1、 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江模拟卷 1） 数 学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考生注意： 1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上。 2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的 作答一律无效。 参考公式：参考公式： 若事件 A，B 互斥，则()( )( )P ABP AP B 若事件 A，B 相互独立，则()( ) ( )P ABP A P B 若
2、事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次 独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( )C(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kppkn 台体的体积公式 1122 1 () 3 VSS SS h 其中 12 ,S S分别表示台体的上、下底面积，h表示 台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR其中R表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每
3、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1设全集UR，集合| 11Axx ，|20Bx x x，则() U AC B（ ） A | 10xx B |12xx C |01xx D |01xx 2复数 z=（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3与双曲线 2 2 1 2 x y的渐近线平行，且距离为6的直线方程为（ ） A 260xy B 2260xy C 260xy D 2260xy 4已知各项均不相等的等比数列an中，a2=1，且a1，a3， a5成等差数列，则 a4等于（ ） A B49 C D7 5函数 f（x）=eln
4、|x|+的大致图象为（ ） A B C D 6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A B1 C D2 7元旦晚会期间，高三二班的学生准备了 6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2 个 歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外 2 个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同 编排种数为 A48 B36 C24 D12 8已知动点 P(x，y)在椭圆 C：x 2 25 y2 161 上，F 为椭圆 C 的右焦点，若点 M 满足|MF |1 且PM MF 0， 则|PM |的最小值为( ) A. 3 B3 C.12 5 D1 9已知偶函数( )f x满足
5、2 ( )( )6,f xxfx，且(1)2f，则 2 1 ( )3f x x 的解集为 A 22x xx 或 B 11xx C 11x xx 或 D. 22xx 10已知函数 f(x)满足 f(x)f 1 x ，当 x1，3时，f(x)ln x，若在区间 1 3，3 内，曲线 g(x)f(x)ax 与 x 轴有三个不同的交点，则实数 a 的取值范围是( ) A. 0， 1 e B. 0， 1 2e C. ln 3 3， 1 e D. ln 3 3， 1 2e 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11已知tan
6、2，则 2 cossin2 . 12设x，y满足约束条件 1 1 0 xy xy x ,则目标函数2zxy的取值范围为 13已知圆 O：x 2+y2=9，点 A（2，0） ，点 P 为动点，以线段 AP 为直径的圆内切于圆 O，则动点 P 的轨迹方 程是 14已知正实数 x，y 满足 x+2yxy=0，则 x+2y 的最小值为 y 的取值范围是 15给出以下四个结论： 函数 21 1 x f x x 的对称中心是1,2； 若关于x的方程 1 00,1xkx x 在没有实数根，则 k 的取值范围是2k ； 在ABC中， “coscosbAaB”是“ABC为等边三角形”的必要不充分条件 若将函数
7、sin 2 3 f xx 的图象向右平移0 个单位后变为偶函数，则的最小值是 12 . 其中正确的结论是_. 16已知不等式 ln（x+1）1ax+b 对一切 x1 都成立，则的最小值是 17 若ABC中，2AB ，BC=8， B45， D为ABC所在平面内一点且满足 ( )()4AB ADAC AD ， 则AD长度的最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本小题满分 14 分）已知ABC 中 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，（1cos2B）=8sinBsinC，A+ = （）求 cosB 的值； （）若点 D 在线段
8、BC 上，且 BD=6，c=5，求ADC 的面积 19.（本小题满分 15 分） 在四棱锥 PABCD 中，ADBC，AD=AB=DC=BC=1，E 是 PC 的中点，面 PAC面 ABCD （）证明：ED面 PAB； （）若 PC=2，PA=，求二面角 APCD 的余弦值 20.（本小题满分 15 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S5=a5+a6=25 （1）求an的通项公式； （2）若不等式 2Sn+8n+27（1） nk（a n+4）对所有的正整数 n 都成立，求实数 k 的取值范围 21.（本小题满分 15 分）已知椭圆 C：x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为
