1、第 29 讲 存在性问题之特殊四边形 菱形存在性问题,抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直； 矩形存在性问题,抓住内角 90与对角线相等； 正方形存在性问题,抓住等腰直角三角形的性质即可. 【例【例题讲解题讲解】 】 例题 1.如图,在 RtABC中,C=90,AC=6cm,BC=8cm,点 P从点 B出发,沿 BA方向以 2cm/s的速度向终点 A 运动;同时,动点 Q从点 C出发沿 CB方向以 1cm/s的速度向终点 B运动,将BPQ沿 BC翻折,点 P的对应点 为点 P,设 Q点运动的时间 t秒,若四边形 QPB P为菱形,求 t的值. 解:若四边形 QPBP为菱形,t=2秒理由如下
2、: C=90,AC=BC,ABC是等腰直角三角形,ABC=45, 点 P的速度是每秒2cm,点 Q的速度是每秒 1cm,BP=2tcm,BQ=(6t)cm, 四边形 QPBP为菱形, 2t 2 2 = 6 2 t ,解得:t=2; 即若四边形 QPBP为菱形的值为 2 秒. 例题 2.如图，已知 O(0,0),A(4,0),B(4,3).动点 P 从 O 点出发,以每秒 3 个单位的速度,沿OAB 的边 OA、AB 作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发, 运动的时间为 t秒,当直线 l运动到 O时,它们都停止运动.当 P在线段 AB
3、上运动时,设直线 l分别与 OA、 OB 交于 C、D,试问:四边形 CPBD是否可能为菱形？若能,求出此时 t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变 直线 l的出发时间,使得四边形 CPBD 会是菱形. 解:四边形 CPBD 不可能为菱形. 如图所示,根据题意可得,ACt,AP=3t4,BP=3AP=73t,OC=4t, 因为 CDAB,所以OCDOAB,所以 OCCD OAAB ,即 4 34 CDt ,解得:CD= 3 4 (4t), 因为 CD=BP,所以 3 4 (4t)=73t,解得:t= 16 9 ,所以 BP= 5 3 ,在ACP中,由勾股定理得, P Q P C B A O
4、 A B x y CP 2222 16420 ()( ) 939 ACAP,因为 CPBP,所以四边形 CPBD 不可能为菱形. 若要使四边形 CPBD 为菱形,设直线比 P 点迟 x 秒出发,则 AC=tx,AP=3t4,BP=CP=73t,因为四边形 CPBD 为菱形,则 CPOB,所以ACPAOB,则 ACAPCP OAABOB , 则 3473 435 txtt , 34 34 3473 35 ttx tt ,解得: 41 24 5 24 t x , 即直线比 P点迟 5 24 秒出发时可使四边形 CPBD为菱形. 例题 3.如图,直线 y= 3 4 x+3与 y轴交于点 A,与 x轴
5、交于点 B,点 P从点 B出发以每秒 1个单位长度的速度沿 BA边向终点A运动,同时点 Q以相同的速度从坐标原点O出发沿OB边向终点 B运动,设点P运动的时间为 t秒. (1)求点 A,B的坐标； (2)在点 P,Q运动的过程中,是否存在点 N,使得以点 A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形?若存在,求 t的值并直接 写出点 N的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)对于直线 y= 3 4 x+3,令 x=0,得到 y=3,令 y=0得到 x=4,A(0,3),B(4,0); (2)存在以点 APQN为顶点的四边形是矩形, 如图 2 所示,当APQ=90时,BPQ=AOB=90, 由(2)得:
6、cosPBQ= BP BQ ,即 4 45 t t ,解得:t= 16 9 此时 N坐标为( 4 5 , 29 15 ) 如果PAQ=90,OAB 为锐角,PAQOAB, 不成立,PAQ90 如果AQP=90,当 Q与 O重合时,t=0,此时 N坐标为(4,3), 当 0t5时如图 3所示过 P作 PMx 轴于点 M. 由得：MB 4 5 t， QM=OBOQBM=4 9 5 t, AOQ=QMP=AQP=90,OAQ=MQP，RtAOQRtQMP AOOQ MQPM ,即 3 93 4 55 t tt ，解得:t= 11 5 ,此时 N坐标为( 9 5 , 56 15 ) 综上所述:当 t的
7、值为 0, 16 9 , 11 9 时, x y O A B P Q 以点 APQN为顶点的四边形是矩形,点 N的坐标分别为(4,3) ( 4 5 , 29 15 ), ( 9 5 , 56 15 ) 例题 4.如图,抛物线 y=x2+bx+c与 x轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,顶点 M 关于 x轴的对称点是 M. (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形?若存在,求出 此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. 解:(1)根据题意,抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A(1,0),B(3,0),则将点 A、
8、B 坐标代入抛物线解析式可得: 10 930 bc bc ,+3得:12+4c=0,解得 c=3,代入得 b=2,故原方程组的解为 2 3 b c ，所以抛物线 的表达式为 yx22x3. (2)存在.如图所示,四边形 APBQ 是正方形.因为四边形 APBQ 是正方形,所以该抛物线顶点肯定在 AB的中垂 线上,且 AB=PQ,AB与 PQ相互垂直平分,则点P的坐标为P(1,2)或 P(1,2).当点 P坐标为P(1,2)时,设抛物 线解析式为 y=a(x1)2+2.因为抛物线过 A、 B两点,所以将点 A坐标代入函数解析式得 a(11)2+2=0,解得 a= 1 2 , 故抛物线的解析式为：
