1、高三数学试卷 第 1 页 共 4 页 上海市黄浦区 2019 学年度第二学期高三年级阶段性调研 数 学 试 卷 2020 年 5 月 （完卷时间：120 分钟 满分：150 分） 考生注意： 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一 律无效； 2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3本试卷共 21 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，题，满分满分 54 分分. 其中第其中第 16 题每题题每题满分满分 4 分，第分，第 712 题每题题每题满分满分 5
2、分分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1若集合1,2,3,4,5A， 2 |60Bx xx ，则AB . 2函数 2 2cos2yx的最小正周期为 3某社区利用分层抽样的方法从 140 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、80 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 户. 4若直线 1: 350laxy与 2: 210lxy 互相垂直，则实数a的值为 . 5如果 2 2 sin 3 ，为第三象限角，则 3 sin() 2 . 6若一圆锥的主视图是边长为 6 的正三角形，则此圆锥的体积为 . 7已知双
3、曲线 22 22 1 xy ab -=(0,0)ab的一条渐近线平行于直线l：210yx=+，双曲线的一个焦点 在直线l上，则双曲线的方程为 . 8已知函数( )(0,1) x f xab aa的定义域和值域都是 2,0，则( 1)f . 9当, x y满足 27 0 1 0 1 xy xy x ， ， 时，| 2|xya恒成立，则实数a的取值范围是 . 10某班共有 4 个小组，每个小组有 2 人报名参加志愿者活动现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志 愿者，则选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 11已知Ra，函数 2 2 (0) ( ) 1(0) ax f xx xx
4、，若存在不相等的实数 123 ,x xx，使得 1 1 ( )f x x 2 2 ()f x x 3 3 () 2 f x x ，则a的取值范围是 高三数学试卷 第 2 页 共 4 页 y x O P A B C Q 12 点A是曲线 2 2yx(2)y 上的任意一点，(0, 2)P,(0,2)Q， 射线QA交曲线 2 1 8 yx于B点，BC垂直于直线3y ，垂足为 点C 则下列结论：（1）|APAQ为定值2 2；（2）|QB|BC 为定值5； （3）|PAABBC为定值52.其中正确结论的 序号是 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分 ）每题有且只有
5、一个正确答案，考生应在答题纸的相应编分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13 “函数( )()f x xR存在反函数”是“函数( )f x在R上为增函数”的 （ ）. A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 14设 12 ,z z是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ）. A若 12 | 0zz , 则 12 zz B若 12 zz, 则 12 zz C若| 21 zz , 则 2112 zzzz D若 12 |zz,
6、则 21 22 zz 15. 已知已知e f ,是互相垂直的单位向量，向量 n a满足： n e an，21 n f an， n b是向量f与 n a夹 角的正切值，则数列 n b是 （ ）. A单调递增数列且 1 lim 2 n n b B单调递减数列且 1 lim 2 n n b C单调递增数列且lim2 n n b D单调递减数列且lim2 n n b 16如图，直线l 平面, 垂足为O，正四面体ABCD的棱长 为 2，, A D分别是直线l和平面上的动点，且BCl，则 下列判断：点O到棱BC中点E的距离的最大值为21； 正四面体ABCD在平面上的射影面积的最大值为 3其中正确的说法是
7、（ ）. A都正确 B都错误 C正确，错误 D错误，正确 高三数学试卷 第 3 页 共 4 页 图 图 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤必要的步骤 17（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 如图，在三棱椎 P-ABC 中，PA平面 ABC，90 ,BACD、E、F 分别是 棱 AB、BC、CP 的中点，AB=AC=1，PA=2 （1）求异面直线PB与DF所成的角； （2）求点
8、P 到平面 DEF 的距离 18（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 设 1122 (,), (,)A x yB xy是函数 2 1 log 21 x y x 的图像上任意两点，点 00 (,)M xy满足OM 1 () 2 OAOB （1）若 0 1 2 x ，求证： 0 y为定值； （2）若 21 2xx，且 0 1y ，求 1 x的取值范围，并比较 1 y与 2 y的大小 19（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园.如图所示，矩形ABCD的AB边
9、与BC边的长分别 为 48 米与 40 米， 扇形的圆心O为AB中点， 扇形的圆弧端点,E F分别在AD与BC上， 圆弧的中点G 在CD上 （1）求扇形花园的面积（精确到 1 平方米） ； （2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域 1 111 ABC D为花卉展览区如图所示，矩形 1 111 ABC D的 四条边与矩形ABCD的对应边平行，点 11 ,A B分别在,OE OF上，点 11 ,C D在扇形的弧上.某同学猜想： 当矩形 1111 ABC D面积最大时，两矩形 1 111 ABC D与ABCD的形状恰好相同（即长与宽之比相同） ，试求 花卉展览区 1 111 ABC D面积的最大值，并
10、判断上述猜想是否正确（请说明理由）. 高三数学试卷 第 4 页 共 4 页 20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分 已知点,A B分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点与上顶点， 坐标原点O到直线AB的距离 为 6 3 ，且点A是圆: 222 (2)(0)xyrr的圆心动直线: l ykx与椭圆交于,P Q两点 （1）求椭圆C的方程； （2）若点S在线段AB上，()ROSOP ，且当取最小值时直线l与圆相切，求r的值； （3）若直线l与圆分别交于,G H两点，点G在线段PQ上，且|
11、 |QGPH，求r的取值范围. 21 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 若数列 n a与函数( )f x满足： n a的任意两项均不相等， 且( )f x的定义域为R； 数列 n a 的前n的项的和() nn Sf a对任意的 * Nn都成立，则称 n a与( )f x具有“共生关系”. （1）若 * 2 ()N n n an,试写出一个与数列 n a具有“共生关系”的函数( )f x的解析式； （2）若( )f xaxb与数列 n a具有“共生关系” ，求实数对( , )a b所构成的集合,并写出 n a
12、关于 , ,a b n的表达式； （3）若 2 ( )f xxcxh,求证： “存在每项都是正数的无穷等差数列 n a，使得 n a与( )f x具有 共生关系”的充要条件是“点( , )c h在射线 11 () 216 xy上”. 高三数学试卷 第 5 页 共 4 页 高三数学模拟考试参考答案与评分标准高三数学模拟考试参考答案与评分标准 一一、填空题： （16 题每题题每题 4 分；分；712 题每题题每题 5 分）分） 1. ； 2.； 3.56； 4.； 5.； 6. ； 7. ； 8.； 9. ；10. ； 11.； 12. . 二、选择题：选择题： （每题（每题 5 分）分） 13.
