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中考培优竞赛专题经典讲义 第23讲轨迹问题之直线轨迹

1、第第 2 23 3 讲讲 轨迹问题之直线轨迹轨迹问题之直线轨迹 点的轨迹问题近年来在考试中经常出现,解决这类问题,首先得要了解,哪些条件会产生这类轨迹? 模型模型讲解讲解 模型一:轨迹为直线模型一:轨迹为直线 动点 P到定直线距离保持不变,点 P的轨迹为一直线 点 P与定线段一端点连接后,与该线段所夹角保持不变,点 P的轨迹为一直线 【例【例题讲解题讲解】 例题例题 1 1、如图,已知 A10,点 C、D在线段 AB上,且 ACDB2,P是线段 CD 上的动点,分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边AEP 和等边PFB,连接 EF,设 EF 的中点为 G,当点 P 从点 C 运动到

2、点 D时,则点 G移动路径的长是 . 【解析】延长 AE、BF,相交于点 H,连接 HP 易得HAB为等边三角形,四边形 HEPF为平行四边形 平行四边形的对角线互相平分,且 G为 FE中点 G在 HP上,且 G为 HP的中点 当 P从点 C运动到点 D时,G始终为 HP的中点 G到 AB的距离始终为点 H到 AB的距离的半 点 G的轨迹为直线 MN即为 G点运动的路径长 例题例题 2 2、如图,边长为 2a的等边三角形 ABC中,M是高 CH所在直线上的一个动点,连接 MB,将线 段 BM绕点 B逆时针旋转 60得到 BN,连接 HN.则在点 M运动过程中,线段 HN长度的最小值是 . 【解

3、析】连接 AN 易证ANBCMB BANBCM30 AB边为定边 P 定直线 d P 定直线 O A BD E P G C F H M N A BD E P G C F N在与 AB夹角为 30的直线上运动 当 HNAN时,HN最短(即为图中 N点) BAN30,AH 1 2 ABa HN 1 2 AH 1 2 a 例题例题 3 3、在平面直角坐标系中,点 P的坐标为(0,2) ,点 M 的坐标为(m1, 3 4 m 9 4 ) (其中 m 为实数) ,则 PM的最小值为 . 【解析】点 M的坐标为(m1, 3 4 m 9 4 ) 设 xm1,y 3 4 m 9 4 mx1 将式代入式化简得

4、y 3 4 x3 点 M在函数 y 3 4 x3 上运动,轨迹为直线 当 PMAB时,PM最小 根据PMBAOB,即可得 PM4 PM的最小值为 4 H M N A B C H M N A B C N A B P M y x O 【巩固训练巩固训练】 1、等边三角形 ABC中,BC6,D、E是边 BC上两点,且 BDCE1,点 P是线段 DE上的一个动 点,过点 P分别作 AC、AB的平行线交 AB、AC于点 M、N,连接 MN、AP交于点 G,则点 P由点 D移动 到点 E的过程中,线段 BG扫过的区域面积为 . 2、如图,四边形 ABHK是边长为 6 的正方形,点 C、D在边 AB上,且

5、ACDB1,点 P是线段 CD 上的动点,分别以 AP、PB为边在线段 AB的同侧作正方形 AMNP和正方形 BROP,E、F分别为 MN、QR 的中点,连接 EF,设 EF的中点为 G,则当点 P从点 C运动到点 D时,点 G移动的路径长为 . 3、如图,矩形 ABCD中,AB6,AD8,点 E在边 AD上,且 AE:ED1:3.动点 P从点 A出发, 沿 AB运动到点 B停止.过点 E作 EFPE交射线 BC于点 F,设 M 是线段 EF的中点,则在点 P运动的整 个过程中,点 M运动路线的长为 . 4、在ABC中,BAC90,ABAC2cm,线段 BC上一动点 P从 C点开始运动,到 B

6、点停止, 以 AP为边在 AC的右侧做等边APQ,则 Q点运动的路径长为 cm. 5、如图,在平面直角坐标系中,A(1,4) ,B(3,2) ,C(m,4m20) ,若 OC 恰好平分四边形 OACB的面积,则 C点坐标为 . D M N A BEP G C D F G K MN Q AB E PC H M D F A B E P C Q AB P C 6、如图 1 是用钢丝制作的一个几何探究工具,其中ABC内接于G,AB是G的直径,AB6,AC 2,现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中(如图 2) ,然后点 A 在射线 Ox 上由点 O 开始向右 滑动,点 B在射线 OY上也随之向点