9、y= 1 2 (x1)2+2。 当点 P 坐标为 P(1,2)时,设抛物线解析式为 y=a(x1)22。因为抛物线过 A、B 点,所以将点坐标代入 函数解析式得 a(11)22=0,解得 a= 1 2 , 故抛物线的解析式为 y= 1 2 (x1)22。 综上所述：存在过 A、B 两点的抛物线 y= 1 2 (x1)2+2 或 y= 1 2 (x1)22,其顶点 P 关于轴的对称点为 Q, 使得四边形 APBQ 是正方形. 【巩固训练】 1.如图,在RtABC中,C=90,AC=BC=6cm,点 P从点B出发,沿BA方向以每秒2cm的速度向终点A运动; 同时,动点 Q从点 C出发沿 CB方向以
10、每秒 1cm的速度向终点 B运动,将BPQ沿 BC翻折,点 P的对应点为 点 P,设 Q点运动的时间 t秒,若四边形 QPBP为菱形,则 t的值为 . ABO C M x y 2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=x2+bx+c的图像与 x轴交于 A、B两点,B点的坐标为(3,0),与 y轴交 于 C(0,3),点 P是直线 BC下方抛物线上的动点. (1)求二次函数解析式； (2)连接 PO、PC,并将POC沿 y 轴对折,得到四边形 POPC,那么是否存在点 P,使得四边形 POPC为菱形？ 若存在,请求出此时点 P的坐标;若不存在,请说明理由； 3.如图，矩形OABC的顶点A、C分
11、别在x、y的正半轴上，点B的坐标为(3,4)，一次函数 2 3 yxb 的 图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足ODBE点M是线段DE上的一个动点 （1）求b的值； （2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，求点M的坐标； （3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标 A B C P Q P y x OB P C A 4. 如图 1，已知Rt ABC中，90C，8ACcm，6BCcm点P由B出发沿BA方向向点A匀速运 动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2/cm s以AQ、PQ为边作平行 四
12、边形AQPD，连接DQ，交AB于点E设运动的时间为t（单位：)(04)st剟解答下列问题： （1）用含有t的代数式表示AE （2）当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形 （3）如图 2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形 5.如图 1，在直角梯形ABCD中，/ /ADBC，90ADC，4ADCD，3BC 点M从点D出发以 每秒 2 个单位长度的速度向点A运动同时，点N从点B出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点C运 动 其中一个动点到达终点时， 另一个动点也随之停止运动 过点N作NPAD于点P 连接AC交NP 于点Q，连接MQ设运动时间为t秒 （1）填空：AM ；AP （用含t的代数式表示
13、） （2）t取何值时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的 1 3 ； （3）如图 2，将AQM沿AD翻折，得AKM，请问是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？说 明理由 6. 如图，二次函数 2 yxxc的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M （1）若( 4,0)A ，求二次函数的关系式； （2）在（1）的条件下，求四边形AMBM的面积； （3）是否存在抛物线 2 yxxc，使得四边形AMBM为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系 式；若不存在，请说明理由 7 如图， 在平面直角坐标系中， 直线AB与x轴、y轴分别相交于点(6,0)A、(0,8)B 点( 0
14、, )Cm是线段OB 上动点，过点C作CEAB于点E，点D为 x轴上一动点，连结CD、DE，以CD、DE为边作CDEF （1）求CE的长（用含m的代数式表示） ； （2）当3m 时，是否存在点D，使CDEF得顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值 参考答案 1.答案：2 2.解:(1)将点 B、C的坐标代入 y=x2+bx+c,得 930 3 bc c ,将代入,得 b=2. 故二次函数的解析式为 y=x22x3. (2)如图 1所示,假设抛物线上存在点 P,使四边形
15、POPC为形,连接 PP交 CO于点 E,因为四边形 POPC为菱 形,所以 PC=PO,PECO.故 OE=EC= 3 2 ,即点 P的纵坐标为 3 2 . 由 x22x3= 3 2 ,得 x= 210 2 或 x= 210 2 ,当 x= 210 2 时,点 P不在直线 BC下方, 故舍去.故存在这样的点,此时点 P的坐标为( 210 2 , 3 2 ) 3.解： （1） 2 3 yxb 中，令0x ，解得yb，则D的坐标是(0, )b，ODb， ODBE， BEb，则E的坐标是(3,4)b， 把E的坐标代入 2 3 yxb 得42bb ， 解得：3b ； （2） 11 3136 22 O
