1、第二十三讲 最值问题一 最值问题，即求最大值、最小值的问题 这类问题中， 有时满足题目条件的情况并不多， 这时我们就可以用枚举法将所有可能情 况一一列出，再比较大小 例题 1 （1）在五位数 12435 的某一位数字后面插入一个同样的数字可以得到一个六位数（例 如：在 2 的后面插入 2 可以得到 122435） 请问：能得到的最大六位数是多少？ （2）在七位数 9876789 的某一位数字后面再插入一个同样的数字请问：能得到的最 小八位数是多少？ 分析分析一共有多少种不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？ 练习 1 在五位数 41729 的某一位数字前面插入一个同样的数字 （例如：
2、 在 7 的前面插入 7 得到 417729） ，能得到的最大六位数是多少？ 直接枚举的优点是不用过多思考，大家都能理直气壮地说，直接比较大小得到的答案 一定是正确的事实上，我们应该多想一想，为什么这个答案是最大或最小的，有没有什么 道理，其中有没有什么规律 例题 2 有 9 个同学要进行象棋比赛 他们准备分成两组， 不同组的任意两人之间都进行一场比 赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？ 分析分析把 9 个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数 吗？ 练习 2 有 7 个同学要进行乒乓球单打比赛 他们准备分成两组， 不同组的任意两人之间都进行 一场比赛，同组
3、的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？ 从例题 2 我们可以得出： 两个数的和相等， 当它们越接近时 （也就是它们的差越小时） ， 两数乘积越大，也可以简单记成“和同近积大” “和同近积大”的应用非常广泛，接下来我们分析一下比较典型的“篱笆问题” 例题 3 墨爷爷要用长 20 米的篱笆围成一个长方形养鸡场， 已知长和宽均 为整数 米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？（正方形是特殊的长方形） 分析分析长方形面积是长、宽的乘积，要想长、宽乘积最大，可以不 可以应用“和同近积大”的道理来解决呢？能找到“和同”吗？ 练习 3 墨爷爷要用长 30 米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么
4、怎样 围所得的养鸡场面积最大？ 例题 4 请将 1、2、3、4、5、6 这六个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大 分析分析要使得乘积最大，百位应当填哪两个数？十位呢？个位呢？ 练习 4 请将 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大 例题 5 墨爷爷要用长 20 米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形 养鸡场，已 知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，那 么怎样围所 得的养鸡场面积最大？ 分析分析长方形篱笆我们已经解决了，三角形的与长方形的有什么联系吗？ 养鸡场 养鸡场 想一想想一想 要用篱笆围一个靠墙的三角形，那么锐角三角形、直角三角形、
5、钝角三角形中的哪一种 面积会最大呢？ 在很多问题中，我们都需要先进行整体的思考，再对局部进行一些调整千万不能“丢 了西瓜捡芝麻” ！ 例题 6 各位数字互不相同的多位数中，数字之和为 23 的最小数是多少？最大数是多少？ 分析分析两个多位数比较大小，首先要比较它们的位数如果位数相同，还要从高位到低位 依次比较 课堂内外 动物之最动物之最 最大的动物：蓝鲸（平均长 30 米，重达 160 吨） 最大的路上动物：非洲象（平均重达 9 吨） 最高的路上动物：长颈鹿（平均高 5 米） 嘴巴最大的陆生哺乳动物：河马 最聪明的动物：海豚（人除外） 最大的鸟类：鸵鸟（平均身高 2.5 米，最重可达 155
6、千克） 翅膀最长的鸟类：信天翁（翅展 23 米） 嘴巴最大的鸟：巨嘴鸟（最长 24 厘米，宽 9 厘米） 形体最小的鸟：蜂鸟 飞得最高的鸟：天鹅（最高能达 17000 米） 最耐寒的鸟：企鹅 路上奔跑速度最快的动物：猎豹（可高达时速 130 公里） 速度最快的海洋动物：旗鱼（可高达时速 190 公里） 飞行速度最快的动物：军舰鸟（可高达时速 418 公里） 现存最古老的生物：舌形贝（有 4.5 亿年历史） 牙齿最多的动物：蜗牛（共有 25600 颗牙齿） 飞行能力最强的昆虫： 蝗虫 （每天能够连续飞行近 10 小时） 力气最大的昆虫：屎壳郎（可以支撑或拖走相当于自己体重 1141 倍的物体）
