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中考培优竞赛专题经典讲义 第13讲 反比例函数与面积

1、第第 1 13 3 讲讲 反比例与面积反比例与面积 模型讲解模型讲解 SPOQ=S梯形PABQ SPBO=SPBA= 1 2 k SPAB=SPAB= 1 2 k S矩形ABCD=k Q y xO P BA y xO P B AA B P Ox y PA=BQ AB/PQ PA=BQ Q P B A Ox y Q P B A Ox y Q A B P Ox y 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1、如图,直线 x=k(k0)与反比例函数 y= 2 x 和 y=- 1 x 一的图像分别交于 A、B两点,若点 P是 y轴 上任意一点,连接 PA、PB,则PAB 的面积是 . x=k y x B

2、A O P 答案: 3 2 例题例题 2、如图,经过原点的两条直线 l1、l2,分别与双曲线 y= k x (k0)相交于 A、B、P、Q四点,其中 A、 P 两点在第一象限,设 A点坐标为(3,1). (1)求 k值及 B 点坐标; (2)若 P 点坐标为(a,3) ,求 a值及四边形 APBQ的面积. l2 l1 y xO Q P B A 答案:(1)把 A(3,1)代入 y= k x 得 k=3 1=3,经过原点的直线 l1与双曲线 y= k x (k0)相交于 A、B.点 A与 点 B 关于原点对称,B点坐标为(3,1); (2)把 P(a,3)代入 y= 3 x 得 3a=3,解得

3、a=1,P 点坐标为(1,3),经过原点的直线 l2与双曲线 y= k x (k0)相 交于 P、 Q点, 点 P 与点 Q关于原点对称, 点 Q的坐标为(1,3), OA=OB, OP=OQ, 四边形 APBQ 为平行四边形,AB2=(3+3)2+(1+1)2=40,PQ2=(1+1)2+(3+3)2=40,AB=PQ,四边形 APBQ为矩形, PB2=(1+3)2+(3+1)2=32,PQ2=(31)2+(13)2=8,PB=4 2,PQ=2 2,四边形 APBQ 的面积 =PAPB=2 24 2=16. 例题例题 3、如图,在OAB 中,C 是 AB 的中点,反比例函数 y= k x (

4、k0)在第一象限的图象经过 A、C 两点, 若OAB的面积为 6,求 k 的值.(代数法与几何法均尝试用一下) C A BO x y 答案: 分别过点 A、 点 C作 OB 的垂线, 垂足分别为点 M、 点 N, 如图, 点 C为 AB 的中点, CN 为AMB 的中位线,MN=NB=a,CN=b,AM=2b,OMAM=ONCN,OM2b=(OM+a)bOM=a, SAOB=3a2b 2=3ab=6,ab=2,k=a2b=2ab=4,故答案为:4. 例题例题 4、如图,在以 O 为原点的直角坐标系中,矩形 OABC 的两边 OC、OA分别在 x轴、y轴的正半轴上, 反比例函数 y= k x (

5、x0)与 AB 相交于点 D,与 BC 相交于点 E,若 BD=3AD,且ODE 的面积是 9,则 k= 。 D E y x O B A C 答案: 24 5 例题例题 5、如图,四边形 ABCD 的顶点都在坐标轴上,若 AB/CD,ABD 与ACD 的面积分别为 20和 30, 若双曲线 y= k x 恰好经过 BC的中点 E,则 k 的值为 。 y x E D C B A 答案:6 例题例题 6、如图,一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴,y轴交于 A、B两点,与反比例函数 y= k x 的图象相交于 C、 D 两点, 分别过 C、 D两点作 y轴, x轴的垂线, 垂足为 E、 F,

6、连接 CF、 DE.有下列四个结论: SCEF=SDEF; AOB相似于FOE;DCECDF;AC=BD.其中正确的结论是 .(把你认为正确结 论的序号都填上) F E A B C D O x y 答案: 【巩固练习】【巩固练习】 1、已知 A 是反比例函数 y= k x 的图象上的一点,ABx轴于点 B,且ABC 的面积是 3,则k的值是 . y xOB A 2、 如图, 点 A、 B 是双曲线 y= 3 x 上的点, 分别经过 A、 B两点向 x轴、 y 轴作垂线段, 若 S阴影=1, 则 S1+S2= . S2 S1 y x O B A 3、如图,菱形 OABC 的顶点 O 是原点,顶点

7、 B 在 y轴上,菱形的两条对角线的长分别是 6和 4,反比例函 数 y= k x (k0) ,y2= 4 x (x0) ,点 P为函数,y2= 4 x 的图像上的一点,且 PAx 轴于点 A, PBy轴于点 B,PA、PB分别交函数 y1= 1 x 的图像于 D、C 两点,则PCD的面积为 。 y xO PC D B A 6、如图,反比例函数 y= k x (x0)的图像经过矩形 OABC对角线的交点 M,分别于 AB、BC 交于点 D、E, 若四边形 ODBE的面积为 9,则 k 的值为 。 y x E M O D C B A 7、如图,已知ABO 的顶点 A 和 AB 边的中点 C 都在

