1、第第 1 1 讲讲 角平分线角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理的数学表示：如图，已知 OE 是AOB的平分线，F是 OE 上一点，若 CFOA于 点 C，DFOB 于点 D，则 CF =DF. 逆定理逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！ 模型讲解模型讲解 模型 1-BD平分ABC，且 DCBC 理由：角平分线的性质 结论：DCB2DEB 模型 2 一 BD平分ABC，
2、且 CDBD 理由：等腰三角形三线合一 结论：BDCBDE 模型 3-BD平分ABC，AD/BC 理由：平行线的性质 结论：ABD为等腰三角形 【例【例题讲解题讲解】 例例题题 1、如图所示，在四边形 ABCD中，DC/AB，DAB =90，ACBC，AC =BC， ABC 的平分线交 AD，AC于点 E、F，则 BF EF 的值是_. 【分析】要求 BF EF 的值，一般来说不会直接把 BF和 EF都求出来，所以需要转化 BF EF ， 当过点 F 作 FGAB时，即可将 BF EF 转化为 BG AG ，又会出现模型 1，所以这个辅助线与思路 值得一试. 【解答】解：如图，作 FGAB 于
3、点 G DAB-90，FG/AD， BF EF = BG AG ACBC，ACB =90 又BF 平分ABC，FG =FC 在 RtBGF 和 RtBCF中 BFBF CFGF BGFBCF（HL），BC =BG AC =BC，CBA =45，AB =2BC 1 21 221 BFBGBCBC EFAGABBGBCBC 例例题题 2、 如图， D是ABC的 BC边的中点， AE 平分BAC， AECE 于点 E， 且 AB =10， AC =16，则 DE的长度为_ 【分析】有 AE平分BAC，且 AEEC，套用模型 2，即可解决该题. 【解答】解：如图，延长 CE，AB交于点 F. AE 平
4、分BAC，AEEC FAE =CAE，AEF =AEC =90 在AFE和ACE中 EAFEAC AEAE AEFAEC AFE ACE（ASA） AF =AC =16，EF =EC， BF =6 又D是 BC 的中点，BD =CD DE 是CBF 的中位线 DE = 1 2 BF =3 故答案为：3. 例例题题 3、如图所示，在ABC 中，BC =6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，动点 P 在射 线 EF上， BP交 CE于 D， CBP 的平分线交 CE 于 Q， 当 CQ = 1 3 CE 时， EP+BP =_. 【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型 3，即可构造出等
5、腰三角形，结合相 似模型，即可解出答案. 【解答】解：如图，延长 BQ 交射线 EF 于点 M. E、F 分别是 AB、AC 的中点， EF/BC CBM =EMB BM平分ABC，ABM =CBM EMB =EBM，EB =EM EP +BP =EP +PM =EM CQ = 1 3 CE，EQ =2CQ 由 EF/BC 得，EMQCBQ 2 212 12 EMEQ EMBCEPBP BCCQ 【巩固练习】【巩固练习】 1、如图，AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OM =ON，移动角尺，使角尺 两边相同的刻度分别与 M，N 重合，过角尺顶点 C的射线 OC便是AOB的平分线
6、OC，做 法用得到三角形全等的判定定方法是（ ） A.SAS B.SSS C.ASA D.HL （第 1 题） （第 3 题） （第 4题） 2、三角形中到三边距离相等的点是（ ） A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点 C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点 3、如图，四边形 ABCD是平行四边形，BE 平分ABC，CF平分BCD，BE、CF 交于 G.若使 EF = 1 4 AD，那么平行四边形 ABCD应满足的条件是（ ） A.ABC =60 B.AB:BC =1：4 C.AB:BC =5：2 D.AB:BC =5：8 4、如图，ABC的周长为 26，点 D，E都在边 BC上