16、AED SODAEOA 四边形 ， 三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3， 1.5 ODM S 设M的横坐标是a，则 1 31.5 2 a， 解得：1a ， 把1xa代入 2 3 3 yx 得 247 3 333 y 则M的坐标是 7 (1, ) 3 ； （3） 当四边形OMDN是菱形时， 如图 （1） ，M的纵坐标是 3 2 ， 把 3 2 y 代入 2 3 3 yx ， 得 23 3 32 x， 解得： 9 4 x ， 则M的坐标是 9 ( 4 ， 3) 2 ， 则N的坐标是 9 ( 4 ， 3) 2 ； 当四边形OMND是菱形时，如图（2）3OMOD，设M的横坐标是m，则
17、纵坐标是 2 3 3 m， 则 22 2 (3)9 3 mm ， 解得： 36 13 m 或 0（舍去） 则M的坐标是 36 (13， 15) 13 则DM的中点是 18 (13， 27) 13 则N的坐标是 36 (13， 54) 13 故N的坐标是 9 ( 4 ， 3) 2 或 36 (13， 54) 13 4.解： （1）Rt ABC中，90C，8ACcm，6BCcm 由勾股定理得：10ABcm， 点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2/cm s， 2BPtcm， 102APABBPt， 四边形AQPD为平行四边形， 1 5 2 AEAPt； （2）当AQPD是矩形时，PQAC
18、， / /PQBC， APQABC QAAC APAB 即 28 10210 t t 解之 20 9 t 当 20 9 t 时，AQPD是矩形； （3）当AQPD是菱形时，DQAP， 则 AEAC COSBAC AQAB 即 54 25 t t 解之 25 13 t 当 25 13 t 时，AQPD是菱形 5.解： （1）如图 12DMt， 42AMADDMt 在直角梯形ABCD中，/ /ADBC，90ADC，NPAD于点P， 四边形CNPD为矩形， 3DPCNBCBNt， 4(3)1APADDPtt ； （2）如图 1梯形ABNM的面积等于梯形ABCD面积的 1 3 ， 111 (42 )4
19、(34)4 232 tt， 解得 5 3 t 当 5 3 t 时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的 1 3 ； （3）存在时刻 1 2 t ，能够使四边形AQMK为正方形理由如下： 90ADC，ADCD， 45CAD 将AQM沿AD翻折，得AKM， QMKM，AQAK，290KAQCAD 若四边形AQMK为正方形，则AQMQ， NPMA， MPAP， 2AMAP， 422(1)tt ， 1 2 t ， 当 1 2 t 时，四边形AQMK为正方形 故答案为：42t；1t 6.解： （1）( 4,0)A 在二次函数 2 yxxc的图象上， 2 ( 4)( 4)0c ， 解得20c ， 二次函
20、数的关系式为 2 20yxx； （2） 22 181 20() 24 yxxx， 顶点M的坐标为 1 ( 2 ， 81) 4 ， ( 4,0)A ，对称轴为 1 2 x ， 点B的坐标为(5,0)， 5( 4)549AB ， 181729 9 248 ABM S ， 顶点M关于x轴的对称点是M， 729729 22 84 ABMAMBM SS 四边形 ； （3）存在抛物线 2 3 4 yxx，使得四边形AMBM为正方形 理由如下：令0y ，则 2 0xxc，设点AB的坐标分别为 1 (A x，0)， 2 (B x，0)， 则 12 1xx， 12 x xc， 所以， 2 121 2 ()41
21、4ABxxx xc， 点M的纵坐标为： 2 441 44 acbc a ， 顶点M关于x轴的对称点是M，四边形AMBM为正方形， 41 142 4 c c ， 整理得， 2 16830cc， 解得 1 1 4 c ， 2 3 4 c ， 又抛物线与x轴有两个交点， 22 4( 1)40bacc ，解得 1 4 c ， c的值为 3 4 ， 故存在抛物线 2 3 4 yxx，使得四边形AMBM为正方形 7.解： （1）(6,0)A，(0,8)B， 6OA，08B ， 22 10ABOAOB， 90CEBAOB ， OBAEBC ， BCEBAO， OEBC OAAB ，即 8 610 CEm ，
22、 324 55 CEm ； （2）3m ， 85BCm， 324 3 55 CEm ， 4BE， 点F落在y轴上， （如图2) ， / /DEBO， EDABOA， ADAE AOAB ，即 66 610 OD ， 12 5 OD， 点D的坐标为 12 ( 5 ，0)； （3）取CE的中点P，过P作PGy轴于G点， 1123 2510 CPCEm （）当0m 时， 08m时，如图 3， GCPBAO ， 3 coscos 5 GCPBAO， 3 123369 cos() 5 5102550 m CGCPGCPm 3694136 25505025 OGOCCGmmm， 根据题意，得 OGCP 4136123 5025510 mm， 解得 6 7 m ， 当8m时，OGCP显然不存在满足条件的m的值； （）当0m 时，点C与原点O重合， （图4) ； （）当0m 时， 当点E与点A重合时，如图 5， 易证COAAOB， COAO AOOB 即 6 68 m ，解得 9 2 m ； 当点E与点A不重合时，如图 6， ， 3694136 () 25505025 OGOCCGmmm ， 由题意，得 OGCP 即 4136123 5025510 mm， 解得 96 13 m ， 综上所述： 6 7 m 或 0或 9 2 或 96 13