1、上海市浦东新区上海市浦东新区 2020 届高三下学期期中教学量监测（二模）数届高三下学期期中教学量监测（二模）数 学试题学试题 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分考分考 生应在答题纸相应编号的空格内直生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得接填写结果，每个空格填对得 4 分或分或 5 分，否则一律得分，否则一律得 零分零分 1设全集 U0，1，2，集合 A0，1，则UA 2 某次考试， 5 名同学的成绩分别为： 96， 100， 95， 108， 115
2、， 则这组数据的中位数为 3若函数，则 f 1（1） 4 若1i是关于x的方程x2+px+q0的一个根 （其中i为虚数单位， p， qR） ， 则p+q 5若两个球的表面积之比为 1：4，则这两个球的体积之比为 6在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，圆 O 的参数方程 为（ 为参数） ，则直线 l 与圆 O 的位置关系是 7 若二项式 （1+2x） 4展开式的第4项的值为 ， 则 8已知双曲线的渐近线方程为 yx，且右焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，则这个双曲 线的方程是 9从 m（mN*，且 m4）个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A
3、 表示选 出的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同如果 A 的概率和 B 的概率相 等，则 m 10已知函数的零点有且只有一个，则实数 a 的取值集合 为 11 如图， 在ABC 中， BAC， D 为 AB 中点， P 为 CD 上一点， 且满足t+， 若ABC 的面积为，则|的最小值为 来源:学科网 12已知数列an，bn满足 a1b11，对任何正整数 n 均有 an+1an+bn+，bn+1 an+bn，设 cn3n，则数列cn的前 2020 项之和为 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案
4、考生必须题，每题有且只有一个正确答案考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13若 x、y 满足，则目标函数 f2x+y 的最大值为（ ） A1 B2 C3 D4 14如图，正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E、F 分别为棱 A1A、BC 上的点，在平面 ADD1A1 内且与平面 DEF 平行的直线（ ） A有一条 B有二条 C有无数条 D不存在 15已知函数 f（x）cosx|cosx|给出下列结论： f（x）是周期函数； 函数 f（x）图象的对称中心； 若 f（x1）f
5、（x2） ，则 x1+x2k（kZ） ； 不等式sin2x|sin2x|cos2x|cos2x|的解集为 则正确结论的序号是（ ）来源:学_科_网 A B C D 16设集合 S1，2，3，2020，设集合 A 是集合 S 的非空子集，A 中的最大元素和 最小元素之差称为集合 A 的直径那么集合 S 所有直径为 71 的子集的元素个数之和为 （ ） A711949 B2701949 C270371949 D270721949 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区
6、域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 17如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120得到的 （1）求此几何体的体积； （2）设 PPP 是弧上的一点，且 BPBE，求异面直线 FP 与 CA 所成角的大小 （结 果用反三角函数值表示） 18已知锐角 、 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交 于 P、Q 两点，若 P、Q 两点的横坐标分别为 （1）求 cos（+）的大小； （2） 在ABC 中， a、 b、 c 为三个内角 A、 B、 C 对应的边长， 若已知角 C+， 且 a
7、2bc+c2，求 的值 19疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额 在 3 万元至 6 万元（包括 3 万元和 6 万元）的小微企业做统一方案方案要求同时具备 下列两个条件：补助款 f（x） （万元）随企业原纳税额 x（万元）的增加而增加；补 助款不低于原纳税额 x （万元） 的 50% 经测算政府决定采用函数模型（其 中 b 为参数）作为补助款发放方案 （1）判断使用参数 b12 是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件、的参数 b 的取值范围 20在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点， 直线 l 与椭圆交于不同的两点
