1、第第 2 20 0 讲讲 动态圆问题动态圆问题 圆的动态问题一般都会涉及到相切问题，在某个情境下，相切的情况一般为某个临界情况，即最极端 的情况，经常可用来解决范围与最值的问题. 【例【例题讲解题讲解】 例题例题 1 1、如图，平面直角坐标系中，OA的圆心在 x轴上，半径为 1，直线 l为 y2x2，若A 沿 x轴向 右运动，当A与 l有公共点时，点 A移动的最大距离是 . 答案：5. 例题例题 2 2、如图，在平面直角坐标系中，直线 l:y2xb（b0）的位置随 b的不同取值而变化，已知 M 的圆心坐标为（3，2） ，半径为 2，当 b 时，直线 l与M相切. 答案：1025. 例题例题 3
2、 3、如图，已知 A、B两点的坐标分别为（2，0） 、 （0，1） ，C 的圆心坐标为（0，1） ，半径为 l. 若 D 是C 上的一个动点，射线 AD与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最大值是 . 答案：2 5 2 . x y l A O x y y=-2x+b M O x y E D C B A O 【巩固练习巩固练习】 1、如图，直线 l:y 2 1 x1 与坐标轴交于 AB 两点，点 M（m，0）是 x轴上一动点，一点 M为圆 心，2 个单位长度为半径作 OM，当 OM 与直线 l相切时，m的值为 . 2、 如图， 0 的半径为 3cm， B 为0 外一点， OB 交0 于点 A，
3、 ABOA， 动点 P从点 A出发， 以 cm/s 的速度在0 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止，当动点 P 运动的时间为 s时，BP与 0 相切。 3、如图，已知0 是以数轴的原点 O为圆心，半径为 1 的圆，AOB45，点 P在数轴上运动， 若过点 P 且与 0A 平行的直线与0 有公共点，设 OPx，则 x的取值范围是 . 4、如图，AB 为0 的直径，C 为0 上的一动点（不与 A、B 重合） ，过点 C作弦 CDAB，OCD 的平分线交O于 P，则当 C 在0 上运动时，下列说法正确的是（ ） A.点 P 的位置始终随点 C的运动而变化 B.点 P的位置无法确定 C.PAO
4、A D.OPAB 5、如图，O1的半径为 1，正方形 ABCD的边长为 6，点 O2为正方形 ABCD的中心，0102垂直 AB与 P 点，01028.若将01绕点 P 按顺时针方向旋转 360，在旋转过程中，01与正方形 ABCD的边只有一 个公共点的情况一共出现（ ） A.3 次 B.5 次 C.6 次 D.7 次 6、如图，AOB 中，090，AO8cm，BO6cm，点 C从 A 点出发，在边 AO 上以 2cm/s 的速度向 O 点运动，与此同时，点 D从点 B出发，在边 BO上以 1.5cm/s 的速度向 O点运动，过 OC的中点 E作 CD 的垂线 EF，则当点 C运动了 s 时，
5、以 C 点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线 EF相切. x y 第1题 M B A O 第2题 AB P O 第5题 第4题 第3题 B P O C D A P D CB A O2 O1 BP A O 7、如图，已知0 的半径为 6cm，射线 PM经过点 0，OP10cm，射线 PN与0 相切于点 Q，A，B 两点同时从点 P出发，点 A以 5cm/s 的速度沿射线 PM方向运动，点 B 以 4cm/s 的速度沿射线 PN方向运 动.设运动时间为 ts. （1）求 PQ的长； （2）当 t为何值时，直线 AB 与0 相切？ 8、如图，已知直线 l:y2x3，它与 x轴、y 轴的交点分别为 A
