1、第第 4 4 讲讲 几何模型之“几何模型之“K”字型”字型 模型讲解模型讲解 直角型 锐角型 钝角型 【例题讲解】【例题讲解】 ( (直接“直接“K”字型”字型) ) 例题例题 1、 (1)问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点,DPCAB90,求证：AD BCAPBP; （2）探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当DPCAB时，上述结论是 否依然成立？说明理由 （3）应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题： 如图 3，在ABD 中，AB6,ADBD5，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向 点 B 运动
2、，且满足CPDA，设点 P 的运动时间为 t（秒） ，当 DC4BC 时，求 t 的值 解： （1）如图 1， 图 1 DPCAB90， ADPAPD90， BPCAPD90， ADPBPC， ADPBPC， ， P D C BA ADBCAPBP； （2）结论 ADBCAPBP 仍然成立 理由：如图 2， 图 2 BPDDPCBPC，BPDAADP， DPCBPCAADP DPCAB， BPCADP， ADPBPC， ， ADBCAPBP； （3）如图 3， 图 3 DC4BC， 又ADBD5， DC4，BC1， ，由（1） 、 （2）的经验可知 ADBCAPBP， 51t（6t） ， 解得
3、：t11，t25， t 的值为 1 秒或 5 秒 例题例题 2、如图,在等边ABC 中,将ABC 沿着 MN 折叠。使点 A 落在边 BC 上的点 D 处。 P D C BA P D C BA (1)若 AB4,当BMD 为直角三角形时,求 AM 的长。 (2)当 BD:CD1:3 时,求 AM:AN 的值。 解：(1)如图 1，设 BMk,AMDM 3k.可得方程 k 3k4,得 k22 3,得 AM2（3 3）. 同理，如图 2，可求得 AM8 312. (2)如图 3，设 BDm,CD3m,可得BDM 与CDN 的周长比即相似比为 5：7.可得 AM：ANDM： DN5：7. 图 1 图
4、 2 图 3 【巩固练习】【巩固练习】 1.如图，已知ABC 和ADE 均为等边三角形，D 在 BC 上，DE 与 AC 相交于点 F,AB9,BD3，则 CF 等于（ ） A1 B2 C3 D4 2.如图坐标系中，O(0，0)，A（6，63） ，B（12，0） ，将OAB 沿直线线 CD 折叠，使点 A 恰好落在 线段 OB 上的点 E 处，若 OE 5 24 ，则 CE：DE 的值是_ N M DCB A 3k 3k k A BC D M N 3k 3k2k A BCD M N 3m m A BCD M N F E D CB A 3.正方形 ABCD 边长为 4,M、N 分别是 BC、CD
5、 上的两个动点,当 M 点在 BC 上运动时,保持 AMMN. (1)设 BMx,CNy,求 y 与 x 之间的函数关系式. (2)在点 M,N 运动的过程中,求 CN 的最小值. 4如图，在平面直角坐标系中，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，四边形 ABCO 为矩形，AB16，点 D 与 点 A 关于 y 轴对称,tanACB4 3,CDECAO,点 E、 F 分别是线段 AD、 AC 上的动点 （点 E 不与点 A、 D 重合） ，且CEFACB （1）求 AC 的长和点 D 的坐标； （2）证明：AEFDCE; （3）当EFC 为等腰三角形时，求点 E 的坐标 x y O A B C
6、 D E N M D C B A x y O F E D CB A 5.如图 等腰直角三角形 ABC 中， A90,P 为 BC 的中点， 小明拿着含 45角的透明三角形， 使 45 角的顶点落在点 P，且绕 P 旋转 （1）如图：当三角板的两边分别 AB、AC 交于 E、F 点时，试说明BPECFP （2）将三角板绕点 P 旋转到图，三角板两边分别交 BA 延长线和边 AC 于点 EF 探究 1：BPE 与CFP还相似吗？（只需写结论） 探究 2：连接 EF,BPE 与EFP 是否相似？请说明理由 图 图 6.如图，一条抛物线经过原点和点 C(8,0),A、B 是该抛物线上的两点,ABx 轴