8、A、B，且 （1）求椭圆的方程； （2）已知直线 l 经过椭圆的右焦点 F2，P，Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形，求 直线 l 的方程； （3）已知直线 l 不经过椭圆的右焦点 F2，直线 AF2，l，BF2的斜率依次成等差数列，求 直线 l 在 y 轴上截距的取值范围 21 （18 分）若数列an对任意连续三项 ai，ai+1，ai+2，均有（aiai+2） （ai+2ai+1）0， 则称该数列为“跳跃数列” （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： 等差数列：1，2，3，4，5，； 等比数列：； （2）若数列an满足对任何正整数 n，均有（a10） 证明：数列an是跳 跃数列的充
9、分必要条件是 0a11 （3）跳跃数列an满足对任意正整数 n 均有，求首项 a1的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分考分考 生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或分或 5 分，否则一律得分，否则一律得 零分零分 1设全集 U0，1，2，集合 A0，1，则UA 2 利用补集定义直接求解 全集 U0，1，2，集合 A0，1， UA2 故答案为
10、：2 本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2 某次考试， 5 名同学的成绩分别为： 96， 100， 95， 108， 115， 则这组数据的中位数为 100 把已知 5 个数据从小到大依次排列，由此能求出参观人数的中位数 因为某次考试 5 名同学的成绩分别为：95，96，100，108，105则这组数据的中位数为 100， 故答案是：100 本题考查 5 个数据的中位数，是基础题 3若函数，则 f 1（1） 1 直接利用原函数和反函数的关系式的变换的应用求出结果 函数，所以令，解得 x1，即 f 1（1）1 故答案为：1 本题考查的知识要点：原函数和反函数
11、的定义域和值域的关系的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 4若 1i 是关于 x 的方程 x2+px+q0 的一个根（其中 i 为虚数单位，p，qR） ，则 p+q 0 利用实系数一元二次方程虚根成对原理可知方程另一个虚根，再由根与系数的关系列式 求得 p 与 q 的值，则答案可求 1i 是关于 x 的方程 x2+px+q0 的一个根， 且方程 x2+px+q0 是实系数一元二次方程， 1+i 是关于 x 的方程 x2+px+q0 的另一个根， 由根与系数的关系可得： （1i）+（1+i）p，即 p2， （1i） （1+i）q，即 q2 p+q0 故答案为：0 本
12、题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查根与系数关系，是基础题 5若两个球的表面积之比为 1：4，则这两个球的体积之比为 1：8 首先由表面积的比得到半径的比，再由体积比是比较比的立方得到所求 由已知两个球的表面积之比是 1：4，所以两个球的半径之比是 1：2，所以两个球的体积 之比 1：8； 故答案为：1：8来源:学科网 本题考查了球的表面积、体积与半径的关系；两个球的表面积之比为半径比的平方，体 积之比是半径比的立方 6在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，圆 O 的参数方程 为（ 为参数） ，则直线 l 与圆 O 的位置关系是 相交 首先把参数方程
13、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离 公式的应用求出结果 直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 xy+10， 圆 O 的参数方程为（ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 x2+y21， 所以圆心（0，0）到直线 xy+10 的距离 dr， 所以直线和圆相交 故答案为：相交 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距 离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7 若二项式 （1+2x） 4 展开式的第 4 项的值为， 则 先求二项式（1+2x）4展开式的通项公式，再利用 T44求出 x