7、O滑动(如图 3) ,当点 B滑动至与点 O重合时运动结束.在整个运动 过程中,点 C运动的路程是 . 图 1 图 2 图 3 7、在直角梯形 ABCD中,ABCD,BCCD,AB3,CD4,在 BC上取点 P(P与 B、C不重合) , 连接 PA 延长至 E,使 PA2AE,连接 PD 并延长到 F,使 PD4FD,以 PE、PF 为边作平行四边形,另 一个顶点为 G,则 PG长度的最小值为 . 8、如图,已知点 A是第一象限内横坐标为3的一个定点,ACx 轴于点 M,交直线 yx于点 N. 若点 P 是线段 ON 上的一个动点,APB30,BAPA,则点 P 在线段 ON 上运动时,A 点

8、不变,B 点 随之运动,求当点 P从点 O运动到点 N时,点 B运动的路径长是 . A B y x C A G B O B (A) y x C G O B y x C G A D F G A B E P C A B N C x y P M O 9、如图,边长为 4 的等边三角形 AOB的顶点 O在坐标原点,点 A在 x轴正半轴上,点 B在第一象限. 一动点 P从 O点出发沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A匀速运动, 当点 P到达点 A时停止运动, 设点 P运动的时间是 t秒.将线段 BP的中点绕点 P按顺时针方向旋转 60得点 C,点 C随点 P的运动而运动, 连接 CP,CA,过点

9、 P作 PDOB于点 D. (1)填空:PD的长为 (用含 t的代数式表示) ; (2)求点 C的坐标(用含 t的代数式表示) ; (3)在点 P从 O向 A运动的过程中,求点 C运动路线的长. D x y O A B P C B A O y x 10、如图 1,在 RtABC中,C90,AC6,BC8,动点 P从点 A开始沿边 AC向点 C以 1 个 单位长度的速度运动,动点 Q 从点 C开始沿边 CB向点 B以每秒 2 个单位长度的速度运动,过点 P作 PD BC,交 AB 于点 D,连接 PQ 分别从点 A、C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运 动,设运动时间为 t秒(

10、t0). (1)直接用含 t的代数式分别表示:QB ,PD . (2)是否存在 t 的值,使四边形 PDBQ 为菱形?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.并探究 如何改变 Q的速度(匀速运动) ,使四边形 PDBQ在某一时刻为菱形,求点 Q的速度; (3)如图 2,在整个运动过程中,求出线段 PQ中点 M 所经过的路径长. 图 1 图 2 DQ A B C P M P C B A QD 参考答案 1.【解答】解:PMAC,PNAB, 四边形 AMPN是平行四边形, MN与 AP相交于点 G, G是 AP的中点, 如图点 G的运动路线是APP的中位线, BC6,BDCE1, GG2, B

11、C6, BGG的底边 GG上的高(6), 线段 BG扫过的区域面积2 故答案为: 2.【解答】解:如图, 设 KH的中点为 S,连接 PE,PF,SE,SF,PS, E为 MN的中点,S为 KH 的中点, A,E,S 共线, F为 QR的中点,S为 KH的中点, B、F、S 共线, 由AMEPQF,得SAPFPB, ESPF, PNEBRF,得EPAFBP, PEFS, 则四边形 PESF为平行四边形,则 G为 PS的中点, G的轨迹为CSD的中位线, CDABACBD6114, 点 G移动的路径长 故答案为:2 3.【解答】解:如图所示:过点 M 作 GHAD ADCB,GHAD, GHBC

12、 在EGM和FHM中, EGMFHM MGMH 点 M的轨迹是一条平行于 BC的线段 当点 P与 A重合时,BF1AE2, 当点 P与点 B重合时,F2+EBF190,BEF1+EBF190, F2EBF1 EF1BEF1F2, EF1BEF1F2 ,即:, F1F218, M1M2是EF1F2的中位线, M1M2F1F29 故答案为:9 4.【解答】解:如图,Q点运动的路径为 QQ的长, ACQ和ABQ是等边三角形, CAQBAQ60,AQACAQ2cm, BAC90, QAQ90, 由勾股定理得:QQ2, Q点运动的路径为 2cm; 故答案为:2 5.【解答】解:AB的中点 D的坐标是:

13、(,) ,即(2,3) , 设直线 OD的解析式是 ykx,则 2k3, 解得:k, 则直线的解析式是:yx, 根据题意得:, 解得:, 则 C的坐标是: (,) 故答案是: (,) 6.【解答】解:如图 3,连接 OG AOB是直角,G为 AB中点, GOAB半径, 原点 O始终在G上 ACB90,AB6,AC2,BC4 连接 OC则AOCABC,tanAOC, 点 C在与 x轴夹角为AOC的射线上运动 如图 4,C1C2OC2OC1624; 如图 5,C2C3OC2OC364; 总路径为:C1C2+C2C34+64104 故选:D 7.分析与解答 8.【解答】解:由题意可知,OM,点 N在

14、直线 yx上,ACx 轴于点 M,则OMN为等腰直 角三角形,ONOM 如答图所示,设动点 P在 O点(起点)时,点 B的位置为 B0,动点 P在 N点(终点)时,点 B的位 置为 Bn,连接 B0Bn AOAB0,ANABn, OACB0ABn, 又AB0AOtan30,ABnANtan30, AB0:AOABn:ANtan30(此处也可用 30角的 Rt三边长的关系来求得) , AB0BnAON,且相似比为 tan30, B0BnONtan30 现在来证明线段 B0Bn就是点 B运动的路径(或轨迹) 如答图所示,当点 P运动至 ON上的任一点时,设其对应的点 B为 Bi,连接 AP,ABi

15、,B0Bi AOAB0,APABi, OAPB0ABi, 又AB0AOtan30,ABiAPtan30, AB0:AOABi:AP, AB0BiAOP, AB0BiAOP 又AB0BnAON, AB0BnAOP, AB0BiAB0Bn, 点 Bi在线段 B0Bn上,即线段 B0Bn就是点 B运动的路径(或轨迹) 综上所述,点 B运动的路径(或轨迹)是线段 B0Bn,其长度为 故选:C 9.【解答】解: (1)AOB是等边三角形, OBOAAB4,BOAOABABO60 PDOB, PDO90, OPD30, ODOP OPt, ODt,在 RtOPD中,由勾股定理,得 PD 故答案为: (2)

16、如图(1)过 C作 CEOA于 E, PEC90, ODt, BD4t 线段 BP的中点绕点 P按顺时针方向旋转 60得点 C, BPC60 OPD30, BPD+CPE90 DBPCPE PCEBPD , , CE,PE,OE, C(,) (3)如图(3)当PCA90度时,作 CFPA, PCFACF, , CF2PFAF, PF2t,AF4OF2tCF, ()2(2t) (2t) , 求得 t2,这时 P是 OA的中点 如图(2)当CAP90时,C的横坐标就是 4, 2+t4 t (4)设 C(x,y) , x2+t,y, yx, C点的运动痕迹是一条线段(0t4) 当 t0时,C1(2,

17、0) , 当 t4时,C2(5,) , 由两点间的距离公式得:C1C22 故答案为:2 10.【解答】解: (1)根据题意得:CQ2t,PAt, QB82t, 在 RtABC中,C90,AC6,BC8,PDBC, APD90, tanA, PDt 故答案为: (1)82t,t (2)不存在 在 RtABC中,C90,AC6,BC8, AB10 PDBC, APDACB, ,即, ADt, BDABAD10t, BQDP, 当 BQDP时,四边形 PDBQ是平行四边形, 即 82t,解得:t 当 t时,PD,BD106, DPBD, PDBQ不能为菱形 设点 Q的速度为每秒 v个单位长度, 则

18、BQ8vt,PDt,BD10t, 要使四边形 PDBQ为菱形,则 PDBDBQ, 当 PDBD时,即t10t,解得:t 当 PDBQ,t时,即8,解得:v 当点 Q的速度为每秒个单位长度时,经过秒,四边形 PDBQ是菱形 (3)如图 2,以 C为原点,以 AC所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 依题意,可知 0t4,当 t0时,点 M1的坐标为(3,0) ,当 t4 时点 M2的坐标为(1,4) 设直线 M1M2的解析式为 ykx+b, , 解得, 直线 M1M2的解析式为 y2x+6 点 Q(0,2t) ,P(6t,0) 在运动过程中,线段 PQ 中点 M3的坐标(,t) 把 x代入 y2x+6得 y2+6t, 点 M3在直线 M1M2上 过点 M2作 M2Nx轴于点 N,则 M2N4,M1N2 M1M22 线段 PQ中点 M所经过的路径长为 2单位长度