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中考培优竞赛专题经典讲义 第26讲 存在性问题之相似三角形

1、第第 2626 讲讲 存在性问题之相似三角形存在性问题之相似三角形 相似存在性问题常涉及的思想方法为反证法,即将问题“何种情况下相似?”转化为“相似时能得到 何种情况” 【例【例题讲解题讲解】 】 例题例题 1 1、如图,在直角坐标系中有两点(4,0)A,(0,2)B,如果点C在x轴上(C与A不重合) ,当BOC和 AOB相似时,C点坐标为 解:点C在x轴上, 90BOC两个三角形相似时,应该与90BOA对应, 若OC与OA对应,则4OCOA,( 4,0)C ; 若OC与OB对应,则1OC ,( 1,0)C 或者(1,0) C点坐标为:( 4,0),( 1,0)或(1,0) 故答案为:( 4,

2、0),( 1,0)或(1,0) 如图,在ABC中,8ABcm,16BCcm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2/cm s;动点Q 从点B开始沿BC边运动, 速度为4/cm s; 如果P、Q两动点同时运动, 那么何时QBP与ABC相似? 解:当BPQBAC时,有 BPBQ BABC 即 623 68 tt 所以 24 17 t 当BPQBCA时,有 BPBQ BCBA 即 623 86 tt 所以1t 所以 24 1 17 t 或 例题例题 2 2.将三角形纸片()ABC按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B,折痕为EF已 知3ABAC,4BC ,若以点B、F、C为顶点的三角形与

3、ABC相似,那么BF的长度是 解:根据B FC与ABC相似时的对应情况,有两种情况: B FCABC时, B FCF ABBC , 又因为3ABAC,4BC ,BFBF, 所以 4 34 BFBF , 解得 12 7 BF ; B CFABC时, B FCF BACA , 又因为3ABAC,4BC ,B FCF,BFB F, 所以4BFB F , 解得2BF 故BF的长度是12 7 或 2 故答案为: 12 7 或 2 例题例题 3 3.如图,已知ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、 BC匀速运动,其中点P运动的速度是1/cm s,点Q运动的速度是2/

4、cm s,当点Q到达点C时,P、Q两 点都停止运动,设运动时间为( )t s,解答下列问题: (1)当2t 时,判断BPQ的形状,并说明理由; (2)作/ /QRBA交AC于点R,连接PR,当t为何值时,APRPRQ 解: (1)BPQ是等边三角形 当2t 时 2 12AP ,2 24BQ 624BPABAP BQBP 又60B BPQ是等边三角形; (2)/ /QRBA 60QRCA ,60RQCB QRC是等边三角形 62QRRCQCt 1 cos602 2 BEBQtt 662EPABAPBEttt / /EPQR,EPQR 四边形EPRQ是平行四边形 3PREQt 又90PEQ, 90

5、APRPRQ APRPRQ, QRPR PRAP , 623 3 tt tt 解得 6 5 t 当 6 5 t 时,APRPRQ 例题例题 4 4.如图,已知ABC的三个顶点坐标分别为( 4,0)A 、(1,0)B、( 2,6)C (1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式; (2)设直线BC交y轴于点E,连接AE,求证:AECE; (3)设抛物线与y轴交于点D,连接AD交BC于点F,试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相 似吗? 解析:(1)设函数解析式为: 2 yaxbxc,由函数经过点 A(4,0)、B(1,0)、C(2,6), 可得 1640 0 426 abc abc abc ,解得

6、: 1 3 4 a b c ,故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为: 2 34yxx (2)设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b,由题意得: 0 26 kb kb ,解得: 2 2 k b ,即直线 BC的解析式 为22yx 故可得点 E的坐标为(0,2),从而可得: 22 2 5AEAOBO,CE= 22 ( 20)(62)2 5 ,故可得出AE=CE; (3)相似理由如下:设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,则 40 4 kb b ,解得: 1 4 k b ,即直线 AD 的解 析式为4yx联立直线 AD 与直线 BC 的函数解析式可得: 22 4 yx yx ,解得: 2