14、，最后算极限 二项式（1+2x）4展开式的第 4 项的值为，T4C （2x）3423x4，解得 x x+x2+x3+ +xn1 （） n ， 故填： 本题主要考查二项式定理及数列的极限的求法，属于基础题 8已知双曲线的渐近线方程为 yx，且右焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，则这个双曲 线的方程是 2x22y21 利用双曲线的渐近线方程，推出 a、b 关系，结合右焦点与抛物线的解得重合，得到 c， 然后求解双曲线方程 双曲线的渐近线方程为 yx，可得 ab，ca， 右焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，所以 c1，则 a，b， 所以双曲线的方程为：2x22y21 故答案为：2x22y21 本
15、题考查抛物线的简单性质，双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 9从 m（mN*，且 m4）个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人，假设事件 A 表示选 出的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同如果 A 的概率和 B 的概率相 等，则 m 10 由 A 的概率和 B 的概率相等，列出方程，由此能求出 m 的值 从 m（mN*，且 m4）个男生、6 个女生中任选 2 个人当发言人， 假设事件 A 表示选出的 2 个人性别相同，事件 B 表示选出的 2 个人性别不同 如果 A 的概率和 B 的概率相等， 则， 解得 m10 故答案为：10 本题考查实数值的求法，
16、考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 10已知函数的零点有且只有一个，则实数 a 的取值集合 为 1 根据解析式先得函数 f（x）为偶函数，则只能是 f（0）0，代入求解即可 由题可得，函数 f（x）为偶函数，又因为函数零点有且只有一个，故函数零点只能为 x 0， 即 f（0）alog22+a20，解得 a1， 故答案为：1 本题考查函数零点的条件，考查函数奇偶性的应用，属于中档题 11 如图， 在ABC 中， BAC， D 为 AB 中点， P 为 CD 上一点， 且满足t+， 若ABC 的面积为，则|的最小值为 根据 C，P，D 三点共线，以及t+，求出 t 的值；将面积转化
17、成， 再根据平面向量模长公式结合基本不等式求出|的最小值即可 在ABC 中，D 为 AB 中点， C，P，D 三点共线，设， 又t+， ， ， 2， ， 将BAC代入，得 即， | （ 当 且 仅 当 时，等式成立） |的最小值为 故答案为： 本题考查平面向量的基本定理及模长公式，基本不等式的应用，属于综合考查，解题时 要认真审题，灵活的应用所给面积公式 12已知数列an，bn满足 a1b11，对任何正整数 n 均有 an+1an+bn+，bn+1 an+bn， 设 cn3n， 则数列cn的前 2020 项之和为 320213 本题先根据两个相关的数列的两个递推公式分别相加，相乘进行计算可推导
18、出数列 an+bn与数列anbn是等比数列并计算出通项公式，然后代入数列cn的通项公式进行 计算并判别出数列cn是以 6 为首项，3 为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式 即可计算出前 2020 项之和 依题意，an+1an+bn+， bn+1an+bn， +，可得 an+1+bn+12（an+bn） ， a1+b11+12， 数列an+bn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， an+bn22n 12n 又，可得 an+1bn+1（an+bn+） （an+bn） （an+bn）2（）2 2anbn， a1b11， 数列anbn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， anbn12n
19、12n1 cn3n3n3n23n63n 1， 数列cn是以 6 为首项，3 为公比的等比数列， 设数列cn的前 n 项之和为 Sn，则 S2020320213 故答案为：320213 本题主要考查两个相关的数列的递推公式求通项公式的相关问题考查了转化思想，整 体思想，等比数列的判别，指数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属综 合性较强的中档题 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案考生必须题，每题有且只有一个正确答案考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得在答题纸的相应编号上，将代表答案的
