1、第第 3030 讲讲 几何三大变换之翻折几何三大变换之翻折 翻折的性质（轴对称的性质）翻折的性质（轴对称的性质） 如图，将ABC沿着 DE翻折，使得点 A落在 BC的点 F处结论有： ADEFDE （即 AD=DF，AE=EF，A=DFE，ADE=FDE，AED=FED） DE垂直平分 AF 函数的对称变换函数的对称变换 一次函数ykxb 关于 x轴对称后的解析式：ykxb 关于 y轴对称后的解析式：ykxb 二次函数 2 yaxbxc 关于 x轴对称后的解析式： 2 yaxbxc 关于 y轴对称后的解析式： 2 yaxbxc 【例【例题讲解题讲解】 】 例题例题 1.如图，ABC中，ABAC
2、，54BAC，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于 点O，将C沿(EF E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OEC的度数 是_ 解：如图，连接OB、OC， 54BAC，AO为BAC的平分线， 11 5427 22 BAOBAC ， 又ABAC， 11 (180)(18054 )63 22 ABCBAC ， DO是AB的垂直平分线， OAOB， F D A B C E 27ABOBAO， 632736OBCABCABO， AO为BAC的平分线，ABAC， ()AOBAOC SAS ， OBOC， 点O在BC的垂直平分线上， 又DO是AB的垂直平分线， 点O是ABC的外心， 36O
3、CBOBC， 将C沿(EF E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， OECE， 36COEOCB， 在OCE中，1801803636108OECCOEOCB， 故选：B 例题例题 2.如图，将边长为 6cm的正方形 ABCD折叠，使点 D 落在 AB边的中点 E处，折痕为与边 AD、BC交 于点 F、H，点 C落在 Q处，EQ与 BC交于点 G. （1）尺规作图作出折痕 FH； （2）求折痕 FH的长； （3）求EBG的周长； （4）若将题目中的“点点 E为为 AB中点中点”改为“点点 E为为 AB上任意一点上任意一点”，其它条件不变，则EBG的周长是否 发生变化，若不变，请求出该
4、值，若发生变化，请说明理由. 例题例题 3 3、如图，矩形ABCD中，8AB ，6BC ，P为AD上一点，将ABP沿BP翻折至EBP，PE与 CD相交于点O，且OEOD，则AP的长为 解：四边形ABCD是矩形， 90DAC ，6ADBC，8CDAB， 由折叠的性质可知ABPEBP ， EPAP，90EA ，8BEAB， 在ODP和OEG中， DOPEOG ODOE DE ， ()ODPOEG ASA ， OPOG，PDGE， DGEP， 设APEPx，则6PDGEx，DGx， 8CGx，8(6)2BGxx， 根据勾股定理得： 222 BCCGBG， 即 222 6(8)(2)xx， 解得：4.
5、8x ， 4.8AP， 故答案为：4.8 例题例题 4 4.如图 1， 在矩形纸片ABCD中，8 3AB ，10AD ， 点E是CD中点， 将这张纸片依次折叠两次； 第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图 2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点 E重合，如图 3，点B落到B处，折痕为HG，连接HE，则tanEHG_ 解：如图 2中，作NFCD于F设DMx，则10AMEMx， DEEC，8 3ABCD， 1 4 3 2 DECD， 在RT DEM中， 222 DMDEEM， 222 (4 3)(10)xx， 解得2.6x ， 2.6DM，7.4AMEM， 90DEMNEF，90N
6、EFENF， DEMENF ，90DEFN ， DMEFEN， DEEM FNEN ， 4 37.4 10EN ， 37 3 6 EN， 37 3 6 ANEN， 5 tan3 6 AN AMN AM ， 如图 3中，MEEN，HGEN， / /EMGH， NMENHG ， NMEAMN ，EHGNHG ， AMNEHG ， 5 tantan3 6 EHGAMN 方法二，tantan ENBC EHGEMN EMDE 故答案为 5 3 6 例例 5 5.如图，已知ABCD的三个顶点( ,0)A n、( ,0)B m、(0D，2 )(0)n mn，作ABCD关于直线AD的 对称图形 11 ABC
7、 D （1）若3m ，试求四边形 11 CC B B面积S的最大值； （2）若点 1 B恰好落在y轴上，试求 n m 的值 解： （1）如图 1， ABCD与四边形 11 ABC D关于直线AD对称， 四边形 11 ABC D是平行四边形， 1 CCEF， 1 BBEF， 11 / / /BCADBC， 11 / /CCBB， 四边形BCEF、 11 BC EF是平行四边形， 1 11 1BCEFBCDAB C DAB C EF SSSS， 1 1 2 BCC BBCDA SS ( ,0)A n、( ,0)B m、(0,2 )Dn、3m ， 3ABmnn，2ODn， 22 39 32232()