6、、B两点。 （1）设 F 是 x轴上一动点，用尺规作图作出 OP，是 OP经过点 B，且与 x 轴相切于点 F （不写作法，保留作图痕迹） （2）设（2）中所作的 OP 的圆心坐标为 P（x，y） ，求 y 关于 x的函数关系式. （3）是否存在这样的 OP，既与 x轴相切又与直线 L 相切于点 B？若存在，求出圆心 P 的坐标；若不 存在，请说明理由. B D OE F C A M O N Q A B P x y F B A O 9、在平面直角坐标系 xOy中，给出如下定义：若点 P 在图形 M上，点 Q在图形 N 上，称线段 PQ长 度的最小值为图形 M，N的密距，记为 d（M，N）.特别
7、地，若图形 M，N 有公共点，规定 d（M，N） 0. （1）如图 1，O 的半径为 2， 点 A（0，1） ，B（4，3） ，则 d（A，0） ，d（B，0） . 已知直线 l:y 4 3 xb与0 的密距 d(1，0）9，求 b的值. （2）如图 2，C为 x轴正半轴上一点，C的半径为 1，直线 y 3 3 x 3 34 与 x轴交于点 D，与 y 轴交于点 E，线段 DE 与C 的密距 d（DE，C） 2 1 .请直接写出圆心 C的横坐标 m的取值范围. x y B A Ox y CD E O 10、如图，菱形 ABCD的边长为 2cm，DAB60.点 P从 A 点出发，以3cm/s 的
8、速度，沿 AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从 A 点出发，以 1cm/s 的速度，沿射线 AB 作匀速运动.当 P 运动到 C点时，P、Q 都停止运动。设点 P 运动的时间为 ts. （1）当 P 异于 A、C时，请说明 PQBC； （2）以 P 为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，OP与边 BC 分别 有 1 个公共点和 2 个公共点？ 11、如图，半圆 O的直径 AB4，以长为 2 的弦 PQ为直径，向点 O方向作半圆 M，其中 P点在 AQ（弧） 上且不与 A点重合，但 Q点可与 B点重合. 发现发现 弧 AP的长与弧 QB的长之和为定值 l，
9、求 l； 思考思考 点 M 与 AB的最大距离为 ，此时点 P，A间的距离为 ；点 M 与 AB的最小距离为 ， 此时半圆 M的弧与 AB所围成的封闭图形面积为 . 探究探究 当半圆 M与 AB相切时，求 AP（弧）的长. （注：结果保留 ，cos35 6 3 ，cos55 3 3 ） 图 1 备用图 备用图2 备用图1 D C B A A B C D Q P D C B A AB O M P Q O BA 12、如图，矩形 AOBC，A（0，3） 、B（6，0） ，点 E在 OB上，AEO30，点 P从点 Q（4，0） 出发，沿 x轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t秒. （
10、1）求点 E的坐标； （2）当PAE是等腰三角形时，求 t的值； （3）以点 P为圆心，PA为半径的P随点 P的运动而变化，当 OP与四边形 AEBC 的边（或边所在 的直线）相切时，求 t的值. 13、已知直线 y 3 4 xm与 x 轴，y轴分别交于点 A和点 B，点 B的坐标为（0，6） （1）求 m的值和点 A的坐标； （2） 在矩形 OACB中， 某动点 P从点 B出发以每秒 1 个单位的速度沿折线 BCA运动.运动至点 A 停止.直线 PDAB于点 D， 与 x轴交于点 E.设在矩形 OACB中直线 PD未扫过的面积为 S， 运动时间为 t. 求 s 与 t的函数关系式； Q是0A