7、，OA5,AB2点 E 在 线段 OC 上，作MENAOC,使MEN 的一边始终经过点 A，另一边交线段 BC 于点 F，连接 AF （1）求抛物线的解析式； （2）当点 F 是 BC 的中点时，求点 E 的坐标； （3）当AEF 是等腰三角形时，求点 E 的坐标 7.【试题再现】如图 1,RtABC 中,ACB90,ACBC，直线 l 过点 C，过点 A、B 分别作 ADl 于 点 D,BEl 于点 E，则 DEADBE(不用证明） （1） 【类比探究】如图 2，在ABC 中，ACBC，且ACBADCBEC100,上述结论是否成 立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论
8、（2） 【拓展延伸】如图 3，在ABC 中，ACnBC,且ACBADCBEC100,猜想线段 DE、 AD、BE 之间有什么数量关系？并证明你的猜想 P F E CB A A BC E F P x y C N M F E O BA 若图 1 的 RtABC 中,ACB90,ACnBC,并将直线 l 绕点 C 旋转一定角度后与斜边 AB 相交，分 别过点 A、B 作直线 l 的垂线，垂足分别为点 D 和点 E，请在备用图上画出图形，并直接写出线段 DE、 AD、BE 之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程） 图 1 图 2 图 3 备用图 【例题讲解】【例题讲解】( (构造“构造“K”字型”
9、字型) ) 基本构造方法 l EDC B A E D C B A l l E D C BA C BA EDC A B x y E DA O C B 例题例题 1.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为(4,8), 将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E，那么点 D 的坐标为_. 解：如图，过 D 作 DFx 轴于 F， 点 B 的坐标为（4，8） ， AO4，AB8， 根据折叠可知：CDOA， 而DAOE90，DECAEO， CDEAOE， OEDE，OACD4， 设 OEx，那么 C
10、E8x，DEx， 在 RtDCE 中，CE2DE2CD2， （8x）2x242， x3， 又 DFAF， DFEO， AEOADF， 而 ADAB8， AECE835， ， y x O y xO E D C B A 即， DF，AF， OF4， D 的坐标为（，） 故答案是： （，） 例题例题 2.如图，矩形 ABCD 中，AB2AD,点 A(0,1),点 C、D 在反比例函数 yk x(k0)的图象上，AB 与 x 轴的正半轴相交于点 E，若 E 为 AB 的中点，则 k 的值为_ 解：如图，作 DFy 轴于 F，过 B 点作 x 轴的平行线与过 C 点垂直与 x 轴的直线交于 G，CG 交
11、 x 轴 于 K，作 BHx 轴于 H， 四边形 ABCD 是矩形， BAD90， DAFOAE90， AEOOAE90， DAFAEO， AB2AD，E 为 AB 的中点， ADAE， y x D C B E A O 在ADF 和EAO 中， ADFEAO（AAS） ， DFOA1，AFOE， D（1，k） ， AFk1， 同理；AOEBHE，ADFCBG， BHBGDFOA1，EHCGOEAFk1， OK2（k1）12k1，CKk2 C（2k1，k2） ， （2k1） （k2）1k， 解得 k1，k2， k10， k 故答案是： 例题例题 3、如图,直线 abc,a 与 b 之间的距离为
12、3,b 与 c 之间的距离为 6,a、b、c 分别经过等边三角形 ABC 的三个顶点,则三角形的边长为_. 简解：构造BDC=AEC=60，可得BCDCAE.可求得 AC=2 21. C B A c b a 例题例题 4、如图，抛物线 yx24x3与坐标轴交与 A、B、C 三点，点 M 在线段 BC 上，将线段 OM 绕 O 点逆时针旋转 90 ,点 M 的对应点 N 恰好落在第一象限的抛物线上，求 N 点的坐标 简解：A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）.直线 BC：yx3. 设 M（t，t3）.则 N（3t，t）.代入函数关系式可求得 t0 或 1.得 N（2，1）. 【巩固练习】