8、双曲线 y= k x (x0)的一个分支上,点 B在 x 轴上, CDOB 于 D,若AOC的面积为 3,则 k的值为 。 y xOD C B A 8、如图,A 是反比例函数 y= k x 图像上一点,C 是线段 OA 上一点,且 OC:OA=1:3,作 CDx 轴,垂 足为点 D,延长 DC 交反比例函数图像于点 B,SABC=8,则 k的值为 。 y xOD C B A 9、如图,点 A、B在反比例函数 y= k x 的图象上,过点 A、B作 x轴的垂线,垂足分别为 M、N,延长线段 AB 交 x 轴于点 C,若 OM=MN=NC,且AOC 的面积为 9,则 k的值为 。 y x B A

9、CNMO 10、如图,已知四边形 ABCO 的底边 AO在 x轴上,BC/AO,ABAO,过点 C的双曲线 y= k x 交 OB 于 D, 且 OD:DB=1:2,若OBC的面积等于 3,则 k 的值 . y xO D CB A 11、如图,两个反比例函数 y= 1 x 和 y=- 2 x 的图象分别是 l1和 l2,设点 P在 l1上,PCx轴,垂足为 C,交 l2于点 A,PDy轴,垂足为 D,交 l2于点 B,则三角形 PAB的面积为 . y xO PD C B A 12、如图,已知反比例函数 y1= 1 k x 与 y2= 2 k x (k10) ,过 y2图象上任意一点 B分别作

10、x轴、y轴的平 行线交坐标轴于 D、P 两点,交 y1的图象于 A、C,直线 AC 交坐标轴于点 M、N,则 SOMN= .(用含 k1、k2的代数式表示) y x D C ON M PB A 13、如图,在 x 轴正半轴上依次截取 OA1=A1A2=A2A3=.=An-1An(n 为正整数) ,过点 A1、A2、A3、An 分别作 x轴的垂线,与反比例函数 y= 2 x (x0)交于点 P1、P2、P3、Pn,连接 P1P2、P2P3、Pn-1Pn, 过点 P2、P3、Pn分别向 P1A1、P2A2、Pn-1An-1作垂线段,构成的一系列直角三角形(见图中阴影部 分)的面积和是 (用含 n

11、的代数式表示) y x Pn P3 P2 P1 AnA3A2A1O 14、如图,四边形 ABCD的顶点都在坐标轴上,若 ADBC,ACD与BCD的面积分别为 10和 20,若 双曲线 y= k x 恰好经过边 AB的四等分点 E(BE0)的图像与一次函数 y= 3 4 x 的图像交于 A、B 两点(点 A在第一象限). (1)当点 A的横坐标为 4时。 求 k 的值; 根据反比例函数的图像,直接写出当一 4x1(x0)时,y的取值范围; (2)点 C为 y轴正半轴上一点,ACB=90 ,且ACB 的面积为 10,求 k 的值. y xO C B A 17、已知点 P(a,b)是反比例函数 y=

12、 6 x (x0)图象上的动点,PAx 轴,PBy 轴,分别交反比例函 数 y=- 2 x (x0)的图象与一次函数 y= 3 4 x 的图象交于 A 点,3= 4 k ,k=12; x=4时,y=3,x=1时,y=12, 由反比例函数的性质可知,当4x1(x0)时, y的取值范围是y12; (2)设点 A为(a, 3 4 a),则 OA= 5 4 a,点 C 为 y 轴正半轴上一点,ACB=90,且ACB 的面积为 10, OA=OB=OC= 5 4 a,SACB= 1 2 125 4 a 2a=10, 解得,a=2 2, 点 A 为(2 2, 3 2 2 ), 3 2 2 = 2 2 k

13、, 解得,k=6,即 k的值是 6. 16. 答案: (1)P(a,b)是反比例函数 y= 6 x (x0)图象上的动点, P(a, 6 a ), S1= 1 2 (a)( 6 a )=3, B(a, 2 a ),S2= 1 2 (a)( 2 a )=1,S1:S2=3:1=3.故答案为:3. (2)P(a,b)是反比例函数 y= 6 x (x0)图象上的动点,P(a, 6 a ),点 B 在反比例函数 y= 2 x (x0)上且 横坐标为 a,B(a, 2 a ),点 A 在反比例函数 y= 2 x (x0)上且纵坐标为 6 a ,A( 3 a , 6 a ), (3)不变化。P(a, 6

14、a ),B(a, 2 a ),A( 3 a , 6 a ),PAx 轴,PBy 轴, S= 1 2 |AP|BP|= 1 2 ( 3 a a)( 6 a )( 2 a )= 4 3 . 17. 答案: (1)作 CNx轴于点 N.在 RtCNA和 RtAOB中, NC=OA,AC=AB, RtCNARtAOB(HL), 则 BO=AN=32=1,d=1; (2)设反比例函数为 y= k x ,点 C和 B在该比例函数图象上, 设 C(a,2),则 B(a+3,1) 把点 C和 B的坐标分别代 入 y= k x ,得 k=2a;k=a+3,2a=a+3,a=3,则 k=6,反比例函数解析式为 y