11、B的内切圆，问：t为何值时，PE与Q相交的弦长为 2.4？ 14、如图，二次函数 y 1 4 x 2m的图像经过点 A（1， 3 4 ） ，直线 l经过抛物线的顶点 B且与 y轴 O y xQ A B E C D O y x Q A B E C P 垂直.设抛物线上有一动点 P（a，b）从点 A处出发沿抛物线向上移动，其纵坐标 b 随时间 t（s）的变化关 系为 b2t 3 4 .以线段 OP为直径作C. （1）求该二次函数的表达式. （2）当点 P在起始位置点 A处时，试判断直线 l与C的位置关系，并说明理由；在点 P移动的过程 中，直线 l与C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由. （
12、3）若点 P开始运动的同时，直线 l也向上平行移动，移动速度为每秒 3 个单位长度，则当 t在什么 范围内变化时，直线 1 与C相交？此时，若直线 l被C所截得的弦长为 a，试求 a 2的最大值. 备用图 15、如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC、BD相交于点 O，AB20，AC32.点 P从点 A出发，以每 秒 4 个单位的速度沿线段 AC向点 C运动， 同时， 点 Q从点 O出发， 以每秒 3 个单位的速度沿折线 ODDC 向点 C运动，当点 P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动.连接 BP、PQ、BQ，设点 Q的运动 时间为 t秒. （1）求线段 OD的长； （2）在整个运动
13、过程中，BPQ能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的 t的值； 若不能，请说明理由； （3）以 P为圆心，PQ为半径作P，当P与线段 CD 只有一个公共点时，求 t 的值或 t的取值范围. 备用图 B A y xO B A y xO O Q P D C B A D O C B A 1. 答案：225. 2. 答案：1 或 5. 3. 答案：2x2. 4. 答案：D. 5. 答案：O1的半径为 1，正方形 ABCD的边长为 6，点 O2为正方形 ABCD的中心，O1O2垂直 AB 于 P 点， 设 O1O2交圆 O于 M， PM8314， 圆 O1与以 P为圆心，以 4 为半径的圆相外切，
14、根据图形得出有 5 次 故选 B 6. 答案： 17 8 . 7. 答案： （1）连接OQ，PN与O相切于点Q，.OQPN，即OQP90 ，OP10，OQ6，PQ 22 1068（cm）. （2）过点 0 作 OCAB，垂足为 C，点 A 的运动速度为 5cm/s，点 B的运动速度为 4cm/s，运动时 间为 ts，PA5t，PB4t，PO10，PQ8，PA:POPB:PQ,PP，PABPOQ， PBAPQO90， BQOCBQOCB90，四边形 OCBQ 为矩形.BQOC.O的 半径为 6，BQOC6 时，直线 AB 与0 相切. BQPQPB84t，BQ6，84t6，t0.5（s）.BQP
15、BPQ4t8，BQ 6，4t86，t3.5（s）.当 t为 0.5s或 3.5s 时直线 AB 与0 相切. 8. 答案： （1）如图： （2）过点 P作 PDy轴于 D，则 PD|x|，BD|3y|，PBPFy，BDP为直角三角形，BP 2 PD 2BD2，即|y|2|x|2|3y|，y2x2（3y）2，y与的函数关系为 y1 6 x 23 2 ； （3）存在.P与 x轴相切于点 F，且与直线 l相切于点 B，ABAF，AB 2OA2OB252，AF2 5 2，AF|x4|，（x4）252，x1 或 x9，把 x1 或 x9 代入 y1 6 x 23 2 ，得 y 5 3 或 y15，点 P