7、3 10 3 x y ,即点 F的 坐标为 2 10 (,) 33 ,则 22 2105 5 (1)(0) 333 BF ,又AB=5, 22 ( 2 1)(60)3 5BC , 55 , 33 BFAB ABBC , BFAB ABBC ,又ABF=CBA,ABFCBA故以 A、B、F为顶点的三 角形与ABC 相似 例题例题 5 5.如图, 抛物线 2 1 2 yxmxn与直线 1 3 2 yx 交于A,B两点, 交x轴与D,C两点, 连接AC, BC,已知(0,3)A,(3,0)C ()求抛物线的解析式和tanBAC的值; ()在()条件下,P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作P

8、QPA交y轴于点Q,问: 是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与ACB相似?若存在, 请求出所有符合条件的点P的 坐标;若不存在,请说明理由 解: ()把(0,3)A,(3,0)C代入 2 1 2 yxmxn,得 3 1 90 2 n mxn , 解得: 5 2 3 m n 抛物线的解析式为 2 15 3 22 yxx 联立 2 1 3 2 15 3 22 yx yxx , 解得: 0 3 x y 或 4 1 x y , 点B的坐标为(4,1) 过点B作BHx轴于H,如图 1(3,0)C,(4,1)B, 1BH,3OC ,4OH ,431CH ,1BHCH 90BHC,45BCH,2BC

9、 同理:45ACO,3 2AC , 180454590ACB , 21 tan 33 2 BC BAC AC ; () (1)存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与ACB相似 过点P作PGy轴于G,则90PGA 设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得0x ,则PGx PQPA,90ACB,90APQACB 若点G在点A的下方, 如图 2,当PAQCAB时,则PAQCAB 90PGAACB ,PAQCAB,PGABCA, 1 3 PGBC AGAC 33AGPGx 则( ,33 )P xx把( ,33 )P xx代入 2 15 3 22 yxx,得: 2 15 333 22 xxx, 整理得

10、: 2 0xx,解得: 1 0x (舍去) , 2 1x (舍去) 如图 2,当PAQCBA时,则PAQCBA 同理可得: 11 33 AGPGx,则 1 ( ,3) 3 P xx, 把 1 ( ,3) 3 P xx代入 2 15 3 22 yxx,得: 2 151 33 223 xxx, 整理得: 2 13 0 3 xx,解得: 1 0x (舍去) , 2 13 3 x , 13 ( 3 P, 14) 9 ; 若点G在点A的上方, 当PAQCAB时,则PAQCAB, 同理可得:点P的坐标为(11,36) 当PAQCBA时,则PAQCBA 同理可得:点P的坐标为 17 ( 3 P, 44) 9

11、 综上所述:满足条件的点P的坐标为(11,36)、 13 ( 3 , 14) 9 、 17 ( 3 , 44) 9 【巩固练习】【巩固练习】 1、如图,在ABC中,AB=4,AC=3,点 D、E 分别为 AB、AC边上一动点,AD=1,当 AE的长为多少时, A、D、E三点组成的三角形和ABC相似?; 2.如图,直线 1 2ykx与x轴、y轴分别交于点A、B,点(1, )Ca、( , 2)D b 是直线与双曲线 2 m y x 的两 个交点,过点C作CEy轴于点E,且BCE的面积为 1 (1)求双曲线的函数解析式; (2)若在y轴上有一动点F,使得以点F、A、B为顶点的三角形与BCE相似,求点

12、F的坐标 3.如图,矩形ABCD中,2AB ,4AD ,动点E在边BC上,与点B、C不重合,过点A作DE的垂线, 交直线CD于点F设DFx,ECy (1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围 (2)当1CF 时,求EC的长 (3)若直线AF与线段BC延长线交于点G,当DBE与DFG相似时,求DF的长 4.阅读理解: 如图 1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合) ,分别连接ED,EC,可以 把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上 的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强

13、相似点 解决问题: (1) 如图 1,55ABDEC , 试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点, 并说明理由; (2)如图 2,在矩形ABCD中,5AB ,2BC ,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个 小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图 2中画出矩形ABCD的边AB上的一 个强相似点E; 拓展探究: (3)如图 3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处若点E恰好是四边形ABCM的 边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系 5.如图,已知二次函数 1 (2)() 48 yxaxb的图象过点( 4,3)A ,(4,4)B