9、1 2，以原点为圆心，椭圆的短半 轴长为半径的圆与直线 7x 5y120 相切 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 A(4,0)，过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，连接 AP，AQ 分别 交直线 x16 3 于 M，N 两点，若直线 MR，NR 的斜率分别为 k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定 值，若不是，请说明理由 22.（本小题满分 15 分）己知函数 （1）若 ，求函数 的单调递减区间; （2）若关于的不等式 恒成立，求整数的最小值: （3）若 ，正实数 满足 ，证明: 12 5 e xx 2 1 ( )ln, 2 f xx
10、axx aR (1)0f( )f x x( )1f xaxa 2a 12 ,x x 1212 ()()0f xf xx x 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（浙江模拟卷（浙江模拟卷 1） 数数 学学 参参 考考 答答 案案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B C C A C A C C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11 . 1 12. -1,2 13 + =1 14 ：8； （1，+） 15_ 16. 1-e-3 17
11、.2 三、解答题：本大题共5小题，共74分。 18. 解： （）（1cos2B）=8sinBsinC， 2sin2B=8sinBsinC， 由 sinB0，可得： sinB=4sinC， A+=， C=，即 B=2C， sinB=sin2C=2sinCcosC，可得：cosC=， cosB=cos2C=2cos2C1= （）由（）可得sinB=4sinC，可得： b=4c，可得 b=4， 由余弦定理 b2=a2+c22accosB，可得：a26a55=0，解得：a=11 或 a=5（舍去） ， CD=5， 又cosC=， sinC=， S ADC=DCACsinC=10 19. （）证明：取
12、PB 的中点 F，连接 AF，EF EF 是 PBC 的中位线，EFBC，且 EF= 又 AD=BC，且 AD=，ADEF 且 AD=EF， 则四边形 ADEF 是平行四边形 DEAF，又 DE面 ABP，AF面 ABP， ED面 PAB； （）解：法一、取 BC 的中点 M，连接 AM，则 ADMC 且 AD=MC， 四边形 ADCM 是平行四边形， AM=MC=MB，则 A 在以 BC 为直径的圆上 ABAC，可得 过 D 作 DGAC 于 G， 平面 PAC平面 ABCD，且平面 PAC平面 ABCD=AC， DG平面 PAC，则 DGPC 过 G 作 GHPC 于 H，则 PC面 GH
13、D，连接 DH，则 PCDH， GHD 是二面角 APCD 的平面角 在 ADC 中，连接 AE， 在 Rt GDH 中， ， 即二面角 APCD 的余弦值 法二、取 BC 的中点 M，连接 AM，则 ADMC，且 AD=MC 四边形 ADCM 是平行四边形， AM=MC=MB，则 A 在以 BC 为直径的圆上， ABAC 面 PAC平面 ABCD，且平面 PAC平面 ABCD=AC，AB面 PAC 如图以 A 为原点，方向分别为 x 轴正方向，y 轴正方向建立空间直角坐标系 可得， 设 P（x，0，z） ， （z0） ，依题意有， 解得 则， 设面 PDC 的一个法向量为， 由，取 x0=1
14、，得 为面 PAC 的一个法向量，且， 设二面角 APCD 的大小为 ， 则有，即二面角 APCD 的余弦值 20 解： （1）等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S5=a5+a6=25， ， 解得 a1=1，d=3， an的通项公式 an=1+（n1） 3=3n4 （2）a1=1，d=3， = 不等式 2Sn+8n+27（1）nk（an+4）对所有的正整数 n 都成立， 3n2+3n+27（1）nk3n， （1）nkn+1 对所有的正整数 n 都成立， 当 n 为偶数时，kn+1， 设 F（n）=n+1， F（n）min=F（4）=4+ = k 当 n 为奇数时，kn+1，k（n+1）
15、， （n+1）2 1=7， 当且仅当 n=，即 n=3 时，取等号， 实数 k 的取值范围是（7，） 21.解 (1)由题意得 c a 1 2， 12 75b， a2b2c2， a4， b2 3， c2， 故椭圆 C 的方程为x 2 16 y2 121. (2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线 PQ 的方程为 xmy3，由 x2 16 y2 121， xmy3， (3m24)y218my210， y1y2 18m 3m24，y1y2 21 3m24. 由 A，P，M 三点共线可知 yM 16 3 4 y1 x14，yM 28y1 x1 . 同理可得 yN 28y2 x2 ，k1k2
16、 yM 16 3 3 yN 16 3 3 9yMyN 49 16y1y2 x1x2 . (x14)(x24)(my17)(my27)m2y1y27m(y1y2)49， k1k2 16y1y2 m2y1y27my1y249 12 7 . k1k2为定值12 7 . 22，解析： （1）因为，所以， 此时， 由，得， 又，所以所以的单调减区间为 （2）方法一：令， (1)10 2 a f 2a 2 ( )ln,0f xxxx x 2 121 ( )21(0) xx fxxx xx ( )0fx 2 210xx 0x1x ( )f x (1,) 2 1 ( )( )1)ln(1)1 2 g xf x
17、axxaxa x-( 所以 当时，因为，所以 所以在上是递增函数， 又因为， 所以关于的不等式不能恒成立 当时， 令，得所以当时，； 当时， 因此函数在是增函数，在是减函数 故函数的最大值为 令，因为， ，又因为在是减函数 2 1(1)1 ( )(1) axa x g xaxa xx 0a0x( )0g x ( )g x(0,) 2 13 (1)ln11(1) 120 22 gaaa x( )1f xax 0a 2 1 ()(1) (1)1 ( ) a xx axa x a g x xx ( )0g x 1 x a 1 (0,)x a ( )0g x 1 (,)x a ( )0g x ( )g x 1 (0,)x a 1 (,)x a ( )g x 2 111111 ( )ln( )(1)1ln 22 gaaa aaaaa 1 ( )ln 2 h aa a 1 (1)0 2 h 1 (2)ln20 4 h( )h a(0,)a 所以当时，所以整数的最小值为 2 2a( )0h a a