1、第第 3 讲讲 几何模型之双子型几何模型之双子型 模型讲解模型讲解 【双等边类型】【双等边类型】 BCDACE ABDACE BOECOF 【双等腰直角类型】 BCDACE BCEDCF ABDACE 【一般情况】 基本条件:ABCEDC，连接 AE、BD 后,有AECBDC，相似比为 AC 边与 BC 边之比。 可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1、 (直接用双子)如图， 直角坐标系中， 点 A 的坐标为(1,0),以线段 OA 为边在第四象限内作等边AOB, 点 C 为 x 正半轴上一动点(OC1),连接 BC，以线段 BC
2、为边在第四象限内作等边CBD,直线 DA 交 y 轴 于点 E (1)OBC 与ABD 全等吗？判断并证明你的结论； (2)着点 C 位置的变化，点 E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点 E 的坐标；若有变化，请说明 理由 A O E D CB A BCD E O F E D CB A O E D C A B O G F E D C B A E DCB A E D CB A 解：全等 理由：AOB 和CBD 是等边三角形， OBAB，OBAOAB60，BCBD，CBD60， OBAABCCBDABC，即OBCABD， 在OBC 和ABD 中， ， OBCABD（SAS） 不变 理由：O
3、BCABD， BADBOC60， 又OAB60， OAE180OABBAD60， RtOEA 中，AE2OA2， OE， 点 E 的位置不会发生变化，E 的坐标为 E（0，） 例题例题 2、如图,ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,BACDAE90,ABAC2，O 为 AC 中点，若 点 D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动过程中，线段 OE 的最小值是为（ ） A1 2 B 2 2 C1 D 2 解：设 Q 是 AB 的中点，连接 DQ， y x E D C B A O OE DCB A BACDAE90， BACDACDAEDAC， 即BADCAE， ABAC2，O 为
4、 AC 中点， AQAO， 在AQD 和AOE 中， ， AQDAOE（SAS） ， QDOE， 点 D 在直线 BC 上运动， 当 QDBC 时，QD 最小， ABC 是等腰直角三角形， B45， QDBC， QBD 是等腰直角三角形， QDQB， QBAB1， QD， 线段 OE 的最小值是为 故选：B 例题例题 3、如图 1，在 RtABC 中，B90,cosC5 6,点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接 DE，将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 当 0360时, AE BD的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明 （图 1） （图 2） 当 0360时，的
5、大小没有变化， ECDACB， ECADCB， 又， ECADCB， ； 【巩固练习】【巩固练习】 1 如图所示， 已知ABC 和BDE 均为等边三角形， 连接 AD、 CE， 若BAD39,那么ACE_ 2.如图,ABC 为等边三角形,AB2,点 D 为 BC 边上的动点,连接 AD,以 AD 为一边向右作等边ADE,连接 CE (1)在点 D 从点 B 运动到点 C 的过程中,点 E 运动的路径长为_; 2)在点 D 的运动过程中,是否存在DEC60,若存在,求出 BD 的长,若不存在,请说明理由. (3)取 AC 中点 P,连接 PE,在点 D 的运动过程中,求 PE 的最小值. E D
6、 C B A A B C D E E D C B A 3.在锐角ABC 中，AB4,BC5,ACB45,将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1 （1）如图 1，当点C1在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1的度数； （2）如图 2，连接AA1,CC1若ABA1的面积为 4，求CBC1的面积； 图 1 图 2 4.【提出问题】 （1）如图 1，在等边ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C） ，连结 AM，以 AM 为边作 等边AMN,连结 CN求证：BMCN 【类比探究】 （2）如图 2，在等边ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C）