14、(1)求二次函数的解析式: (2)求证:ACB是直角三角形; (3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、 D为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 6.如图,某抛物线顶点坐标为(2, 1)与y轴交于点(0,3)C,与x轴交于A、B两点 (1)求抛物线的解析式 (2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求ACD的面积 (3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F,问是否存在点E,使得 以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由 7

15、.如图,直线3yx与x轴、y轴分别交于点A、C,经过A、C两点的抛物线 2 yaxbxc 与x轴的负半轴上另一交点为B,且tan3CBO (1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标; (2)若点P是射线BD上一点,且以点P、A、B为顶点的三角形与ABC相似,求点P的坐标 8.如图,已知二次函数 2 (yxbxc b,c为常数)的图象经过点(3,1)A,点(0,4)C,顶 点为点M,过点A作/ /ABx轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标; (2)若将该二次函数图象向下平移(0)m m 个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点 落在ABC

16、的内部(不包括ABC的边界) ,求m的取值范围; (3)点P是直线AC上的动点, 若点P,点C,点M所构成的三角形与BCD相似, 请直接写出所有点P 的坐标(直接写出结果,不必写解答过程) 9.如图所示,已知抛物线(3)(1)(0)ya xxa,与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于 点C,经过点A的直线3yxb 与抛物线的另一个交点为D (1)若点D的横坐标为 2,求抛物线的函数解析式; (2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与ABC相似,求点P的坐 标; 10.如图,已知抛物线的方程 1 1 :(2)()(0)Cyxxm m m 与x轴相交于点B、C

17、,与y轴相交于点E, 且点B在点C的左侧 (1)若抛物线 1 C过点(2,2)M,求实数m的值; (2)在第四象限内,抛物线 1 C上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似?若 存在,求m的值;若不存在,请说明理由 11、如图,已知抛物线 2 11 (1)( 444 b yxbxb是实数且2)b 与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位 于点B的左侧) ,与y轴的正半轴交于点C (1)点B的坐标为 ( ,0)b ,点C的坐标为 (用含b的代数式表示) ; (2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角 顶点的等腰直角三角形?如

18、果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得QCO,QOA和QAB中的任意两个三角形均 相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由 参考答案 1.解:如图 1,A=A,当 ADAE ABAC 时,ADE和ABC相似, 1 43 AE ,解得:AE= 3 4 ; 如图 2,A=A,当 ADAE ACAB 时,ADE和ACB相似, 1 34 AE ,解得:AE= 4 3 ,综合上述:AE的长为 3 4 或 4 3 ; 2.解: (1)当0x 时,2y , (0,2)B 点(1, )Ca, 11 |2| 1

19、1 22 BCE SBE CEa , 解得:4a 或0a (舍去) , (1,4)C 点(1,4)C在双曲线 2 m y x 上, 1 44m , 双曲线的函数解析式为 2 4 y x (2)BCE为直角三角形,点F在y轴上, 点F在点B的下方,ABFCBE , 有存在两种情况(如图所示): 当90AFB时,点F与点O重合, 此时点F的坐标为(0,0); 当90FAB时,设点F的坐标为(0, )n 点(1,4)C在直线 1 2ykx上, 4kx,2k , 直线 1 22yx 当0y 时,1x , ( 1,0)A (0,2)B,(1,4)C, (0,4)E,2BE ,5AB ,5BC ,2BFn

20、 FABCEB, BFAB BCBE ,即 25 25 n , 解得: 1 2 n , 此时点F的坐标为 1 (0,) 2 综上可知:点F的坐标为(0,0)或 1 (0,) 2 3. 解 ( 1 ) 四 边 形ABCD是 矩 形 , DC=AB=2 , ADC= BCD=90 又AFDE,ADF=DCE=90 ,DAF=EDC=90 -DFA, ADFDCE, ABDF CDCE 4 2 x y ,即 1 2 yx 点 E在线段 BC上,与点 B、C 不重合, 0y4,0 1 04 2 x即 0x8, 1 2 yx(0x8); (2)当点 F线段 DC 上时, CF=1,DF=x=2-1=1,

