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中考培优竞赛专题经典讲义 第31讲 几何三大变换之平移

1、第第 31 讲讲 几何三大变换之平移几何三大变换之平移 平移的性质 函数的平移变换 八字真言: “左加右减” , “上加下减” 【例【例题讲解题讲解】 例题例题 1如图,将ABC沿BC方向平移得到DEF,若90B,6AB ,8BC ,2BE ,1.5DH , 阴影部分的面积为 【解答】解:ABC沿BC方向平移得到DEF, 6DEAB, 1.5DH , 61.54.5HEDEDH, 90B, 四边形ABEH是梯形, DEFCEHABCCEHABEH SSSSSS 阴影梯形 1 () 2 ABHE BE 1 (64.5)2 2 10.5 故答案为:10.5 平移的性质:ABC DEF 平移的距离:

2、BE=CF=AD 平移的性质:ABC DEF 平移的距离:BE=CF=AD 平移的性质:ABC DEF 平移的距离:BE=CF=AD 四边形ABED、四边形BECF、 四边形ACFD均为平行四边形, 且S四边形ABED十S四边形BEFC=S四边形ACFD 例题例题 2 如图,ABC中,90ACB,8ABcm,D是AB的中点现将BCD沿BA方向平移1cm, 得到EFG,FG交AC于H,则GH的长等于 cm 【解答】解:ABC中,90ACB,8ABcm,D是AB的中点, 1 4 2 ADBDCDABcm; 又EFG由BCD沿BA方向平移1cm得到的, / /GHCD,1GDcm, AGHADC,

3、GHAG DCAD ,即 41 44 GH , 解得,3GH cm; 故答案是:3 例题例题 3 如图,ABC和DBC是两个具有公共边的全等三角形,3ABACcm2BCcm, 将D B C 沿射线BC平移一定的距离得到 111 D BC,连接 1 AC, 1 BD如果四边形 11 ABDC是矩形,那么平移 的距离为 cm 【解答】解:作AEBC于E, 1 90AEBAEC, 90BAEABC ABAC,2BC , 1 1 2 BECEBC, 四边形 11 ABDC是矩形, 1 90BAC, 1 90ABCAC B, 1 BAEAC B, ABE 1 C BA, 1 BEAB ABBC 3AB,

4、1BE , 1 13 3BC , 1 9BC, 11 927CCBCBC; 即平移的距离为 7 故答案为 7 例题例题 4如图,反比例函数(0) k yx x 的图象和矩形ABCD在第一象限,/ /ADx轴,且2AB ,4AD , 点A的坐标为(2,6)若将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,则k的值 是 【解答】解:设矩形平移后A的坐标是(2,6) x,C的坐标是(6,4) x, A、C落在反比例函数的图象上, 2(6)6(4)kxx , 解得3x , 即矩形平移后A的坐标是(2,3), 代入反比例函数的解析式得:236k 故答案为 6 例题例题 5已知:如图,在矩

5、形ABCD中,5AB , 20 3 AD ,AEBD,垂足是E点F是点E关于AB 的对称点, 连接AF、BF 若将ABF沿着射线BD方向平移, 设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD 方向所经过的线段长度) 当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值; 【解答】设平移中的三角形为A B F ,如答图 2 所示: 由对称点性质可知,12 由平移性质可知,/ /ABA B ,41 ,3BFB F 当点F落在AB上时, / /ABA B , 34 , 32 , 3BBB F ,即3m ; 当点F落在AD上时, / /ABA B , 62 , 12 ,51 , 56 , 又易知ABAD

6、, B F D 为等腰三角形, 3B DB F , 2516 3 33 BBBDB D ,即 16 3 m 例题例题 6已知二次函数 2 13 42 yxx 的图象如图将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线 与x轴,y轴的交点分别为A、B、C三点,若90ACB,求此时抛物线的解析式 【解答】解:由 2 13 42 yxx 得:3 2 b x a , (3,0)D;如图,设平移后的抛物线的解析式为 2 13 42 yxxk , 则(0, )Ck,即OCk, 令0y ,即 2 13 0 42 xxk, 解得: 1 349xk, 2 349xk, (349Ak,0),(349Bk,0),