20、小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13若 x、y 满足，则目标函数 f2x+y 的最大值为（ ） A1 B2 C3 D4 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值 作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 A 时，直线 y2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由，解得 A（1，0） ， 代入目标函数 z2x+y 得 z21+02 即目标函数 z2x+y 的最大值为 2 故选：B 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的
21、数学思想是 解决此类问题的基本方法 14如图，正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E、F 分别为棱 A1A、BC 上的点，在平面 ADD1A1 内且与平面 DEF 平行的直线（ ） A有一条 B有二条 C有无数条 D不存在 由题设知平面 ADD1A1与平面 DEF 有公共线 DE， 由线面平行的判定定理在平面 ADD1A1 内，只要与 DE 平行的直线均满足条件，进而得到答案 由题设知平面 ADD1A1与平面 DEF 有公共线 DE， 则在平面 ADD1A1内与 DE 平行的线有无数条，且它们都不在平面 DEF 内， 由线面平行的判定定理知它们都与面 DEF 平行， 故选：C 本题考查的知识
22、点是平面的基本性质，正方体的几何特征，线面平行的判定定理，熟练 掌握这些基本的立体几何的公理、定理，培养良好的空间想像能力是解答此类问题的关 键 15已知函数 f（x）cosx|cosx|给出下列结论： f（x）是周期函数； 函数 f（x）图象的对称中心； 若 f（x1）f（x2） ，则 x1+x2k（kZ） ； 不等式sin2x|sin2x|cos2x|cos2x|的解集为 则正确结论的序号是（ ） A B C D 根据函数的周期性，若 f（2+x）f（x） ，则周期 T2； 根据函数的中心对称性，若0，则函数关于（）对称， 再结合函数的周期性，可得函数 f（x）的中心对称点； 先根据奇偶性
23、的概念判断出函数为偶函数，再结合函数的周期性，可得函数的对称轴 为 xk，kZ，若 f（x1）f（x2） ，则 x1+x22k（kZ） ； 当 x时，f（x）cos2x，在上单调递减，再结合函 数的中心对称和轴对称可得出函数在整个定义域内的单调区间，然后利用诱导公式，将 不 等 式 转 化 为， 结 合 函 数 的 单 调 性 可 得 ， ，解之即可判断 f（2+x）cos（2+x） |cos（2+x）|cosx|cosx|f（x） ，2 是函数 f（x）的一 个周期，即正确； （sinx） |sinx|+sinx|sinx|sinx|sinx|+sinx|sinx|0， 函数 f（x）的图象
24、关于（）对称 又 2 是函数 f（x）的周期，区间恰为函数的一个周期区间， 故函数 f（x）图象的对称中心为，即正确； f（x）cos（x） |cos（x）|cosx|cosx|， f（x）f（x） ，函数为偶函数， 又函数的周期为 2，函数 f（x）关于 xk，kZ 对称， 若 f（x1）f（x2） ，则 x1+x22k（kZ） ，即错误； 当 x时，f（x）cos2x，在上单调递减， 由于函数 f（x）关于和 xk，kZ 对称， 所以函数的单调递减区间为2k，+2k，单调递增区间为（+2k，2+2k，kZ 不等式 sin2x|sin2x|cos2x|cos2x|，等价于， 则，解得，kZ，
25、 故解集为，即正确 故选：D 本题考查余弦函数的图象与性质、二倍角公式、不等式的解法以及绝对值函数的处理方 式，分析清楚函数的中心对称性和轴对称性是解题的关键，考查学生的推理论证能力、 转化能力和运算能力，属于难题 16设集合 S1，2，3，2020，设集合 A 是集合 S 的非空子集，A 中的最大元素和 最小元素之差称为集合 A 的直径那么集合 S 所有直径为 71 的子集的元素个数之和为 （ ） A711949 B2701949 C270371949 D270721949 先确定集合 A 中最大元素 a 最小元素 b，集合 A 中元素最多为 72 个，即可求出集合 A 中 包含 a， b