16、的坐标为（1， 5 3 ）或（9，15）. 9. 答案：（1）连接 OB，过点 B作 BTx 轴于 T， O的半径为 2，点 A（0，1）， x y P D F B A O d（A，O）211 B（4，3）， OB 22 435， d（B，O）523 故答案为 1，3； 设直线 l：y 4 3 xb与 x轴、y 轴分别交于点 P、Q，过点 O作 OHPQ于 H，设 OH 与O交于点 G， P（ 4 3 b，0），Q（0，b）， OP 4 3 |b|，OQ|b|， PQ 5 3 |b| SOPQ 1 2 OPOQ 1 2 PQOH， OH OP OQ PQ 4 5 |b| 直线 l：y 3 4
17、xb 与O的密距 d（1，O） 6 5 ， 4 5 |b|2 6 5 16 5 ， b4； （2）过点 C作 CNDE于 N， 点 D、E分别是直线 y 3 3 x 4 3 3 与 x轴、y 轴的交点， D（4，0），E（0， 4 3 3 ）， OD4，OE 4 3 3 ， tanODE 3 3 OE OD ， ODE30 当点 C 在点 D 左边时，m4 xCm， CD4m， CNCDsinCDN 1 2 （4m）2 1 2 m 线段 DE与C的密距 d（DE，C） 1 2 ， 02 1 2 m 1 2 1， 1m4； 当点 C 与点 D 重合时，m4 此时 d（DE，C）0 当点 C 在点
18、 D 的右边时，m4 线段 DE与C的密距 d（DE，C） 1 2 ， m4 1 2 1， m 11 2 4m 11 2 综上所述：1m 11 2 10. 答案： ： （1）四边形 ABCD 是菱形，且菱形 ABCD 的边长为 2cm， ABBC2，BAC 1 2 DAB， 又DAB60（已知） ， BACBCA30； 如图 1，连接 BD 交 AC于 O 四边形 ABCD是菱形， AC?BD，OA 1 2 AC， OB 1 2 AB1（30角所对的直角边是斜边的一半） ， OA3，AC2OA23， 运动 ts后，AP3t，AQt，3 APAC AQAB 又PAQCAB， PAQCAB， AP
19、QACB（相似三角形的对应角相等） ， PQBC（同位角相等，两直线平行） （2）如图 2，P 与 BC切于点 M，连接 PM， 则 PMBC 在 RtCPM中，PCM30， PM 1 2 PC 3 3 2 t，由 PMPQAQt，即 3 3 2 tt, 解得 t436，此时P与边 BC有一个公共点； 如图 3，P过点 B，此时 PQPB， PQBPAQAPQ60 PQB为等边三角形， QBPQAQt， t1 当 436t1 时，P与边 BC 有 2 个公共点 如图 4，P过点 C，此时 PCPQ，即 233tt， t33当 1t33时，P与边 BC有一个公共点， 当点 P运动到点 C，即 t
20、2 时，P 过点 B， 此时，P 与边 BC 有一个公共点， 当 t436 或 1t33或 t2 时，P 与菱形 ABCD 的边 BC 有 1 个公共点； 当 436t1 时，P与边 BC有 2 个公共点 11. 【解答】解：发现：如图 1，连接 OP、OQ， AB4， OPOQ2， PQ2， OPQ是等边三角形， POQ60， ， 又半圆 O的长为：42， +2， l； 思考：如图 2，过点 M作 MCAB于点 C， 连接 OM， OP2，PM1， 由勾股定理可知：OM， 当 C与 O重合时， M与 AB的距离最大，最大值为 ， 连接 AP， 此时，OMAB， AOP60， OAOP， AO
21、P是等边三角形， AP2， 如图 3，当 Q与 B重合时， 连接 DM， MOQ30， MCOM， 此时，M与 AB的距离最小，最小值为 ， 设此时半圆 M 与 AB交于点 D， DMMB1， ABP60， DMB是等边三角形， DMB60， 扇形 DMB的面积为：， DMB的面积为：MCDB1， 半圆 M 的弧与 AB所围成的封闭图形面积为：； 故答案为，2，； 探究：当半圆 M与 AB相切于 T时，此时，MT1， 如图 4，当点 C在线段 OA上时， 在 RtOTM中，由勾股定理可求得：OT， ATOAOT2 如图 5中，当点 T在线段 OB上时，AT2+ 综上所述，AT的值为 2 12.