7、 ，其它条件不变,(1)中结 论 BMCN 还成立吗？请说明理由 【拓展延伸】 （3）如图 3，在等腰ABC 中，BABC,AB6,AC4，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C） ，连 结 AM，以 AM 为边作等腰AMN,使顶角AMNABC连结 CN试探究 BM 与 CN 的数量关系，并 说明理由 图 1 图 2 图 3 5.如图，正方形 ABCD、BGFE 边长分别为 2、1，正方形 BGFE 绕点 B 旋转，直线 AE、GC 相交于点 H （1）在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中,AHC 的大小是否始终为 90,请说明理由； （2）连接 DH、BH，在正方形 BGFE
8、绕点 B 旋转过程中，求 DH 的最大值； E D CB A C1 A1 CB A B C A A1 C1 A BCM N N M CB A N MCB A 备用图 6.如图 1，已知点 A(0,3)和 x 轴上的动点 C(m,0),AOB 和BCD 都是等边三角形 （1）在 C 点运动的过程中，始终有两点的距离等于 OC 的长度，请将它找出来，并说明理由 （2）如图 2，将BCD 沿 CD 翻折得ECD,当点 C 在 x 轴上运动时，设点 E(x,y),请你用 m 来表示点 E 的 坐标并求出点 E 运动时所在图象的解析式 （3）在 C 点运动的过程中，当m 3时，直接写出ABD 是等腰三角
9、形时 E 点的坐标 图 1 图 2 【旋转构造双子型】【旋转构造双子型】 此类图的特点在于图形的不完整。 一且补全图形,答案即可解出,而方法不仅仅是构造,亦可用旋转,构造与旋 转本就可互相代替,但我们常常选用旋转来解决!不过本专题打算用构造的思路去解决!面转的方法读者可 自行尝试,图是一样的！ 【例题讲解】【例题讲解】 H G F E D C B A y xO A B C D y xO A B C D 例题例题 4如图所示，在四边形 ABCD 中，AD3,CD2,ABCACBADC45,则 BD 的长为 _ 解：作 ADAD，ADAD，连接 CD，DD，如图： BACCADDADCAD， 即B
10、ADCAD， 在BAD 与CAD中， ， BADCAD（SAS） ， BDCD，DAD90， 由勾股定理得 DD3，DDAADC90， 由勾股定理得 CD， BDCD 故答案为： 【杂说】 若用旋转,只需将ADB 绕点 A 顺时针旋转 90,连接 DD,再证明ADD 是等腰直角三角形即可。 例题例题 5.如图， 在ABC 中,ABC60,AB2 3,BC8， 以 AC 为腰， 点 A 为顶点作等腰ACD,且DAC 120,则 BD 的长为_. D CB A 解：以 A 为旋转中心，把BAC 逆时针旋转 120，得到EAD，连接 BE，作 APBE 于 P， 则BAE120，ABAE， ABEA
11、EB30， BPABcosABP3，AEB90， BE2BP6， 在 RtBED 中，BD10， 故答案为：10 【巩固练习巩固练习】 1 【问题探究】 （1）如图 1，锐角ABC 中分别以 AB、AC 为边向外作等腰ABE 和等腰ACD,使 AEAB,ADAC, BAECAD,连接 BD,CE,试猜想 BD 与 CE 的大小关系，并说明理由 【深入探究】 （2）如图 2，四边形 ABCD 中，AB7cm,BC3cm,ABCACDADC45,求 BD 的长 （3）如图 3，在（2）的条件下，当ACD 在线段 AC 的左侧时，求 BD 的长 图 1 图 2 图 3 2.(1)如图 1，已知ABC
12、,以 AB、AC 为边分别向ABC 外作等边ABD 和等边ACE,连接 BE、CD，请你 完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ，并证明：BECD； （2）如图 2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形 ABCD 中，AD3,BD2,ABCACB E D CB A D A CBBC A D ADB45,求 BD 的长； （3）如图 3，四边形 ABCD 中,BAC90,ADBABC,tan4 3,BD5,AD12，求 BD 的长 图 1 图 2 图 3 CB A A BC D D CB A 参考答案参考答案 1.解：ABC 和BDE 均为等边三角形， ABCDBE60，ABBC，B
13、EBD， CBD60， ABDCBE120， 在ABD 和CBE 中， ABDCBE， （SAS） AECADB， ADB180ABDBAD21， AEC21，ACE99，故答案为：99 2.解： (1)ABDACE 可得 BD=CE,E 的运动路径的长即 D 的运动路径长，BC=2. (2)DEC60相当于AEC=ADB=120，即EDC=0,此时点 D 与点 B 重合.因此不存在. (3)ACE=60,当 PECE 时取最小值.PE=PCcos60=1 2. 3.解： （1）由旋转的性质可得：A1C1BACB45，BCBC1， CC1BC1CB45， CC1A1CC1BA1C1B45459