26、的所有子集元素之和个数为 2+3+4+72， 再数出组合 （a， b）的个数即可求出 设集合 A 中最大元素为 a，最小元素为 b，所以满足 ba71 的组合有 2020711949 个， 集合 A 中元素最多为 72 个，而集合 A 中包含 a，b 所有子集元素之和个数为 2+3 +4+72， 设 m2+3+4+72，则 m72+71+70+2， 所以 2m74+74+74+7474270，即 m37270， 因此，集合 S 所有直径为 71 的子集的元素个数之和为 270371949 故选：C 本题主要考查集合的子集个数的求法以及二项式定理性质的应用，属于中档题 三、解答题（本大题满分三、
27、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 17如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120得到的 （1）求此几何体的体积； （2）设 PPP 是弧上的一点，且 BPBE，求异面直线 FP 与 CA 所成角的大小 （结 果用反三角函数值表示） （1）S底面BEC此几何体的体积 VS底面BECh，由 此能求出结果 （2）以点 B 为坐标原点，BE 为 x 轴，BP 为 y
28、轴，BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系利 用向量法能求出异面直线 FP 与 CA 所成角的大小 （1）因为 S底面BEC 所以此几何体的体积 VS底面BECh （2）如图所示，以点 B 为坐标原点，BE 为 x 轴，BP 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立空间直 角坐标系 则 A（0，0，2） ，F（2，0，2） ，P（0，2，0） ，C（1，0） （2，2，2） ，（1，2） 设异面直线 FP 与 CA 所成的角为 ， 则 cos来源:学科网 所以异面直线 FP 与 CA 所成角的大小 arccos 本题考查几何体的体积、异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础
29、知识，考查运算求解能力，是中档题 18已知锐角 、 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交 于 P、Q 两点，若 P、Q 两点的横坐标分别为 （1）求 cos（+）的大小； （2） 在ABC 中， a、 b、 c 为三个内角 A、 B、 C 对应的边长， 若已知角 C+， 且 a2bc+c2，求 的值 （1）利用三角函数的定义可求锐角 、 的正弦值，余弦值，利用两角和的余弦函数公 式可求 cos（+）的大小； （2）法一：由已知利用两角和的正弦函数公式可求 sinB 的值，即可代入求解 的值； 法二：由已知利用两角和的正弦函数公式可求 sinB 的值，进而利用正弦定
30、理即可求解 的值；法三：由已知可求 cosB 的值，由余弦定理化简，解得 a，b 的值，即可代入求解 的值 （1）由已知， 因而 （2）法一： （正弦定理）由已知， ， 来源:学科网 ZXXK 法二： （余弦定理）a2c2b22bccosA， 因而由已知得； 法三： （余弦定理、正弦定理）， 因而由余弦定理得：， 同理 ， 得，得： 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属 于中档题 19疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额 在 3 万元至 6 万元（包括 3 万元和 6 万元）的小微企业做统一方案方案要求同时具备 下
31、列两个条件：补助款 f（x） （万元）随企业原纳税额 x（万元）的增加而增加；补 助款不低于原纳税额 x （万元） 的 50% 经测算政府决定采用函数模型（其 中 b 为参数）作为补助款发放方案 （1）判断使用参数 b12 是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件、的参数 b 的取值范围 （1）法一：通过 b12 时，判断，说明当 b12 时不满足条件 法二：由条件求出函数的值域34，12，说明当 b12 时不满足条件 法三：由条件可知在3，6上恒成立，推出，说明当 b 12 时不满足条件 （2）法一：由条件可知，f（x）在3，6上单调递增，则对任意 3x1x26 时，推 出； 由条件
32、可知，推出，即可求出参数 b 的取值范围 法二：由条件可知，在3，6上单调递增，求解 b 的范围，由条件可 知，即不等式，在3，6上恒成立，所以，求解即可 （1）法一：因为当 b12 时，所以当 b12 时不满足条件 法二：由条件可知 因为 34，12，所以当 b12 时不满足条件 法三：由条件可知在3，6上恒成立，所以， 解得，所以当 b12 时不满足条件 （2）法一：由条件可知，f（x）在3，6上单调递增，则对任意 3x1x26 时， 有恒成立， 即 x1x2+4b0恒成立，所以； 由条件可知，即不等式在3，6上恒成立， 所以， 综上，参数 b 的取值范围是 法二：由条件可知，在3，6上单