21、此时 11 22 CEyx; 当点 F线段 DC延长线上时, CF=1,DF=x=2+1=3,此时 13 22 CEyx 当 CF=1 时,EC的长为 13 22 或 (3)在Rt ADF中, 222 AF=16ADDFx 在Rt DCE中, 2222 11 DE=()416 22 ECDCxx AD/BCADFGCF AFDF GFCF 2 2 16 CF AFx FGx DFx 90DECADFEDC BEDDFG 当DBE与DFG相似时,可分以下两种情况: DEBGFD,如图,有 EDFG EBFD ED FDFG EB 22 121 1616(4) 22 x xxxx x 解得 8 5

22、 x DEBDFG, 如图,有 EDFD EBFG ED FGFD EB 22 121 1616(4) 22 x xxx x x 解得 4 3 x 综上所述:DF的长为 8 5 或 4 3 4.解析: (1)点 E是四边形 ABCD 的边 AB上的相似点 理由:A=55,ADE+DEA=125 DEC=55,BEC+DEA=125ADE=BECA=B,ADEBEC点 E 是四 边形 ABCD的 AB边上的相似点 (2)作图如下: (3)点 E是四边形 ABCM的边 AB上的一个强相似点,AEMBCEECM, BCE=ECM=AEM 由折叠可知:ECMDCMECM=DCM,CE=CDBCE=BC

23、D=30BE=CE=AB 在 RtBCE中,tanBCE= BE BC =tan30 3 3 BE BC , 2 3 3 AB BC 5.解: (1)由题意得,函数图象经过点( 4,3)A ,(4,4)B, 故可得: 1 3( 42)( 4) 48 1 4(42)(4) 48 ab ab , 解得: 13 20 a b , 故二次函数关系式为: 1 (2)(1320) 48 yxx (2)由(1)所求函数关系式可得点C坐标为( 2,0),点D坐标为 20 (13,0), 又点( 4,3)A ,(4,4)B, 22 (44)(43)65AB, 22 ( 24)(03)13AC , 22 (42)

24、(40)2 13BC , 满足 222 ABACBC, ACB是直角三角形 (3)存在点P的坐标,点P的坐标为 50 ( 13 , 35) 13 或 122 ( 13 , 284) 13 设点P坐标为(x, 1 (2)(1320) 48 xx,则 1 (2)(1320) 48 PHxx, 20 13 HDx , 若DHPBCA,则 PHDH ACBC ,即 120 (2)(1320) 4813 132 13 xxx , 解得: 50 13 x 或 20 13 x (因为点P在第二象限,故舍去) ; 代入可得 35 13 PH ,即 1 P坐标为 50 ( 13 , 35) 13 ; 若PHDB

25、CA,则 PHHD BCAC ,即 120 (2)(1320) 4813 5213 xxx , 解得: 122 13 x 或 20 13 x (因为点P在第二象限,故舍去) 代入可得 284 13 PH ,即 2 P坐标为: 122 ( 13 , 284) 13 综上所述,满足条件的点P有两个,即 1 50 ( 13 P , 35) 13 、 2 122 ( 13 P , 284) 13 6.解: (1)依题意,设抛物线的解析式为 2 (2)1ya x,将( ,3)C O代入, 得: 2 (02)13a ,解得1a , 所以抛物线的解析式: 2 (2)1yx,即 2 43yxx; (2) 2

26、43yxx与x轴交于A、B两点, (1,0)A、(3,0)B; 设直线BC的解析式为:3ykx,代入点B的坐标后,得: 330k ,解得1k , 直线:3BC yx ; 抛物线 2 43yxx的对称轴为:2x ,则(2,1)D; 22 (2 1)(1 0)2AD, 22 1310AC , 22 (20)(1 3)2 2CD, 即: 222 ACADCD, ACD是直角三角形,且ADCD; 11 22 22 22 ACD SAD CD ; (3)由题意知:/ /EFy轴,则FEDOCB ,若OCB与FED相似,则有: 90DFE,即/ /DFx轴; 将点D纵坐标代入抛物线的解析式中,得: 2 4