7、，ABC 的平分线垂直于 AE，垂 足为 Q，ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 P，若 BC =10，则 PQ的长为（ ） A. 3 2 B. 5 2 C.3 D.4 5、如图，在ABC中，C =90，AC =BC，AD平分BAC交 BC于点 D，DEAB 于点 E，若BDE的周长是 5cm，则 AB的长为 . （第 5 题） （第 6题） （第 7 题） 6、如图，已知 OB、OC 为ABC 的角平分线，DEBC 交 AB、AC 于 D、E，ADE 的周长为 15，BC 长为 7，则ABC的周长为 . 7、如图，在ABC中，点 D 在 BC 上，BM 平分ABD，BMAD，N是 AC的中点
8、， 连接 MN，若 AB =5，BC =8，则 MN = . 8、如图，ABC 中，AD是中线，AE是角平分线，CFAE 于 F，AB =5，AC =2，则 DF 的长为 . （第 8 题） （第 9 题） （第 10题） 9、如图，已知BAC 的平分线与 BC的垂直平分线相交于点 D，DEAB，DFAC， 垂足分别为 E、F，AB =6，AC =3，则 BE = . 10、如图所示，在四边形 ABCD 中，AD/BC，CE是BCD的平分线，且 CEAB， E 为垂足，BE =2AE，若四边形 AECD的面积为 1，则四边形 ABCD的面积为 . 11、如图，在O的内接四边形 ABCD中，AB
9、 =3，AD =5，BAD =60，点 C为弧 BD 的中点，则 AC 的长是 . （第 11题） （第 12 题） 12、已知：如图，AD、BE 分别是ABC 的中线和角平分线，ADBE，AD =BE =6， 则 AC的长等于 . 13、将弧 BC沿弦 BC折叠，交直径 AB于点 D，若 AD =8，DB =10，则 BC的长是 . （第 13题） 14、如图，F，G 是 OA上两点，M，N是 OB 上两点，且 FG =MN，SPFG =SPMN，试 问点 P是否在AOB的平分线上？ 15、已知：在ABC中，B的平分线和外角ACE 的平分线相交于 D，DG/BC，交 AC 于 F，交 AB于
10、 G，求证：GF =BGCF. 16、 在四边形 ABCD 中， ABC是钝角， ABC+ADC =180， 对角线 AC 平分BAD. （1）求证：BC =CD； （2）若 AB +AD =AC，求BCD 的度数； 17、如图，在ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边 AB 上，BDG 与四 边形 ACDG的周长相等，设 BC =a、AC =b、AB =c. （1）求线段 BG的长； （2）求证：DG 平分EDF. 18、如图，BAMN，垂足为 A，BA =4，点 P 是射线 AN 上的一个动点（点 P 与点 A 不重合），BPC =BPA，BCBP，过点 C作 CDMN，垂足
11、为 D，设 AP =x.CD 的长 度是否随着 x的变化而变化？若变化，请用含 x的代数式表示 CD的长度；若不变化，请求 出线段 CD的长度. 19、已知：平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点分别为 0（0，0）、A（5，0）、B （m，2）、C（m-5，2）. （1）问：是否存在这样的 m，使得在边 BC 上总存在点 P，使OPA =90？若存在， 求出 m的取值范围；若不存在，请说明理由. （2）当AOC 与OAB的平分线的交点 Q 在边 BC上时，求 m的值. 20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯 形”。如图 1，四边形 ABCD 即为“准
12、等腰梯形”。其中B=C。 （1）在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边 形 ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一 种示意图即可）； （2）如图 2，在“准等腰梯形”ABCD 中B=C，E 为边 BC 上一点，若 AB/DE， AE/DC，求证： ABBE DCEC ； （3）在由不平行于 BC 的直线 AD 截PBC 所得的四边形 ABCD 中，BAD 与ADC 的平分线交于点 E。若 EB=EC，请问当点 E在四边形 ABCD 内部时（即图 3 所示情形）， 四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若
13、点 E 不在四边形 ABCD 内部时，情况又 将如何？写出你的结论。（不必说明理由） 参考答案参考答案 1. 答案：B 2. 答案：D 3. 答案：D 4. 答案：C 5. 答案：5cm 6. 答案：22 7. 答案：1.5 8. 答案：1.5 9. 答案：1.5 10. 答案： 15 7 11. 答案： 8 3 3 12. 答案： 9 5 2 13. 答案：6 7 14.解：过点 P分别向 OA、OB作垂线， SPFG= 2 1 PGPE，SPMN= 2 1 MNPH，FG =MN PH=PE 点 P 在AOB 的平分线上. 15.证明：BD平分ABC，1 =2， DF/BC，2 =3， 1
