了以前 顶撞上司的态度，但是你交际面还是很狭窄了呀”变成梯形后的三角形恍然大悟，又再一 次走进那间美容院这一次它把自己变成了正方形，完完全全的将自己的头“磨平”了变 成了正方形的它再一次引起上司们的注意，它做到了能够在私底下跟上司们打好交道 即使如此，它还是未能完全得到上司们的信任同事又告诉它说： “虽然你是能够做到 私底下跟上司们打上交道了， 可是还未能进入到上司们的私生活中， 除非你能做到跟上司们 有福同享，有难同当，只有这样才能真正受到上司们的重用啊” 受到同事启发的它，又一次进入到了美容院，老板笑嘻嘻地问： “这次又想变成什么
10、样 子啊？”三角形认真的回答：“我这次想变成圆形，请把我改造成圆形吧”于是呢，它又 一次变成了圆形， 变成圆形的三角形终于能走进上司的私生活中去了， 上司们很喜欢它圆滑 的性格，从此变成圆形的三角形享受着跟以前完全不一样的生活 然而领导因为贪污受贿，三角形也被牵连其中 A B C D E 作业 1. 下图中，平行四边形的面积是 24，大正方形的边长是 8，小正方形的边长是多少？ 2. 如下图，长方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，EC=5 厘米，三角形 FEC 的面积是 10 平 方厘米，那么长方形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 3. 如下图，小正方形的边长是 10 厘米，阴影三角形
11、的面积是 20 平方厘米那么大正方形 的边长是多少厘米？ 4. 如右上图所示，已知正方形 ABCD 的对角线 BD 长 20 厘米，此正方形的面积是多少平 方厘米？ 5. A、B 两个等腰直角三角形如图所示摆放较小的三角形的斜边是 较大的三角形的直角边已知三角形 B 的直角边长为 4，那么整个 图形的面积是多少？ A B E C D F 20 A B C D 4 A B 第二十讲 底高的选取与组合 1. 例题 1 答案：15 平方厘米 详解：三角形三角形 BCE 的面积是的面积是 42 平方厘米，平方厘米，BC 长为长为 14 厘米，所以对应的高是厘米，所以对应的高是42 2 146 厘厘 米
12、米AE 长为长为 9 厘米，所以厘米，所以1495ED厘米厘米三角形三角形 ECD 以以 ED 为底的高也是为底的高也是 6 厘米，所以厘米，所以 三角形三角形 ECD 的面积是的面积是5 6215平方厘米平方厘米 2. 例题 2 答案：7 厘米；49 平方厘米 详解：空白部分的面积是空白部分的面积是 36 平方厘米，即四个同样大小的直角三角形面积和是平方厘米，即四个同样大小的直角三角形面积和是 36 平方厘米，平方厘米， 一个直角三角形面积是一个直角三角形面积是3649平方厘米直角三角形的底是平方厘米直角三角形的底是 2 厘米，所以高是厘米，所以高是9 229厘厘 米这个高是小正方形边长延长
13、米这个高是小正方形边长延长 2 厘米后的长度，所以每个小正方形边长是厘米后的长度，所以每个小正方形边长是927厘米所厘米所 以小正方形的面积是以小正方形的面积是7749平方厘米平方厘米 3. 例题 3 答案：27 平方厘米 详解：三角形三角形 BDE 的斜边是的斜边是 BE，所以其面积是，所以其面积是6 649 平方厘米平方厘米正方形正方形 ABDC 的面积是的面积是 三角形三角形 BDE 的的 2 倍，所以正方形倍，所以正方形 ABDC 的面积是的面积是9 218平方厘米，所以梯形的面积是平方厘米，所以梯形的面积是 18927平方厘米平方厘米 4. 例题 4 答案：27 平方厘米 详解：截线
14、是直角三角形的斜边，所以这个直角三角形的面积是截线是直角三角形的斜边，所以这个直角三角形的面积是6 649 平方厘米，整个正平方厘米，整个正 方形的面积是方形的面积是9327平方厘米平方厘米 5. 例题 5 答案：51 平方厘米 详解：连接连接 BD，三角形，三角形 BCD 以以 CD 为底，为底，BE 为高，其面积是为高，其面积是8 9236 平方厘米如果此平方厘米如果此 三角形以三角形以 BC 为底，则对应的高为底，则对应的高是是36 2 126 厘米这个高也是梯形厘米这个高也是梯形 ABCD 的高，所以梯形的高，所以梯形 ABCD 的面积是的面积是5126251平方厘米平方厘米 6. 例
15、题 6 答案：50；49 详解： （1）三角形三角形 ACE 的面积是的面积是 8，所以，所以28AEAC，所以，所以16AEAC，这是一个等腰直角三，这是一个等腰直角三 角形，所以直角边角形，所以直角边4AEAC；三角形；三角形 BDE 的面积是的面积是 18，同理可得直角边，同理可得直角边6BEBD所所 以梯形的面积是以梯形的面积是 4646250； （2）三角形）三角形 ACE 的面积是的面积是 9，所以，所以 2 49CE，所以，所以6CE；三角形；三角形 BDE 的面积是的面积是 16，同，同 理可得斜边理可得斜边8DE所以直角三角形所以直角三角形 CDE 面积为面积为6 8224
16、，所以梯形的面积是梯形的面积是 9162449 7. 练习 1 答案：110 平方厘米 详解：三角形三角形 ACD 面积是面积是 25 平方厘米，底是平方厘米，底是 5 厘米，所以高为厘米，所以高为25 2510厘米，即梯形的，即梯形的 高为高为 10 厘米，所以面积为厘米，所以面积为517102110平方厘米 8. 练习 2 答案：25 平方米 详解：如右图，画出四条辅助线，水泥路总面积是如右图，画出四条辅助线，水泥路总面积是 24 平方米，所以每一个平方米，所以每一个 长方形面积为长方形面积为 6 平方米，而水泥路宽平方米，而水泥路宽 1 米，所以长方形长为米，所以长方形长为 6 米，小正
17、方米，小正方 形边长为形边长为6 15 米，所以花坛的面积是，所以花坛的面积是5 525平方米 9. 练习 3 答案：16 平方厘米 简答：以斜边以斜边 8 厘米为底，则高是斜边的一半即厘米为底，则高是斜边的一半即 4 厘米，所以等腰直角三角形的面积是厘米，所以等腰直角三角形的面积是 84216平方厘米 10. 练习 4 答案：12 简答：小等腰直角三角形面积为为小等腰直角三角形面积为为4 444 ，大等腰直角三角形面积为，大等腰直角三角形面积为4 428，所以直所以直 角梯形的面积是角梯形的面积是4812 11. 作业 1 答案：3 简答： 平行四边形的底为小正方形边长、 高为大正方形边长，
18、 所以2483即为小正方形边长 12. 作业 2 答案：40 平方厘米 简答：三角形 FEC 的面积是 10 平方厘米，以 EC 为底的高是10 254厘米这个高的长度 也是长方形 ABCD 的宽，长方形 ABCD 的长是2 510厘米，所以长方形 ABCD 的面积是 10440平方厘米 13. 作业 3 答案：14 厘米 简答：阴影三角形的面积是 20 平方厘米，底是小正方形的边长，即 10 厘米，所以高是 20 2 104厘米， 这个高的长度也是两个正方形的边长之差， 所以大正方形的边长是10+414 厘米 14. 作业 4 答案：200 平方厘米 简答：正方形对角线的长度是 20 厘米，所以正方形的面积是20202200平方厘米 15. 作业 5 答案：12 简答： B 部分的面积是4 428 A 部分的面积是4 444 所以整个图形的面积是8+412