8、 22 BCDA SAB ODnnnnn ， 2 1 1 3 24()9 2 BCC BBCDA SSn 40 ，当 3 2 n 时， 1 1BCC B S最大值为 9； （2）当点 1 B恰好落在y轴上，如图 2， 1 DFBB， 1 DBOB， 11 90B DFDB F， 11 90B BOOB B ， 11 B DFOBB 1 90DOABOB ， AOD 1 BOB， 1 OBOA ODOB ， 1 2 OBn nm ， 1 2 m OB 由轴对称的性质可得 1 ABABmn 在 1 Rt AOB中， 222 ()() 2 m nmn， 整理得 2 380mmn 0m ，380mn，
9、 3 8 n m 例题例题 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，D为 边AB的中点，一抛物线 2 2(0)yxmxm m经过点A、D （1）求点A、D的坐标（用含m的式子表示） ； （2）把OAD沿直线OD折叠后点A落在点A处，连接OA并延长与线段BC的延长线交于点E， 若抛物线经过点E，求抛物线的解析式； 若抛物线与线段CE相交，直接写出抛物线的顶点P到达最高位置时的坐标： 解： （1）当0x 时，ym， (0,)Am， 当ym时，0x 或2m (2 ,)Dm m； （2）如图，设A D与x轴交于点Q，过点A作A Nx轴于点N 把OAD沿
10、直线OD折叠后点A落在点A处， OADOA D，OAOAm ，2ADA Dm，90OADOA D ，ADOA DO ， 矩形OABC中，/ /ADOC， ADODOQ， ADODOQ ， DQOQ 设DQOQx，则2AQmx， 在RtOAQ中， 222 OAAQOQ ， 222 (2)mmxx， 解得 5 4 xm， 11 22 OAQ SOQ A NOA AQ ， 3 3 4 5 5 4 mm A Nm m ， 22 4 5 ONOAA Nm ， A 点坐标为 4 (5m， 3 ) 5 m， 易求直线OA的解析式为 3 4 yx ， 当4xm时， 3 43 4 ymm ， E点坐标为(4 ,
11、 3 )mm 代入 2 2(0)yxmxm m得0m （舍)， 1 2 m ， 抛物线的解析式为： 2 1 2 yxx 当4xm时， 222 2(4 )248xmxmmm mmmm， 即抛物线l与直线CE的交点为 2 (4 , 8)mmm， 抛物线l与线段CE相交， 2 380mmm剟， 0m ， 381 0m剟 解得： 11 82 m剟， 222 2()yxmxmxmmm， 当xm时，y有最大值 2 mm， 又 22 11 () 24 mmm， 当 11 82 m剟时， 2 mm随m的增大而增大， 当 1 2 m 时，顶点P到达最高位置， 22 113 ( ) 224 mm， 抛物线顶点P到
12、达最高位置时的坐标为 1 ( 2 ， 3) 4 【巩固练习】【巩固练习】 1、 如图， 在矩形ABCD中， 点E为边CD上一点， 沿AE折叠， 点D恰好落在BC边上的F点处， 若3AB ， 5BC ，则tanEFC的值为_. 2.如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B，C在同一直线上，再将折叠的纸 片沿EG折叠，使AE落在EF上，则AEG 度 3、点 E、F 分别在一张长方形纸条 ABCD 的边 AD、BC 上，将这张纸条沿着直线 EF 对折后如图，BF 与 DE 交于点 G，长方形纸条的宽 AB=2cm，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积的 GEF S最小值为 _。
13、4.如图，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且30ABE，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压 平， 如图，若图中AEDn ，则BCE的度数为 （用含n的代数式表示） 5、在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动第一小组的同学将矩形纸片 ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图1)；再沿GC折叠，使点B落在EF上的 点B处（如图2)，请求出B GC 的度数 6.如图，在ABC中，CACB，90C，点D是BC的中点，将ABC沿着直线EF折叠，使点A与点 D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sinBED的值为 7、 如图， 直线 4 8 3 yx 与x
14、轴，y轴分别交于点A和B，M是OB上的一点， 若将ABM沿AM折叠， 点B恰好落在x轴上的点B处，则直线AM的解析式为 8.如图，点D为一等腰直角三角形纸片的斜边AB的中点，E是BC边上的一点，将这张纸片沿DE折 成如图，使BE与AC边相交于点F，若图中10AB ，则图中CEF的周长为 9.如图，正方形ABCD的边长是 16，点E在边AB上，3AE ，点F是边BC上不与点B、C重合的 一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处若CDB恰为等腰三角形，则DB的长为 10.已知ABC中，90B，3BC ，4AB ，D是边AB上一点，/ /DEBC交AC于点E，将ADE沿 DE翻折得到ADE，若A