13、【巩固练习】 1、如图，直线l1l2l3，等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，ACB90，AC 交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则ABC的面积为_. 2如图，边长为5 4的正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数 y k x(x0)的图象上，已知 点 B 的坐标是 3 4, 9 4 ,则 k 的值为（ ） A27 16 B 27 8 C4 D6 33 3 2 3 4 3 a b c A B C 9 D E F G 6 C BA O y x l3 l2 l1 D C B A 3.如图，AB4，射线 BM 和 A
14、B 互相垂直，点 D 是 AB 上的一个动点，点 E 在射线 BM 上，BE1 2DB,作 EFDE 并截取 EFDE，连结 AF 并延长交射线 BM 于点 C设 BEx,BCy，则 y 关于 x 的函数解析 式是（ ） Ay 12x x4 By 2x x1 Cy 3x x1 Dy 8x x4 4如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标(2,1),点 C 的纵坐标是 4，则 B、C 两点的坐标分别是（ ） A 7 4, 7 2 、 1 2,4 B 3 2,3 、 2 3,4 C 3 2,3 、 1 2,4 D 7 4, 7 2 、 2 3,4 5如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边
15、 AB 所在直线的解析式为 ykx2,顶点 C、D 在反比例 函数 ym x(m0)的图象上，若 tanADB2则点 D 的坐标为_ O y x D C B A M F E D CB A y x C B A O 6、已知抛物线ymx23mx4m与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当ACB90 时， （1）求抛物线解析式； （2）当抛物线开口向下时，在第一象限的抛物线上有一点P，横坐标为a，当BPC90 时，求 a 的值. 7.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线” ，抛物线C1：y12x24x2与C2：y2 x2mxn为“友好抛物线” （1）求抛物线C2的解析式
16、（2）点 A 是抛物线C2上在第一象限的动点，过 A 作 AQx 轴，Q 为垂足，求 AQOQ 的最大值 （3）设抛物线C2的顶点为 C，点 B 的坐标为(1,4),问在C2的对称轴上是否存在点 M，使线段 MB 绕点 M 逆时针旋转 90得到线段 MB,且点 B恰好落在抛物线C2上？若存在求出点 M 的坐标，不存在说明 理由 8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线BC 的解析式为ykx3. （1）求抛物线和直线BC的解析式； D C B A O AB y x C O AB y x C O （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得CBP9
17、0 ，求P点坐标； （3）若点 Q 是第一象限的抛物线上一动点，当CQB90 时，求 Q 点的坐标. 9.小明是一个喜欢探究钻研的学生，他在和同学们一起研究某条抛物线 yax2（a0）的性质时，将一把 直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O，两直角边与该抛物线交于 A、B 两点，请解答以 下问题： 图 1 图 2 （1）小明测得 OAOB4（如图 1） ，求 a 的值； （2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BFx 轴于点 F，测 得 OF2，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标； （3）对该抛物线，小明将三角板绕点 O 旋转任意
18、角度时惊奇地发现，交点 A、B 的连线段总经过一个 固定的点，试说明理由并求出该点的坐标 y xO C BA y x BA O FE y x A B O 参考答案参考答案 1.解：如图，ABC 和ADE 均为等边三角形， BBAC60， BADADB120，ADBFDC120 BADFDC 又BC60， ABDCDF， AB：BDCD：CF， 即 9：3（93） ：CF， CF2 2.解：过 A 作 AFOB 于 F， A（6，6） ，B（12，0） ， AF6，OF6，OB12， BF6， OFBF， AOAB， tanAOB， AOB60， AOB 是等边三角形， AOBABO60， 将O