22、 【解答】解： （1）A（0，3） ，B（6，0） ， OA3，OB6， AEO30， OEOA3， 点 E的坐标为（，0） （2）如图 1中， 当 EAEP时，EP1EAEP26，此时 t32 或 3+10， 当 PAPE时，设 P3EP3Ex，在 RtAOP3中，32+（3x）2x2， x，此时 t4+ 当 AEAP时，点 P在点 Q 左边，不符合题意 综上所述，当PAE是等腰三角形时，t的值为（32）s或（3）s或（4+）s （3）由题意知，若P与四边形 AEBC的边相切，有以下三种情况： 如图 2中，当 PAAE时，P与 AE相切， AEO30，AO3， APO60， OP， QPQO
23、PO4， 点 P从点 Q（4，0）出发，沿 x轴向右以每秒 1个单位的速度运动， t4（秒） 如图 3中，当 PAAC时，P与 AC相切， QO4，点 P从点 Q（4，0）出发，沿 x轴向右以每秒 1个单位的速度运动， t4（秒） ， 如图 4中，当P与 BC相切时， 由题意，PA2PB2（10t）2，PO2（t4）2 于是（10t）2（t4）2+32 解得 t（秒） ， 综上所述，当P与四边形 AEBC的边（或边所在的直线）相切时，t的值为（4）秒或 4秒或 秒 13. 【解答】解： （1）把（0，6）代入 得：m6， 则函数的解析式是：yx+6， 令 y0，则x+60， 解得：x8 则 A
24、的坐标是（8，0） ； （2）如图 1，当 PE正好经过点 O时， ABMO， OBD+BOM90， OBD+MBD90， MBDBOM， MBDBAO， OBMBOA， MBOBOA， ， 则 BMOB6， 四边形 OACB的面积是：6848， 当 0t时，BPt，则 BEtt， 则 sS四边形OACBSBPE48tt48t2； 当t8时，BPt，PC8t， OEt， AE8OE8（t）t， 则 s（8t）+（t）66t； 当 8t14 时，AP14t，PE（146t） ， s（14t）2（14t）2； Q是OAB的内切圆，可设Q的半径为 r， SOAB（6+8+10）r68， 解得 r2，
25、 设Q与 OB、AB、OA分别切于点 F、G、H， 可知，OF2， BFBGOBOF624， 如图 2，设直线 PD与Q 交于点 I、J，过 Q作 QMIJ于点 M，连接 IQ、QG， QI2，IMIJ1.2， QM1.6， 在矩形 GQMD中，GDQM1.6， BDBG+GD4+1.65.6， 由 cosCBA， 得 BPBD7， t7， 当 PE在圆心 Q的另一侧时，PEPE， 直线 yx+6与 PE垂直， ， BF4， BP3，则 t3， 综上，t为 7或 3 秒时，PE与Q相交的弦长为 2.4 14. 【解答】解： （1）将点 A（1，）代入 yx2+m中，得： m1， 抛物线的解析式
26、：yx21； （2）结论：直线 l与C始终保持相切 理由：将 P点纵坐标代入（1）的解析式，得： a21+2t，a， P（ ，+2t） ， 圆心 C（ ，+t） ， 点 C到直线 l的距离：+t（1）t+； 而 OP28t+1+（+2t）2，得 OP2t+，半径 OCt+； 直线 l与C始终保持相切 （3）由（1）可知，若直线 l与C相切，则：2tt+，t； 当 0t时，直线 l与C相交； 0t时，圆心 C到直线 l的距离为 d|2t|，又半径为 rt+， a24（r2d2）4（t+）2|2t|212t2+15t， t时，a 的平方取得最大值为 15. 【解答】解： （1）四边形 ABCD是菱
27、形， ACBD，ODOB，AOCO， AC32， AOAC3216， 在 RTAOD中，ADAB20，AO16， OD12 （2）能理由如下： 如图 1，当 0t4时，BPQ90， BPO+OPQ90，OPQ+PQO90， BPOPQO， POBPOQ90， POBQOP， ， ， t或（不合题意舍弃） t 如图 2，当 4t8时，BPQ90，作 QHAC垂足为 H， QHOD， ， ， QH（323t） ，CH（323t） ，HPt，OP4t16， QPH+BPO90，OBP+BPO90， OBPHPQ， BOPQHP90， QHPPOB， ， ， 解得 t或（不合题意舍弃） 综上所述 t或时PQB是直角三角形 （3）如图 3，当点 P在线段 OA上时，P与线段 CD相切于 M，连接 OM，此时P与线段 CD只 有一个交点， 在 RTPOQ中，PO164t，OQ3t， PQPM， PMCDOC90，PCMDCO， CPMCDO， ， ，解得 t或（不合题意舍弃） 如图 4，当 PCPQ时，作 PNCD垂足为 N， PCNDCO，PNCDOC90， CPNCDO， ， ，解得 t t8时P与线段 CD只有一个交点 综上所述 t或时P与线段 CD只有一个交点