15、EC是直角三角形，则AD长为_ 11.如图，Rt ABC中，90ACB，3AC ，4BC ，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处； 再将边BC沿CF翻折， 使点B落在CD的延长线上的点B处， 两条折痕与斜边AB分别交于点E、F， 则线段B F的长为_ 12、 如图，ABC中，90BAC，3AB ，4AC ， 点D是BC的中点， 将ABD沿AD翻折得到AED， 连CE，则线段CE的长等于_ 13.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)，点D是线段BC上的动点（与 端点B、C不重合） ，过点D作直线 1 2 yxb 交折线OAB于点E （1）记ODE的
16、面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形 1111 O ABC，试探究 1111 O ABC 与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由 14.如图，将二次函数 2 3yx的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新 的图象，当直线yxb与此图象有两个公共点时，求b的取值范围_ 15.如图 1，在矩形ABCD中，4AB ，2AD ，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合） ，点 Q在边AD上，将CBP和QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与
17、F点重合，且P、 E、F三点共线 （1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？ （2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为 2，则此时AP的长为多少？ （3）在“线段CE” 、 “线段QF” 、 “点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求 出此时AP的长；若不存在，请说明理由 16 如图， 矩形ABCD中，4AB ，3AD ，M是边CD上一点， 将ADM沿直线AM对折， 得到ANM （1）当AN平分MAB时，求DM的长； （2）连接BN，当1DM 时，求ABN的面积； （3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值 17如图 1，已知矩形纸片ABCD中，6
18、ABcm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为)BM，点A 恰好落在CD边的中点P处 （1）求矩形ABCD的边AD的长 （2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在 边BC上，如图 2所示设DPx cm，DMy cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取 值范围 （3）当折痕MN的端点N在AB上时，求当PCN为等腰三角形时x的值； 当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式 DC B A N M A B CD N E Q D C B A M P P M A B C D 18如图， 已知矩形ABCD
19、中，4AB ，ADm，动点P从点D出发， 在边DA上以每秒 1 个单位 的速度向点A运动， 连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为( )t s （1） 若6m，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值 （2） 已知m满足： 在动点P从点D到点A的整个运动过程中， 有且只有一个时刻t，使点E到直线BC 的距离等于 3 ，求所有这样的m的取值范围 19如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标 为(2 ,)m m，翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所 在直线与y轴相交于点G，经过点C