19、AB 沿直线线 CD 折叠，使点 A 恰好落在线段 OB 上的点 E 处， CEDOAB60， OCEDEB， CEODBE， ， 设 CEa，则 CAa，CO12a，EDb，则 ADb，DB12b， ， 24b60a5ab， ， 36a60b5ab， 得：36a24b60b60a， ， 即 CE：DE 故答案为： 3.解： （1）证明：四边形 ABCD 为正方形， BC90， 又AMMN， AMN90， AMBNMC90， 而AMBBAM90， BAMNMC， RtABMRtMCN， （2）解：RtABMRtMCN， AB：MCBM：NC， 而 AB4，BMx，MC4x， 4： （4x）x：
20、NC， NC， y（NCAB） BC （4）4 x22x8 4.解： （1）由题意 tanACB， cosACB， 四边形 ABCO 为矩形，AB16， BC12，AC20， A（12，0） ， 点 D 与点 A 关于 y 轴对称， D（12，0） ； （2）点 D 与点 A 关于 y 轴对称， CDECAO， CEFACB，ACBCAO， CDECEF， 又AECAEFCEFCDEDCE， AEFDCE， AEFDCE； （3）当EFC 为等腰三角形时，有以下三种情况： 当 CEEF 时， AEFDCE， AEFDCE， AECD20， OEAEOA20128， E（8，0） ； 当 EFF
21、C 时，过点 F 作 FMCE 于 M，则点 M 为 CE 中点， CE2ME2EFcosCEF2EFcosACBEF， AEFDCE， ，即， AE， DEAEOA12， E（，0） ； 当 CECF 时，则有CFECEF， CEFACBCAO， CFECAO，即此时点 E 与点 D 重合，这与已知条件矛盾， 综上所述，E（8，0）或（，0） 5.（1）证明：在ABC 中，BAC90，ABAC， BC45 BBPEBEP180， BPEBEP135， EPF45， 又BPEEPFCPF180， BPECPF135， BEPCPF， 又BC， BPECFP（两角对应相等的两个三角形相似） （2
22、）探究 1：BPE 与CFP 还相似， 探究 2：证明：连接 EF，BPE 与CFP 相似， BPECFP， ， 又CPBP， ， ， 又BEPF， BEPPEF 6.解： （1）如图， 该抛物线经过原点和点 C（8，0） ， 设该抛物线的解析式为：yax（x8） （a0） 点 C（8，0） ， 该抛物线的对称轴是 x4 AB2，ABx 轴， 设 A（3，t） ，B（5，t） ， 又OA5， t4，即 A（3，4） ，B（5，4） ， 把点 A 的坐标代入解析式，得 43a（38） ，解得 a， 该抛物线的解析式是：yx（x8） （或 yx2x） ； （2）ABx 轴， 根据抛物线的对称性知
23、OACB5，AOCBCO， 点 F 是 BC 的中点， CF MENAOC，即AEFAOC，AECAEFCEFAOCOAE， CEFOAE， AOEECF， ，即， 解得，OE，或 OE， 则 E（，0） ； （3）当 AEEF 时，可证AOEECF 则 OACE5， OE3，则 E（3，0） ； 当 AFEF 时，过点 F 作 FKAO 易证ABFFKE，求得 OE，则 E（，0） ； 当 AEAF 时，在 AO 上取点 Q，使得 EQOE 易证ABFEQA，则 EQAB2， OE2则 E（2，0） ； 综上所述，点 E 的坐标是： （3，0） 、 （，0）或（2，0）时，AEF 是等腰三角
24、形 7.解： （1） 【类比探究】猜想 DEADBE 理由：如图 2， ADC100， DACDCA80 ACB100， DCAECB80， DACECB 在ACD 和CBE 中， ， ACDCBE， ADCE，CDBE， DEADBE； （2） 【拓展延伸】猜想：DEADnBE 理由：如图 3， ADC100， DACDCA80 ACB100， DCAECB80， DACECB ADCCEB， ADCCEB， n， CEAD，CDnBE， DEDCCEADnBE； DEADnBE 或 DEnBEAD 提示：同可得：CEAD，CDnBE 如图 4， DECECDADnBE； 如图 5， DEC
25、DDEnBEAD 1.简解：构造一对直角三角形全等，可得 BCAC5. 2.解：如图，作 DEOA 于 E，BFOA 于 F， 四边形 ABCD 是正方形， ADAB，DAB90， 5 4 34 3 l3 l2 l1 D C B A EADFAB90，FABABF90， EADABF， 在ADE 和BAF 中， ， ADEBAF， AFED，AEBF， B 点坐标（，） ，AB， OF，AFDE1 OE4，点 D 坐标（1，4） ， k4 故选：C 3.解：作 FGBC 于 G， DEBFEC90，DEBBDE90； BDEFEG， 在DBE 与EGF 中 DBEEGF， EGDB，FGBEx