27、31xx,解得22x ; 当22x 时,312yx ; 当22x 时,312yx ; 所以 1(2 2E,12)、 2(2 2E,12) 90EDF; 易知,直线:1AD yx,联立抛物线的解析式有: 2 431xxx, 2 540xx, 解得 1 1x 、 2 4x ; 当1x 时,32yx ; 当4x 时,31yx ; 所以 3(1,2) E、 4(4, 1) E 综上,存在符合条件的点E,且坐标为:(22,12)、(22,12)、(1,2)、(4, 1) 7.解: (1)令0y ,则30x , 解得3x , 令0x ,则3y , 点( 3,0)A ,(0,3)C, 3OAOC, tan3

28、 OC CBO OB , 1OB, 点( 1,0)B , 把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得, 930 0 3 abc abc c , 解得 1 4 3 a b c , 该抛物线的解析式为 2 43yxx, 22 43(2)1yxxx , 顶点( 2, 1)D ; (2)( 3,0)A ,( 1,0)B , 1( 3)2AB , OAOC,90AOC, AOC是等腰直角三角形, 23 2ACOA,45BAC, ( 1,0)B ,( 2, 1)D , 45ABD, AB和BP是对应边时,ABCBPA, ABAC BPBA , 即 23 2 2BP , 解得 2 2 3 BP , 过点P作PE

29、x轴于E, 则 2 222 323 BEPE, 25 1 33 OE , 点P的坐标为 5 ( 3 , 2) 3 ; AB和BA是对应边时,ABCBAP, ABAC BABP , 即 23 2 2BP , 解得3 2BP , 过点P作PEx轴于E, 则 2 3 23 2 BEPE, 134OE , 点P的坐标为( 4, 3), 综上所述,点P的坐标为 5 ( 3 , 2) 3 或( 4, 3)时,以点P、A、B为顶点的三角形与ABC相似 8.解: (1)把点(3,1)A,点(0,4)C代入二次函数 2 yxbxc得, 2 331 4 bc c 解得 2 4 b c 二次函数解析式为 2 24y

30、xx, 配方得 2 (1)5yx, 点M的坐标为(1,5); (2)设直线AC解析式为ykxb,把点(3,1)A,(0,4)C代入得, 31 4 kb b 解得 1 4 k b 直线AC的解析式为4yx ,如图所示,对称轴直线1x 与ABC两边分别交于点E、点F 把1x 代入直线AC解析式4yx 解得3y ,则点E坐标为(1,3),点F坐标为(1,1) 153m ,解得24m; (3)连接MC,作MGy轴并延长交AC于点N,则点G坐标为(0,5) 1MG ,541GC 2222 112MCMGCG, 把5y 代入4yx 解得1x ,则点N坐标为( 1,5), NGGC,GMGC, 45NCGG

31、CM , 90NCM, 由此可知,若点P在AC上,则90MCP,则点D与点C必为相似三角形对应点 若有PCMBDC,则有 MCCD CPBD 1BD ,3CD , 2 12 33 MC BD CP CD , 3CDDA, 45DCA, 若点P在y轴右侧,作PHy轴, 45PCH, 2 3 CP 21 2 33 PH 把 1 3 x 代入4yx ,解得 11 3 y , 1 1 11 ( ,) 3 3 P; 同理可得,若点P在y轴左侧,则把 1 3 x 代入4yx ,解得 13 3 y 2 1 13 (,) 3 3 P; 若有PCMCDB,则有 MCBD CPCD 23 3 2 1 CP 3 2

32、23PH, 若点P在y轴右侧,把3x 代入4yx ,解得1y ; 若点P在y轴左侧,把3x 代入4yx ,解得7y 3(3,1) P; 4( 3,7) P 所有符合题意得点P坐标有 4个,分别为 1 1 11 ( ,) 3 3 P, 2 1 13 (,) 3 3 P , 3(3,1) P, 4( 3,7) P 9.解: (1)(3)(1)ya xx, 点A的坐标为( 3,0)、点B两的坐标为(1,0), 直线3yxb 经过点A, 3 3b , 33 3yx , 当2x 时,5 3y , 则点D的坐标为(2, 5 3), 点D在抛物线上, (23)(2 1)5 3a , 解得,3a , 则抛物线