13、B； 14. D； 15. A； 16.C. 三、解答题： （共（共 76 分）分） 17 （1）如图，分别以为轴建立空间 直角坐标系，则， ,故2 分 所以， 4 分 可得， 故异面直线与所成的角为. 6 分 （另法:先证明的夹角就是所求异面直线所成的角并证明，然后在直角 中，可求得所成角为）. （2）同（1）建立空间直角坐标系，则 7 分 设是平面 DEF 的一个法向量，则 可得解得所以， 11 分 又，P 到平面 DEF 的距离 故所求距离为. 14 分 18 （1）由，可知，即 ， 2 分 ， 故为定值. 6 分 1,26 1 3 9 3 22 1 520 xy 334 + )， 27
14、 35 (, 4) ,AB AC AP, ,x y z (0,0,0), (1,0,0)(0,1,0)(0,0,2)ABCP , 11 ( ,0,0),(0,1) 22 DF 1 1 ( 1,0,2),(,1), 2 2 BPDF 5 30 2 cos, 63 5 2 BP DF 30 ,arccos 6 BP DF PBDF 30 arccos 6 ,DF EFDEEF DEF 5 arctan 5 11 1 (0,0),(,1), 22 2 DEDF ( , ,1)nx y 0 0 n DE n DF ， ， 1 0 2 11 10 22 y xy ， ， 2 0 x y ， ， (2,0
15、,1)n 1 (0, 1) 2 PF 15 | 5|5 PF n d n 5 5 1 () 2 OMOAOB 012 11 () 22 xxx 12 1xx 121 2 012222 1212 11 111 ()(loglog)(1 log) 22 21212(1)(1) + xxx x yyy xxxx 1 2 02 2 1 11 (1 log) 22 + x x y x x 高三数学试卷 第 6 页 共 4 页 （2）由，可得， 7 分 它等价于 解得的取值范围是. 11 分 此时由，可知， 故，即. 14 分 19 （1）设，则，在直角中， ， ， 3 分 可得扇形的面积平方米， 所以扇
16、形花园的面积约为平方米. 6 分 （2）在图 2 中，连，设， 则在中，由，可得， 又， 所以矩形的面积 9 分 ， 当且仅当，即时，取最大值， 的最大值为，所以花卉展览区面积的最大值为平方米.12 分 当的面积最大时， 此时，从而两矩形长和宽之比相等， 所以两矩形的形状相同，即该同学的猜想是正确的. 14 分 20.解： （1）由题意知，且可得， 3 分 故椭圆方程为. 4 分 12 2xx 0 1y 11 22 11 2 loglog1 11 2 xx xx 1 11 1 1 1 1 12 11 11 11 0, 101, 1 0, 212 0,0, 1 223535 310222 2 1
17、1 2 x xx x x x x x xxxx xx . 1 x 35 1 (, ) 22 111 1111 2 0 11 2(1)(1 2 ) xxx xxxx 11 11 2 0 11 2 xx xx 11 22 11 112 loglog 2121 2 + xx xx 12 yy 2 EOFBFOOBF 1 24,40 2 BOABOFBC 3 sin 5 OB OF 3 arcsin 5 2 1 133 402arcsin1600arcsin1030 255 S 1030 1 OC 11 (0)FOCOCr, 11 OBC 111 sinsin BCOC 11 sin sin r BC
18、 11 2 sin()C Dr 34 sincos 55 ， 1111 ABC D 21111 sin 2 sin() sin r SBC C Dr 22 2 10sin (sincoscos sin)(6sincos8sin) 33 rr 2 16004 (3sin24cos24)5sin(2arcsin)4 335 r 4 2arcsin 52 1 4 (arcsin ) 2 252 2 S 2 S 1600 3 1 111 ABC D 1600 3 1111 ABC D 2 11 11 2 sin()6486 2sin, sin 5405 sin C DrCD r BCBC 2,a 2
19、26 , 3 2+ b b 1b 2 2 1 2 x y 高三数学试卷 第 7 页 共 4 页 （2）设，则， 6 分 代入直线的方程，可得， 故，故当且仅当取时，取最小值. 8 分 此时点的坐标为，直线 的方程为，故. 10 分 （3）由，可得，将代入椭圆的方程， 可得，即，故， 又到直线 的距离为，故， 所以， 13 分 可得， 令，则， 故的取值范围是. 16 分 21.解： （1）由，可知， 所以与数列 具有“共生关系”函数的解析式可以是. 4 分 （2）由题意得，令，可得，即， 若， 此式不成立， 不合题意； 若， 由， 可得， 又， 可得， 与任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合