20、，F，D的抛物线为 2 yaxbxc （1）求点D的坐标（用含m的式子表示） ； （2）若点G的坐标为(0, 3)，求该抛物线的解析式； （3） 在 （2） 的条件下， 设线段CD的中点为M， 在线段CD上方的抛物线上是否存在点P， 使 1 2 P ME A？ 若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由 参看答案 1.解：根据题意可得：在Rt ABF中：3AB ，5AFADBC， 则 22 4BFAFAB， 又90EFCAFB，90AFBBAF， BAFCFE ， 故 4 tantan 3 EFCBAF 故答案为： 4 3 2.解：根据沿直线折叠的特点，ABEAB E，CEFC EF， A
21、EBAEB，CEFC EF ， 180AEBAEBCEFC EF ， 90AEBC EF ， 点E，B，C在同一直线上， 90AEF， 将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上， 1 45 2 AEGGEAAEF ， 故答案为：45 3. 4.解：22BEAEAE，90AA ， ABE、A BE都为30、60、90 的三角形， 160AEB ， 1801180606060AEDAEB ， 60(60)DEDAEDAEDnn ， 11 2(30) 22 DEDn ， / /A DBC ， 1 2(30) 2 BCEn 故答案为： 1 (30) 2 n 5.解：如图 2，连接 BB ，由题意得EF
22、垂直平分BC，故BBB C， 由翻折可得，B CBC， BB C为等边三角形， 60B CB， 30B CG， 60B GC； 6.解：DEF是AEF翻折而成， DEFAEF ，AEDF ， ABC是等腰直角三角形， 45EDF，由三角形外角性质得4545CDFBED ， BEDCDF ， 设1CD ，CFx，则2CACB， 2DFFAx， 在Rt CDF中，由勾股定理得， 222 CFCDDF，即 22 1(2)xx ， 解得 3 4 x ， 3 sinsin 5 CF BEDCDF DF ， 故答案为： 3 5 7.解：法一： 当0x 时， 4 88 3 yx ，即(0,8)B， 当0y
23、时，6x ，即(6,0)A， 所以10ABAB ，即( 4, 0)B ， 因为点B与B关于AM对称， 所以BB的中点为 04 ( 2 ， 80) 2 ，即( 2,4)在直线AM上， 设直线AM的解析式为ykxb，把( 2,4)；(6,0)， 代入可得 1 3 2 yx 法二： 直线 4 8 3 yx 与x轴，y轴分别交于点A和B， (6,0)A，(0,8)B 22 6810AB 10AB 设OMx，则8B MBMBOMOx，1064B OABAO 222 4(8)xx 3x (0,3)M 又(6,0)A 直线AM的解析式为 1 3 2 yx 故答案为 1 3 2 yx 8.解：如图，作DMAC
24、于M，DHBC于H，DNEB于N，连接DF CACB，90ACB，ADB D， CDDBADDB ，45DCBDCA ，45BBDCA DHDMDN， DFMDFN ， BFMEFC ， DFBDFC ， 在DFB和DFC中， BDCF DFBDFC DFDF ， DFBDFC ， CFBF， EFC的周长()EFCFECEFFBECEBECCB， 10AB ， 2 cos45105 2 CBAB ， （解法二：连接BC，只要证明BFCF，即可推出EFC的周长)B C 故答案为5 9.解：( ) i如图 1 所示：当B DB C时，过B点作/ /GHAD，则90B GE 当B CB D时， 1
25、 8 2 AGDHDC 由3AE ，16AB ，得13BE 由翻折的性质，得13B EBE 8 35EGAGAE ， 2222 13512BGB EEG ， 16 124B HGHBG ， 2222 484 5DBB HDH ( )ii当DBCD时，则16DB（易知点F在BC上且不与点C、B重合） ()iii如图 2 所示： 当CBCD时， EBEB，CBCB， 点E、C在BB的垂直平分线上， EC垂直平分BB， 由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去 综上所述，DB的长为 16 或4 5 故答案为：16 或4 5 10.解：在ABC中，90B，3BC ，4AB ， 5AC， / /DEB
26、C， :AD ABAE AC，即:4:5AD AEAB AC， 设ADx，则 5 4 AEA Ex， 5 5 4 ECx，24A Bx， 在RtA BC中， 22 (24)3ACx， A EC是直角三角形， 当 A 落在边AB上时，90EAC，BACACB ， 9 3tan 4 A BACB ， 7 8 AD ； 点A在线段AB的延长线上 22222 55 ( (24)3 )(5)() 44 xxx， 解得 1 4x （不合题意舍去） ， 2 25 8 x 故AD长为 7 8 或 25 8 故答案为： 7 8 或 25 8 11.解：Rt ABC中，90ACB，3AC ，4BC ， 5AB，