7、外形最奇特的鱼：海马 最大的两栖动物：大鲵（即娃娃鱼） 毒性最强的蛇：海蛇（其毒性为眼镜蛇的 2 倍） 寿命最长的动物：海葵（已发现最年长的海葵有 2000 多岁 了） 冬眠时间最长的动物：睡鼠（冬眠时间 56 个月） 作业 1. 在六位数 129854 的某一位数字前面再插入一个同样的数字（例如：可以在 2 的前面插 入 2 得到 1229854） ，能得到的最小七位数是多少？ 2. 两个自然数之和等于 10，那么它们的乘积最大是多少？ 3. 用 20 根长 1 厘米的火柴棒围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 4. 请将 3，4，5，6，7，8 这六个数分别填入算式 的方格
8、中，使这个乘法 算式的结果最大 5. 各位数字互不相同的多位数中，数字之和为 32 的最小数是多少，最大数是多少？ 第二十三讲 最值问题一 1. 例题 1 答案： （1）124435； （2）98766789 详解： （1）枚举：112435、122435、124435、124335、124355，最大的六位数是 124435； （2）枚举：99876789、98876789、98776789、98766789、98767789、98767889、98767899，最 小的八位数是 98766789 2. 例题 2 答案：20 场 详解： 如果是（1，8） ，那么共1 88 场； 如果是（2，
9、7） ，那么共2714场； 如果是（3，6） ，那么共3 618场； 如果是（4，5） ，那么共4 520场； 所以一共最多有 20 场比赛 3. 例题 3 答案：长、宽 都为 5 米时，面积最大为 25 平方米 详解： 长方形周长是 20 米，长、宽之和为 10，是固定不变的； 长方形面积为长、宽之积，根据“和同近积大” ，可知长、宽越接近，面积越大； 当长、宽相等，即篱笆为正方形时，面积最大，最大面积为5 525平方米 4. 例题 4 答案：631 542 详解： 要使得乘积最大，那么就要百位上的数字最大、个位上的数字最小；所以百位填 5、6，十位填 3、4，个位填 1、2； 在这个前提下
10、，无论怎么填，最后两个三位数的和都固定等于5006003040121173 ， 所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个三位数差最小，尝试可得是631 542 5. 例题 5 答案：两条直角边都为 10 米时，面积最大为 50 平方米 详解：设两条直角边分别为 A、B，则20AB米； 直角三角形面积为“2底 高” ，即面积大小是由“A B”决定的； A、B 之和为 20 米，越接近则乘积越大，所以当10AB米时， “A B”有最大值； 所以，三角形面积最大为10 10250平方米 6. 例题 6 答案：689；8543210 详解：数的大小，首先是要考虑位数，再考虑各个数位上的数的大小 （1）
11、最小： 即要位数最少， 那么就得要让每个数位上的数字都尽量的大， 把 23 拆开：23986 ， 所以最小数为 689； （2）最大：即要位数最多，那么就得要让每个数位上的数字都尽量的小，把 23 拆开： 230123458 ，所以最大数为 8543210 7. 练习 1 答案：441729 详解：枚举：441729、411729、417729、417229、417299，最大的六位数为 441729 8. 练习 2 答案：12 场 详解： 如果是（1，6） ，那么共1 66场； 如果是（2，5） ，那么共2 510场； 如果是（3，4） ，那么共3 412场； 所以一共最多有 12 场比赛
12、9. 练习 3 答案：长 8 米，宽 7 米时，面积最大为 56 平方米 简答：长、宽和为 15 米，当长为 8 米、宽为 7 米时，长、宽最接近，长、宽乘积最大，最大面 积为 56 平方米 10. 练习 4 答案： 7642 8531 简答：要使得乘积最大，那么就要千位上的数字最大、个位上的数字最小；所以千位填 7、8， 百位填 5、6，十位填 3、4，个位填 1、2； 在 这 个 前 提 下 ， 无 论 怎 么 填 ， 最 后 两 个 四 位 数 的 和 都 固 定 等 于 7 0 0 08 0 0 05 0 06 0 03 04 0121 6 1 7 3，所以要想让它们的乘积最大，就要让
13、这两个四 位数差最小，尝试可得是7642 8531 11. 作业 1 答案：1129854 简答： 在原数某一位前面插入相同数一共可以得到 1129854、 1229854、 1299854、 1298854、 1298554、 1298544 这些数，对比可知 1129854 最小 12. 作业 2 答案：25 简答：两个数的和为 10，根据“和同近积大”的原则，当两个数都为 5 时乘积最大，为 25 13. 作业 3 答案：25 平方厘米 简答：长、宽的和是 10 厘米，根据“和同近积大”的原则，正方形的时候面积最大，此时边长 为 5 厘米，面积为 25 平方厘米 14. 作业 4 答案：853 764 简答： 最高位填 8 和 7， 十位填 6 和 5， 个位填 4 和 3， 相差越小乘积越大， 所以应为853 764 15. 作业 5 答案：26789；98543210 简答：3298762，所以最小为 26789；320 1234589 ，所以最大为 98543210