14、0 （2）ABCA1BC1， BABA1，BCBC1，ABCA1BC1， ，ABCABC1A1BC1ABC1， E D CB A F E D CB A P ABA1CBC1， ABA1CBC1 ， SABA14， SCBC1； 4.（1）证明：ABC、AMN 是等边三角形， ABAC，AMAN，BACMAN60， BAMCAN， 在BAM 和CAN 中， BAMCAN（SAS） ， ABCACN （2）解：结论ABCACN 仍成立； 理由如下：ABC、AMN 是等边三角形， ABAC，AMAN，BACMAN60， BAMCAN， 在BAM 和CAN 中， BAMCAN（SAS） ， ABCAC
15、N （3）解：ABCACN； 理由如下：BABC，MAMN，顶角ABCAMN， 底角BACMAN， ABCAMN， ， 又BAMBACMAC，CANMANMAC， BAMCAN， BAMCAN， ABCACN 5.解： （1）是，理由如下： 如图，由旋转知，ABECBG， 在正方形 ABCD，BGFE 中， ABBC，BEBG，ADCBCDBADABC90， ABECBG， BAEBCG， 记 AH 与 BC 的交点为点 P， APBCPH，ABCBAEAPB180 AHCBCGCPH180， AHCABC90， （2）DHDE+EG=BD=2 2 6.解： （1）连接 AD，如图 1 所示
16、A、D 两点间的距离始终等于 OC 的长度理由如下： AOB 和BCD 都是等边三角形， ABOB，BDBC，ABOCBD60， ABDABOOBD，OBCOBDDBC， ABDOBC 在ABD 和OBC 中，有， ABDOBC（SAS） ， ADOC （2）过 D 作 DFy 轴于 F，连接 BE，如图 2 所示 由（1）可知ABDOBC， ADOCm，DAFBAOBAD60（9060）30 DFADsinDAFm，AFADcosDAFm， A（0，3） ， D（m，m3） 将BCD 沿 CD 翻折得ECD 且BCD 是等边三角形， 四边形 BCED 是菱形， BE、CD 互相平分 AOB
17、是等边三角形，且点 O（0，0） ，点 A（0，3） ， 点 B（，） ， E（m，m） m（m） ， 点 E 在图形 yx 上运动 （3）点 A（0，3） ，点 B（，） ，点 D（m，m3） ， AB3，ADm，BD， ABD 为等腰三角形分三种情况： 当 ABAD 时，有 3m， 此时点 E 的坐标为（，） ； 当 ABBD 时，有 3， 解得：m0（舍去） ，或 m3， 此时点 E 的坐标为（3，3） ； 当 ADBD 时，有 m， 解得：m（舍去） 综上可知： 在 C 点运动的过程中， 当 m时，ABD 是等腰三角形时 E 点的坐标为 （， ）或（3，3） 1.解： （1）BDCE
18、理由是：BAECAD， BAEBACCADBAC，即EACBAD， 在EAC 和BAD 中， ， EACBAD， BDCE； （2）如图 2，在ABC 的外部，以 A 为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE90，AEAB，连接 EA、EB、EC ACDADC45， ACAD，CAD90， BAEBACCADBAC，即EACBAD， 在EAC 和BAD 中， ， EACBAD， BDCE AEAB7， BE7，ABEAEB45， 又ABC45， ABCABE454590， EC， BDCE （3）如图 3，在线段 AC 的右侧过点 A 作 AEAB 于点 A，交 BC 的延长线于点 E，连接 BE
19、 AEAB， BAE90， 又ABC45， EABC45， AEAB7，BE7， 又ACDADC45， BAEDAC90， BAEBACDACBAC，即EACBAD， 在EAC 和BAD 中， ， EACBAD， BDCE， BC3， BDCE（73）cm 2.解： （1）如图 1，分别以点 A、B 为圆心，以 AB 为半径画弧，交于点 D，连接 AD、BD，再分别以 A、 C 为圆心，以 AC 为半径画弧，交于点 E，连接 AE、CE，则ABD、ACE 就是所求作的等边三角形； 证明：如图 1，ABD 和ACE 都是等边三角形， ADAB，ACAE，DABEAC60， DACBAE， DAC
20、BAE（SAS） ， BECD； （2）如图 2，过 A 作 AEAD，使 ADAE3，连接 DE、CE， 由勾股定理得：DE3， EDA45， ADC45， EDCEDAADC90， ACBABC45， CAB90， CABDACEADDAC， 即EACDAB， AEAD，ACAB， DABEAC（SAS） ， ECBD， 在 RtDCE 中，EC， BDEC； （3）如图 3，作直角三角形 DAE，使得DAE90， DEAACB，连接 EC， 容易得到DAEBAC， ，即， DAEBAC90， DAEDACBACDAC，即EACDAB， EACDAB， ， 在DCE 中，ADCACB， EDAABC， EDC90， ，AD12， AE9，DAE90， DE15， CE5， 由EACDAB， BD