27、根据折叠的性质可知ACCD，ACDE ，CEAB， 431B DBCCD ， B DFCDE ， AB DF ， BB ， ABCDB F， B FB D BCAB 1 45 B F ， 4 5 B F ， 12.解： 如图连接BE交AD于O，作AHBC于H 在Rt ABC中，4AC ，3AB， 22 345BC， CDDB， 5 2 ADDCDB， 11 22 BC AHAB AC， 12 5 AH， AEAB， 点A在BE的垂直平分线上 DEDBDC， 点D在BE的垂直平分线上，BCE是直角三角形， AD垂直平分线段BE， 11 22 AD BOBD AH， 12 5 OB， 24 2 5
28、 BEOB， 在Rt BCE中， 2222 247 5() 55 ECBCBE， 13.解： （1）四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)， (3,1)B， 若直线经过点(3,0)A时，则 3 2 b 若直线经过点(3,1)B时，则 5 2 b 若直线经过点(0,1)C时，则1b 若直线与折线OAB的交点在OA上时，即 3 1 2 b ，如图 1， 此时(2 ,0)Eb 11 21 22 SOE CObb ； 若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 35 22 b，如图 2 此时 3 (3,) 2 Eb ，(22,1)Db， OCDOAEDBE SSSSS 矩 113
29、15 3 (22) 13()(52 ) () 22222 bbbb 2 5 2 bb， 2 3 (1) 2 535 () 222 bb S bbb ； （2）如图 3，设 11 O A与CB相交于点M，OA与 11 C B相交于点N，则矩形 1111 O ABC与矩形OABC的重叠部 分的面积即为四边形DNEM的面积 由题意知，/ /DMNE，/ /DNME， 四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，MEDNED 又MDENED ， MEDMDE， MDME， 平行四边形DNEM为菱形 过点D作DHOA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a， 由题意知，(22,1)Db，(2 ,0)Eb， 1
30、DH，2(22)2HEbb， 2HNHENEa， 则在Rt DHN中，由勾股定理知： 222 (2)1aa， 5 4 a， 5 4 DNEM SNE DH 四边形 矩形 111 OABC与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 5 4 14 解：二次函数 2 3yx与x轴的交点坐标为(3，0)、( 3，0)， 当直线yxb与 2 3(33)yxx 有一个公共点时， 2 30xxb ，14( 3)0b ，解 得 13 4 b ，所以当 13 4 b 时，直线yxb与此图象有两个公共点时， 当直线yxb经过点(3，0)与点( 3，0)之间时，直线yxb与此图象有两个公共点时，解得 33
31、b， 所以b的取值范围为 13 4 b 或33b 故答案为 13 4 b 或33b 15.解：（1） 由C B P和QAP分别沿PC、PQ折叠， 得到QFP和PCE， 则A Q PF Q P ，CPBCPE PAPF，PBPE，QPAQPF，CPBCPE EFEP， 3ABAPPBFPPBEFEPPBPB 4AB ， 4 3 PB， 8 3 AP 1802()QPAQPFCPBCPEQPACPB， 90QPACPB 四边形ABCD是矩形， 90AB ， 90CPBPCB， QPAPCB， 在QAP和PBC中， AB QPAPCB ， QAPPBC， QAAP PBBC ， 8 3 4 2 3
32、QA ， 16 9 QA （2）由题意，得2PFEP或2EPFP 当2EPPF时， EPPB，PFAP， 2PBAP 4APPB， 26BP， 3BP， 1AP 当2PFEP时， EPPB，PFAP， 2APPB 4APPB， 26AP 3AP 故AP的长为 1或 3 （3）若CE与点A在同一直线上，如图 2，连接AC，点E在AC上， 在AEP和ABC中， 90AEPB EAPBAC ， AEPABC， APAC EPBC 设APx，则4EPBPx， 在Rt ABC中， 4AB ，2BC ， 2 5AC， 2 5 42 x x 解得55x 若CE与QF在同一直线上，如图 3， AQPEQP ，
33、CPBCPE ， APEPBP， 24AP， 2AP 16.【解答】解： （1）由折叠性质得：ANMADM ， MANDAM ， AN平分MAB，MANNAB ， DAMMANNAB ， 四边形ABCD是矩形， 90DAB， 30DAM， 3 tan3 tan3033 3 DMADDAM ； （2）延长MN交AB延长线于点Q，如图 1所示： 四边形ABCD是矩形， / /ABDC， DMAMAQ， 由折叠性质得：ANMADM ， DMAAMQ，3ANAD，1MNMD， MAQAMQ， MQAQ， 设NQx，则1AQMQx ， 90ANM， 90ANQ， 在Rt ANQ中，由勾股定理得： 222