20、题意. 5 分 若，可得， 若，则由与，可得，不合题意. 若，则，当时，不合题意. 6 分 若，则，由， 可得，即，此时数列是首项为，公比为 的等比数列，又的任意两项均不相等，故，可知， 8 分 ( 2cos ,sin )(0, ) 2 P ( 2 cos , sin )S AB1 2 x y(cossin )1 11 cossin 2sin() 4 4 P 2 (1,) 2 l20xy 26 33 r | |QGPH| |PQGHykxC 22 (1 2)2kx 2 2 1 2 x k 2 2 2 |1+2 1 2 PQk k Al 2 |2 | 1 k k 2 2 2 2 | 2 1 k
21、GHr k 2 2 2 1+2 1 2 k k 2 2 2 2 2 1 k r k 2222 2 2222 22(1)422(1) +2 11 211 2 kkkk r kkkk 2 22 211 21,2) 11 k z kk 2 1 2()223)rz z , r 23)， 2n n a 1 2(1 2 ) 2222 1 2 n n nn Sa n a( )f x( )22f xx nn Saab1n 11 aaab 1 (1)a ab 10ab,10ab, 22 Sa 1 0a 33 Sa 2 0a n a 1a 1 1 b a a 0b 111 aSaa 1222 aaSaa 12 0
22、aa 0b 0a n Sb2n 0 n a 0b 0,1a n Sb nn Saab +1+1nn Saab 1+1+1nnnnn aSSaaaa 1 1 nn a aa a n a 1 b a 1 a a n a1 1 a a 1 2 a 高三数学试卷 第 8 页 共 4 页 所以实数对所构成的集合为且， 且. 10 分 （3）(必要性)法一:若是公差为的等差数列,且它与具有 “共生关系”, 则由， 可知， 11 分 故，即恒成立， 故解得， 13 分 又由，可得，由，可知. 所以点在射线上. 14 分 法二：若是等差数列，且它与具有 “共生关系”, 设， 则由,可知， 11 分 所以恒成立
23、， 故可得有实根， 13 分 即，可知.所以点在射线上. 14 分 (充分性)若点在射线上，则， 又方程等价于，且 ，取，它显然是正数且满足， 16 分 令, 则 ，故当时， ，这里的无穷数列是首项为，公差为的无穷等差数列， 其每一项都是正数.所以存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与 具有“共生关系”. . 18 分 另法：直接证明首项为、公差为的等差数列满足条件，即可。 ( , )a b 1 ( , )|0,1, 2 a ba 0,Rba b其中 , 1 1 () 11(1) n n n n baba a aaa n a(0)d d ( )f x 2 nnn Sacah 2 +1+1+1n
24、nn Sacah 22 1+1+1+1+11 ()()() nnnnnnnnnnn aSSaac aaaaaac 11 2(21)anddandc 2 11 2(2)andd ndadcd 2 11 2, 2 dd adadcd ， 1 2 cd 2 111 1 2 n aSaah 2 1 1 0 2 n aah 1 40 4 h 1 16 h ( , )c h 11 () 216 xy n a( )f x(0) n adnm d 2 nnn Sacah 2 (1) ()() 2 n nd mndnmc dnmh 2222 ()(2)() 22 dd nmnd nmdcd nmcmh 2 2
25、1 2 2 2 0 dd d mmdcd mcmh ， ， ， 2 11 ,0 22 cdmmh且 1 40 4 h 1 16 h ( , )c h 11 () 216 xy ( , )c h 11 () 216 xy 11 , 216 ch 2 111 1 2 aaah 2 11 1 0 2 aah 1 40 4 h 1 11 16 4 h a 1 1+ 1 16 4 h a 1 (1)Sf +1 1 2 nn aa 22 +1+1 11 (1)( )()() 22 nnnn f nf naaaa +1+1+1+1 11 ()(+)(2) 22 nnnnnn aaaaaa2n 12 (1) (2)(1) (3)(2) ( )(1) nn Saaaffffff nf n ( )f n n a 1+ 1 16 4 h1 2 n a n a( )f x 1+ 1 16 4 h1 2