26、， EGDB2BE2x， GCy3x， FGBC，ABBC， FGAB， CG：BCFG：AB， 即， y 故选：A 4.解：如图过点 A、B 作 x 轴的垂线垂足分别为 F、M过点 C 作 y 轴的垂线交 FA、 点 A 坐标（2，1） ，点 C 纵坐标为 4， AF1，FO2，AE3， EACOAF90，OAFAOF90， EACAOF， EAFO90， AECOFA， ， EC，点 C 坐标（，4） ， AOFBCN，AECBMO， CN2，BN1，BMMNBN3，BMAE3，OMEC， 点 B 坐标（，3） ， 5.解：过点 D 作 DEy 轴于 E，过点 C 作 CFx 轴，如图所示
27、 点 A、B 是直线 ykx2 分别与 y 轴、x 轴的交点， A（0，2） ，B（，0） ， OA2，OB 四边形 ABCD 是矩形， A90，ADBC tanADB2， 2，2 DEAAOB90，EADABO90OAB， AEDBOA， ， ED1，AE， 点 D（1，2） 同理：点 C（1，） 点 C、D 都在反比例函数 y（m0）的图象上， 1（2）（1） （） ， k1 k0， k1， 点 D 的坐标为（1，3） 6.解： （1）A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4m）.利用 AOBOCO2列方程可得 m1 2 b 4-a b-2 a P MN (2)构造基本图形， 设 P （
28、a,b） ， 其中 b=1 2(a 2-3a-4),CM=b-2,BN=b,PN=4-a， NP=4-a.可得方程 a(4-a)=b(b-2) 即，a(4-a)= 1 2(a-4)（a+1)( 1 2a 2+3 2a),得 a=3(-1,0,3 舍去) 7.解： （1）y12x24x22（x1）24， 抛物线 C1的顶点坐标为（1，4） 抛物线 C1与 C2顶点相同， 1，1mn4 解得：m2，n3 抛物线 C2的解析式为 y2x22x3 （2）如图 1 所示： 设点 A 的坐标为（a，a22a3） AQa22a3，OQa， AQOQa22a3aa23a3（a）2 当 a时，AQOQ 有最大值
29、，最大值为 （3）如图 2 所示；连接 BC，过点 B作 BDCM，垂足为 D B（1，4） ，C（1，4） ，抛物线的对称轴为 x1， BCCM，BC2 BMB90， BMCBMD90 BDMC MBDBMD90 MBDBMC 在BCM 和MDB中， BCMMDB BCMD，CMBD 设点 M 的坐标为（1，a） 则 BDCM4a，MDCB2 点 B的坐标为（a3，a2） （a3）22（a3）3a2 整理得：a27a100 解得 a2，或 a5 当 a2 时，M 的坐标为（1，2） ， 当 a5 时，M 的坐标为（1，5） 综上所述当点 M 的坐标为（1，2）或（1，5）时，B恰好落在抛物线
30、 C2上 8.解： (1)C（0，3）,抛物线为 y=(x+1)(x3)=x2+2x+3. Q M N (2)直线 BC 为 y=x+3,取 BC 的中点 M（3 2, 3 2）MP=1/2BC=3/2 2,得 P（ 3 2, 3 2 3 2 2） (3)设 Q（a,b）则类似第 6 题，可得 Q 1 5 2 ,5 5 2 9.解： （1）设线段 AB 与 y 轴的交点为 C，由抛物线的对称性可得 C 为 AB 中点， OAOB4，AOB90， ACOCBC4， B（4，4） ， 将 B（4，4）代入抛物线 yax2（a0）得，a （2）过点 A 作 AEx 轴于点 E， 点 B 的横坐标为
31、2， B （2，1） ， 设 A（m，m 2） （m0） ，则 OB222125，OA2m2m4，AB2（2m）2（1m2）2， AOB90， AB2OA2OB2， （2m）2（1m2）2m2m45， 解得：m0（不合题意舍去）或 m8，即点 A 的横坐标为8 （3）设 A（m，m 2） （m0） ，B（n，n 2） （n0） ， 设直线 AB 的解析式为：ykxb，则， nm 得， （mn）b（m2nmn2）mn（mn） ， bmn， 由前可知，OB2n2n4，OA2m2m4，AB2（nm）2（m2n2）2， 由 AB2OA2OB2，得：n2n4m2m4（nm）2（m2n2）2， 化简，得 mn16 b164由此可知不论 k 为何值，直线 AB 恒过点（0，4）