33、的解析式为 2 3(3)(1)32 33 3yxxxx ; (2)如图 1中,作PHx轴于H,设点P坐标( , )m n, 当BPAABC时,BACPBA , tantanBACPBA,即 OCPH OAHB , 3 31 an m ,即(1)na m , (1) (3)(1) na m na mm 解得4m 或 1(舍弃) , 当4m 时,5na, BPAABC, ACAB ABPB , 2 ABAC PB, 222 4992525aa, 解得 15 15 a 或 15 15 (舍弃) , 则 15 5 3 na , 点P坐标 15 ( 4,) 3 当PBAABC时,CBAPBA , tan

34、tanCBAPBA,即 OCPH OBHB , 3 11 an m , 3 (1)na m , 3 (1) (3)(1) na m na mm , 解得6m 或 1(舍弃) , 当6m 时,21na, PBAABC, BCAB BAPB ,即 2 ABBC PB, 2222 41 97( 21 )aa , 解得 7 7 a 或 7 7 (不合题意舍弃) , 则点P坐标( 6, 3 7), 综上所述,符合条件的点P的坐标 15 ( 4,) 3 和( 6, 3 7) 10.解: (1)依题意,将(2,2)M代入抛物线解析式得: 1 2(22)(2)m m ,解得4m (2)分两种情形讨论: 当BE

35、CBCF时,如解答图 2所示 则 BEBC BCBF , EBCCBF , 2 BCBE BF 由函数解析式可得:( 2,0)B ,(0,2)E,即OBOE, 45EBC, 45CBF, 作FTx轴于点T,则45BFTTBF , BTTF 设(F a,2)(0)aa ,又点F在抛物线上, 1 2(2)()aaam m , 20a , 0a , 2am,(2 , 22)Fmm 此时 22 (22)( 22)2 2(1)BFmmm ,2 2BE ,2BCm, 又 2 BCBE BF, 2 (2)2 2 2 2(1)mm, 22 2m, 0m , 2 22m 当BECFCB时,如解答图 3所示 则

36、BCEC BFBC , 2 BCEC BF BECFCB CBFECO , 90EOCFTB , BTFCOE, 2TFOE BTOCm , 设(F b, 2 (2)(0)bb m 又点F在抛物线上, 21 (2)(2)()bbbm mm , 0b , 20b , 2bm , (2F m, 2 (4)m m , 2 4ECm,2BCm, 又 2 BCEC BF, 2 222 2 4(4) (2)4(22) m mmm m 整理得:016,显然不成立 综合得,在第四象限内,抛物线上存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似, 2 22m 11.解: (1)令0y ,即 2 11 (1

37、)0 444 b yxbx, 解得:1x 或b, b是实数且2b ,点A位于点B的左侧, 点B的坐标为( ,0)b, 令0x , 解得: 4 b y , 点C的坐标为(0, ) 4 b , 故答案为:( ,0)b,(0, ) 4 b ; (2)存在, 假设存在这样的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角 形 设点P的坐标为( , )x y,连接OP 则 11 2 2 42 PCOPOBPCOB b SSSxb yb 四边形 , 416xy 过P作PDx轴,PEy轴,垂足分别为D、E, 90PEOEODODP 四边形PEOD是矩形 90EPD EPCDP

38、B PECPDB ,PEPD,即xy 由 416 xy xy 解得 16 5 16 5 x y 由PECPDB 得ECDB,即 1616 545 b b, 解得 128 2 25 b 符合题意 P的坐标为 16 ( 5 , 16) 5 ; (3)假设存在这样的点Q,使得QCO,QOA和QAB中的任意两个三角形均相似 QABAOQAQO, QABAOQ,QABAQO 要使QOA与QAB相似,只能90QAOBAQ,即QAx轴 2b , ABOA, QOAABQ 只能AOQAQB此时90OQB, 由QAx轴知/ /QAy轴 COQOQA 要使QOA与OQC相似,只能90QCO或90OQC ( ) I当90OCQ时,CQOQOA 4 b AQCO 由 2 AQOA AB得: 2 ( )1 4 b b 解得:84 3b 2b , 84 3b 点Q的坐标是(1,23) ()II当90OQC时,OCQQOA, OQAQ COQO ,即 2 OQOC AQ 又 2 OQOA OB, OC AQOA OB即1 4 b AQb 解得:4AQ ,此时172b 符合题意, 点Q的坐标是(1,4) 综上可知,存在点(1,23)Q或(1,4)Q,使得QCO,QOA和QAB中的任意两个三角形均相似