34、 AQANNQ， 222 (1)3xx， 解得：4x ， 4NQ，5AQ ， 4AB ，5AQ ， 4414124 34 552525 NABNAQ SSAN NQ ； （3）过点A作AHBF于点H，如图 2所示： 四边形ABCD是矩形， / /ABDC， HBABFC ， 90AHBBCF ， ABHBFC， BHCF AHBC ， 3AH AN ，4AB ， 可以看到点N是在以A为圆心 3为半径的圆上运动， 所以当射线BN与圆相切时，DF最大， 此时B、N、 M三点共线，如图 3 所示： 由折叠性质得：ADAH， ADBC， AHBC， 在ABH和BFC中， HBABFC AHBBCF A
35、HBC ， ()ABHBFC AAS ， CFBH， 由勾股定理得： 2222 437BHABAH， 7CF， DF的最大值47DCCF 17.【解答】解： （1）根据题意得：6BPABcm， 四边形ABCD是矩形， 90C，/ /ABCD，6CDABcm， P为CD的中点， 1 3 2 PCCDcm， 根据勾股定理得： 2222 633 3BCBPPC， 3 3()ADcm； （2）根据题意得：3 3AMMPy，在Rt MPD中， 222 PDMDMP， 222 (3 3)xyy 2 33 3 182 yx ， 其中，03x； （3）当点N在AB上，3x， 3PC，而3 3PN，3 3NC
36、PCN为等腰三角形，只可能NCNP； 过N点作NQCD于Q，如图 3 所示： 则 11 (6)3 22 PQCQxx， 1 63 2 NPANCQx， 在Rt NPQ中， 222 PQNQNP 222 11 (3)(3 3)(3) 22 xx 解得： 9 2 x 当点M在CD上时，N在AB上；如图 4 所示： 根据题意得：MN垂直平分AP， OAOP， / /ABCD，OMON， 四边形ANPM是平行四边形， 又PMAM， 四边形ANPM是菱形， 折叠后重叠部分的面积SPMN 的面积， 设MPy，在Rt ADM中， 222 ADDMAM， 222 ()(3 3)xyy 解得： 2 27 2 x
37、 y x ， 2 113 381 3 3 3 224 x SMP BCy x 18.【解答】解： （1） 如图 1 中， 设PDt 则6PAt P、B、E共线， BPCDPC， /ADBC， DPCPCB， BPCPCB， 6BPBC， 在Rt ABP中， 222 ABAPPB， 222 4(6)6t， 62 5t 或62 5（舍 弃） ， 62 5PD， (62 5)ts 时，B、E、P共线 （2） 如图 2 中， 当点P与A重合时， 点E在BC的下方， 点E到BC的距离为 3 作EQBC于Q，EMDC于M 则3EQ ，4CEDC 易证四边形EMCQ是矩形， 3CMEQ，90M， 2222
38、437EMECCM， DACEDM，ADCM， ADCDME， ADDC DMEM ， 4 77 AD ， 4 7AD， （当4 7AD 时， 直线BC上方还有一个点满足条件， 见图2) 如图 3 中， 当点P与A重合时， 点E在BC的上方， 点E到BC的距离为 3 作EQBC于Q，延长QE交AD于M 则3EQ ，4CEDC 在Rt ECQ中， 22 437QCDM， 由DMECDA， DMEM CDAD ， 71 4AD ， 4 7 7 AD， 综上所述， 在动点P从点D到点A的整个运动过程中， 有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离 等于 3 ，这样的m的取值范围 4 7 4 7 7
39、m 19.【解答】解： （1）根据折叠的性质得：CFABm，DFDB，90DFCDBA ，CEAE， CEDAED ， 设CDx，则2DFDBmx， 根据勾股定理得： 222 CFDFCD， 即 222 (2)mmxx， 解得： 5 4 xm， 点D的坐标为： 5 ( 4 m，)m； （2）方法一： 四边形OABC是矩形， 2OAm，/ /OABC， CDEAED ， CDECED ， 5 4 CECDm， 5 4 AECEm， 3 4 OEOAAEm， / /OABC， OEGCDG， OEOG CDCG ， 即 3 3 4 5 3 4 m m m ， 解得：2m ， (0,2)C， 5 (
40、 2 D，2)， 作FHCD于H，如图 1 所示： 则90FHCDFC ， FCHFCD ， FCHDCF， 24 5 5 2 FHCHCF DFCFCD ， 即 2 35 2 22 FHCH ， 6 5 FH， 8 5 CH ， 616 2 55 ， 8 (5F， 16) 5 ， 把点(0,2)C， 5 ( 2 D，2)， 8 (5F，16) 5 代入 2 yaxbxc得： 2 255 22 42 64816 2555 c ab abc ， 解得： 5 6 a ， 25 12 b ，2c ， 抛物线的解析式为： 2 525 2 612 yxx ； （3）存在；点P的坐标为： 8 (5， 16) 5 ，或 9 (10，16) 5 ；理由如下： 如图 2所示：CDCE，CEEA， CDEA， 线段CD的中点为M，90DFC， 11 22 MFCDEA，点P与点F重合， 点P的坐标为： 8 (5， 16) 5 ； 由抛物线的对称性得另一点P的坐标为 9 (10， 16) 5 ； 在线段CD上方的抛物线上存在点P，使 1 2 PMEA，点P的坐标为： 8 (5， 16) 5 ，或 9 (10，16) 5