33、调递增， 所以当 b0 时，满足条件；当 b0 时，得， 所以， 由条件可知，即不等式，在3，6上恒成立，所以， 得， 综上，参数 b 的取值范围是 本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数恒成立条件的转化，考查分析问题 解决问题的能力，是中档题 20在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点， 直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且 （1）求椭圆的方程； （2）已知直线 l 经过椭圆的右焦点 F2，P，Q 是椭圆上两点，四边形 ABPQ 是菱形，求 直线 l 的方程； （3）已知直线 l 不经过椭圆的右焦点 F2，直线 AF2，l，BF2的斜率依次成等差数列，求
34、 直线 l 在 y 轴上截距的取值范围 （1）利用已知条件求出 a，然后求解椭圆的方程； （2）说明 ABPQ 且|AB|PQ|由对称性，F1在线段 PQ 上推出 OAOB设 l：x 1my，与椭圆方程联立可得（m2+2）y2+2my10，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，利 用韦达定理，由 x1x2+y1y20，求解即可 （3） 设 l： ykx+b， 由 k1+k22k， 可得， 即 推 出（b+k） （x1+x22）0说明 x1+x22联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化 求解即可 （1）由可得，从而， 椭圆方程为 （2）由于四边形 ABPQ 是菱形，因此 ABPQ 且|AB
35、|PQ| 由对称性，F1在线段 PQ 上因此，AP，BQ 分别关于原点对称； 并且由于菱形的对角线相互垂直，可得 APBQ，即 OAOB 设 l：x1my，与椭圆方程联立可得（m2+2）y2+2my10，设 A（x1，y1） ，B（x2， y2） ， 因此， 由 x1x2+y1y20，可得， 解得，即直线方程为 （3）设 l：ykx+b，由 k1+k22k，可得， 即 化简可得 2kx1x2+（bk） （x1+x2）2b2k（x11） （x21） ， 即（b+k） （x1+x22）0 若 b+k0，则 l：ykxk 经过 F2，不符，因此 x1+x22 联立直线与椭圆方程， （2k2+1）x2
36、+4kbx+（2b22）0 因为8（2k2b2+1）0 由，可得， 将代入，；再由， 可得， 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置的综合应用，考查转化思想以及分析问 题解决问题的能力，是难题 21 （18 分）若数列an对任意连续三项 ai，ai+1，ai+2，均有（aiai+2） （ai+2ai+1）0， 则称该数列为“跳跃数列” （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： 等差数列：1，2，3，4，5，； 等比数列：； （2）若数列an满足对任何正整数 n，均有（a10） 证明：数列an是跳 跃数列的充分必要条件是 0a11 （3）跳跃数列an满足对任意正整数 n 均有，求首项 a1的取
37、值范围 （1）根据定义可直接判断其不是跳跃数列；根据定义可直接判断其是跳跃数列； （2）先证明其必要性： 若 a11，则an是单调递增数列，不是跳跃数列，若 a11，an 是常数列，不是跳跃数列，从而证明数列an是跳跃数列的必要条件是 0a11，再用 数学归纳法证明证明其充分性即可； （3）根据条件分 an+1an和 an+1an两种情况求出 an的取值范围，再求出首项 a1的取 值范围 （1）等差数列：1，2，3，4，5，不是跳跃数列； 等比数列：是跳跃数列 （2）必要性：若 a11，则an是单调递增数列，不是跳跃数列； 若 a11，an是常数列，不是跳跃数列 充分性：下面用数学归纳法证明：
38、 若 0a11，则对任何正整数 n，均有 a2n1a2n+1a2n，a2na2n+2a2n+1成立 1）当 n1 时， ，a2a3a1， a2a3a1， n1 命题成立； 2）若 nk 时，a2k1a2k+1a2k，a2ka2k+2a2k+1， 则，a2k+1a2k+3a2k+2， a2k+2a2k+4a2k+3，当 nk+1 时命题也成立， 根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足（aiai+2） （ai+2ai+1）0， 故an是跳跃数列 （3）， ， 1若 an+1an，则 an+1an+2an，此时； 2若 an+1an，则 an+1an+2an，此时； 若，则，an（2，2） 若，则， ， 此时对任何正整数 n，均有 本题考查了等差数列和等比数列的综合，充分必要条件，数学归纳法的应用，考查了分 类讨论思想和转化思想，属难题