15、= 6 x . 得点 C(3,2);B(6,1); 设直线 CB的解析式为 y=ax+b,把 C、 B两点坐标代入得 3a+b=2, 6a+b=1, 解得: a= 1 3 , b=3; 直线 CB 的解析式为:y= 1 3 x+3; (3)连结 BBB(0,1),B(6,1),BBx轴,设 P(m, 1 3 m+3),作 PQCM,PHBB, SPCM= 1 2 PQ CM= 1 2 (m3) 2=m3,SPBB= 1 2 PH BB= 1 2 ( 1 3 m+31) 6=m+6,m3=m+6, m= 9 2 P( 9 2 , 3 2 ). MN H P x GC B AO C B A y 1

16、8. 【解析】 (1)ABCD; (2) 3 2 . (1)如图,过点 A 作 AMx轴于点 M,过点 D作 DHx 轴于点 H,过点 B作 BNx 轴于点 N, AMDHBNy 轴, 设点 A的坐标为: (m, 4 m ) , AEABBF, OMMNNF, 点 B的坐标为: (2m, 2 m ) , OAB S OAM S AMNB S梯形 OBN S2 1 2 ( 2 m 4 m )(2mm)23, DHBN, ODHOBN, OD OB DH BN OH ON , DHOH2,BNON4, , ( OD OB ) 22 4 1 2 , 同理: ( OC OA ) 21 2 , OC O

17、A OD OB , ABCD 故答案为:ABCD ; (2) OC OA OD OB ,CODAOB, CODAOB, COD AOB S S ( OD OB ) 21 2 , COD S 3 2 , ABDC S四边形 3 2 故答案为: 3 2 x y HN M y = 4 x y = 2 x F E D C B A O 19. 【解析】 (1)过点 D作 DMOB于点 M,过点 C作 CNOA于点 N ,连接 OD,OC,DN,CM. k0, DMN S DMO S 2 k , CNM S CNO S 2 k , DMN S CNM S 点 D到 MN的距离等于点 C 到 MN的距离,M

18、N在 CD 的同侧. MNCD. 四边形 DMNA 是平行四边形,四边形 BMNC是平行四边形, DMAN,BMCN, BDAC. (2)过点 O作 OEAB交 AB于点 E,过点 C作 CFOA 交 OA于点 F. 2 2 S 1 S 3 S, ( 1 2 CDOE) 21 2 BDOE 1 2 ACOE, CD 2BDAC. BDAC CD 2AC2BD2 CDACBD C 为 AC 的三等分点, CFOB CF OB AC AB y 3 2 x6 A(4,0) , (0,6) 6 CF 1 3 CF2 OF OA BC AB 4 OF 2 3 OF 8 3 C( 8 3 ,2) y k

19、x (k0) 2 8 3 k k16 3 . 20. 【解析】 (1)AEBF, 理由如下:作 AMy 轴于 M,BNx 轴于 N,连接 MN、OA、OB、BM、AN, AMx轴, AMN S AMO S 2 k , 同理, BMN S BNO S 2 k , AMN S BMN S, 即 A、B 两点到 MN的距离相等,且 A、B位于 MN同侧,故 ABMN, 四边形 AMNF与 BNME均为平行四边形, AMFN,EMBN 又AMEBNF90, 在EMA 与BNF 中, AMFN AMEBNF EMBN , EMABNF, AEBF; (2)结论依然成立,AEBF, 理由:作 AMy 轴于

20、 M,BNx轴于 N,连接 MN、OA、OB、BM、AN, AMx轴, AMN S AMO S 2 k , 同理, BMN S BNO S 2 k , AMN S BMN S, 即 A、B 两点到 MN的距离相等,且 A、B位于 MN同侧,故 ABMN, 四边形 AMNF与 BNME均为平行四边形, AMFN,EMBN 又AMEBNF90, 在EMA 与BNF 中, AMFN AMEBNF EMBN , EMABNF, AEBF 21. 【解析】 (1)(1,6)在 y m x 上, m6,即双曲线解析式是 y 6 x , 当 C 点横坐标为 2 时,纵坐标为 3, C(2,3) 直线 AB

21、过点 C(2,3) ,D(1,6) ,得 23 6 kb kb ,k3,b9, 故直线 AB的解析式为 y3x9; CD AB 的值为 1 3 ; x y P 6 1 D C B AO (2)设 C(a,b) ,则 ab6, EFC S 1 2 (a) (b) 1 2 ab3,而 EFD S 1 2 163, EFC S EFD S; EFC S EFD S,且两三角形同底, 两三角形的高相同, EFCD, DFAE,BFCE, 四边形 DFEA 与四边形 FBCE 都是平行四边形, CEBF,FDBEAC, 在DFB与AEC中, DFBAEC CEBF FDBEAC DFBAEC(ASA) , ACBD, CD AB 2,设 CD2k,ABk,DB 2 k , DB AB 1 2 , DFBAOB,DBFABO, DFBAOB, OA2,且 BF BO 1 2 , OB4, tanOAB OB OA 2 x y F E A B C D O