14、=3，BF=DF. 同理：DE=CE. EF =DFDF, EF =BFCE. 16.解:(1)如图，过点 C作 CMAB，交 AB 的延长线于点 M;作 CNAD，垂足为 N， AC 平分DAB，CMCN 又ABC +ADC180，MBC +ADC180 NDCMBC，在NDC 与MBC中 CM=CN MBCNDC ，BMCDNC BC=DC (2)如图，延长 AB 到 B，使 BBAD AB+ADAC，ABAC 由(1)知ADCBBC;在ADC与BBC中 BEAD EBCADC BC=DC ADC EBC，故 ADEC 又AEAC，AEACEC 故ABC为等边三角形，CAB60; BAD1
15、20，BCD360-180-12060 即BCD60 17.解：（1）BDG与四边形 ACDG的周长相等， BD+BG+DGAC+CD+DG+AG D是 BC的中点 BDCD BG =AC +AG BG +(AC +AG)=AB +AC, BG = 2 1 （AB +AC)= 2 1 （b+c) (2)证明:点 D.F 分别是 BC、AB 的中点 DF 2 1 AC= 2 1 b，BF= 2 1 AB= 2 1 c 又FGBGBF = 2 1 （b+c)- 2 1 c = 2 1 b DF=FG FDGFGD 点 D.E 分别是 BC、AC的中点， DBAB，EDGFGD,FDGBDG,即 D
16、G 平分EDF 18.解：CD的长度不变 理由如下: 如图，延长 CB和 PA，记交点为点 Q BPC BPA，BCBP QBBC(等腰三角形“三合一的性质) BAMN，CDMM ABCD， QAB QDC AB/CD=QB/QC=1/2 CD2AB248 即 CD8; 19.解：(1)存在. O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m-5，2). OABC5，BCOA， 以 OA为直径作 D，与直线 BC分別交于点 E.F 则OEAOFA90，如图 1 作 DGEF于 G，连 DB，则 DBOD2.5，DG2，EG=GF DE= 22 DGDE =1.5 E(1,2),F(4,2),
17、当 1 45 m m ，即 1m9 时，边 BC 上总存在这样的点 P，使OPA90; (2)如图 2， BCOA5，BCOA 四边形 OABC是平行四边形 OCAB， AOC +OAB180， OQ平分AOC，AQ 平分OAB， AOQ0.5AOC，OAQ0.5OAB， AOQ +OAQ90 AQO90， 以 OA为直径作 D，与直线 BC分別交于点 E.F， 则OEAOFA90， 点 Q只能是点 E或点 F， 当 Q 在 F点时，OF、AF分别是AOC与 OAB的平分线，BCOA CFOFOAFOC，BFAFAOFAB，CFOC，BFAB 而 OCAB， CFBF，即 F是 BC 的中点。
18、 而 F 点为(4，2)， 此时 m的值为 6.5， 当在 E点时，同理可求得此时 m的值为 3.5， 综上所述，m的值为 3.5或 6.5. 20.解：（1）如图，过点 D作 DE/BC交 PB于点 E，则四边形 ABCD分割成一个等腰梯形 BCDE 和一个三角形 ADE； （2）AB DE，BDEC ；AEDC，AEBC ；BC ，BAEB； ABAE.在ABE 和DEC 中， BDEC AEBC ，ABEDEC， BEAE ECDC ， ABBE DCEC . （3）作 EFAB于 F，EGAD于 G，BHCD 于 H，BFECHE90 AE 平分BAD，DE平分ADC，EF=EG=EH
19、， 在 RtEFB和 RtEHC中，BE=CE，EF= EH， RtEFBRtEHC(HL)34. BE=CE，1=2. 1+32+4， 即ABCDCB， 四边形 ABCD为 AD 截某三角形所得，且 AD不平行 BC， 四边形 ABCD是“准等腰梯形”。 当点 E不在四边形 ABCD的内部时，有两种情况： 如图，当点 E 在 BC 边上时， 同理可以证明EFBEHC，BC，四边形 ABCD 是“准等腰梯形” 当点 B在四边形 ABCD的外部时，四边形 ABCD不一定是“准等腰梯形”。 分两种情况： 情况一：当BED的角平分线与线段 BC的垂直平分线重合时，四边形 ABCD为“准等腰梯 形”； 情况二：当BED的角平分线与线段 BC的垂直平分线相交时，四边形 ABCD不是“准等腰 梯形.