7、22 ( 493349)1636ABkkk , 2222222 (349)(349)2836ACBCkkkkkk, 222 ACBCAB,即 2 28361636kkk, 解得: 1 4k , 2 0k (舍去) , 抛物线的解析式为 2 13 4 42 yxx 【巩固练习】【巩固练习】 1在直角坐标系中,一直线a向下平移 3 个单位后所得直线b经过点(0,3)A,将直线b绕点A顺时针旋转 60后所得直线经过点(3B ,0),则直线a的函数关系式为 . 2若二次函数 y1=2(x+1)2-1 是由二次函数 y2=ax2+bx+c 先向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位得到 的,则 a=

8、 ,b= ,c= . 3已知点P是二次函数 2 3yxx图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线2yx 沿y轴向上平移, 分别交x轴、y轴于C、D两点若以CD为直角边的PCD与OCD相似,则点P的坐标为 4如图,直线 4 3 yx与双曲线(0) k yx x 交于点A将直线 4 3 yx向右平移 9 2 个单位后,与双曲线 (0) k yx x 交于点B,与x轴交于点C,若2 AO BC ,则k 5如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线2x 与x轴相交于点B,连结OA,二次函 数 2 yx图象从点O沿OA方向平移,与直线2x 交于点P,顶点M到A点时停止移动 (1)求线段OA所

9、在直线的函数解析式; (2)设二次函数顶点M的横坐标为m,当m为何值时,线段PB最短,并求出二次函数的表达式; (3)当线段PB最短时,二次函数的图象是否过点( ,1)Q a a ,并说理由 6如图,在平面直角坐标系中,直线24yx与y轴交于A点,与x轴交于B点,抛物线 2 1 1 : 4 Cyxbxc 过A、B两点,与x轴的另一交点为C (1)求抛物线解析式及C点坐标; (2)向右平移抛物线 1 C,使平移后的抛物线 2 C恰好经过BC的中点,求抛物线 2 C的表达式; 7如图, 已知抛物线经过点( 1,0)A 、(3,0)B、(0,3)C三点 (1) 该抛物线解析式为 ;顶点坐标为 ; (

10、2) 将该抛物线向下平移 3 个单位长度, 再向右移动(0)n n 个单位长度使得抛物线的顶点在ABC 内部 (不包括边界) ,试求n的取值范围; 8已知:如图,在直角梯形ABCD中,/ /ADBC,90B,2AD ,6BC ,3AB E为BC边 上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧 (1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长; (2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形B EFG,当点E与 点C重合时停止平移设平移的距离为t,正方形B EFG的边EF与AC交于点M,连接B D,B M, DM,是否

11、存在这样的t,使B DM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由; (3)在(2)问的平移过程中,设正方形B EFG与ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的 函数关系式以及自变量t的取值范围 9如图,有一张直角三角形纸片ABC,90ACB,60B,3BC ,直角边AC在x轴上,B点在 第二象限,( 3A,0),AB交y轴于E, 将纸片过E点折叠使BE与EA所在的直线上, 得到折痕(EF F 在x轴上) ,再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE,然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA方向 平行移动, 至B点到达A点停止 (记平移后的四边形为 1111) BC F E 在

12、平移过程中, 设平移的距离 1 BBx, 四边形 1111 BC FE与AEF重叠的面积为S (1)求折痕EF的长; (2)平移过程中是否存在点 1 F落在y轴上?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由; (3)直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围 10如图,在平面直角坐标系xoy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且3AB ,2 3BC ,直线 32 3yx经过点C,交y轴于点G (1)求C,D坐标; (2)已知抛物线顶点32 3yx上,且经过点C,D的抛物线的解析式. (3)将(2)中抛物线沿直线32 3yx平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点E(顶点在y 轴右侧) 平移后是

13、否存在这样的抛物线,使以 EF=EG 的EFG为等腰三角形?若存在,请求出此时抛 物线的解析式;若不存在,请说明理由 参考答案 1.【解答】解:设直线AB的解析式为ykxb,(0,3)A,(3B ,0), 3 30 b kb ,解得 3 3 k b , 直线AB的解析式为33yx由题意,知直线33yx绕点A逆时针旋转60后得到直线b, 则直线b经过(0,3)A,( 3,0),易求直线b的解析式为33yx ,将直线b向上平移 3 个单位后 得直线a,所以直线a的解析式为333yx ,即36yx 2.【解答】a= 2 ,b= 12 ,c= 16 . 3.【解答】解:设(0,2 )Da,则直线CD解

14、析式为22yxa , ( ,0)C a, :1:2OC OD, 2ODa,OCa, 根据勾股定理可得: 22 5CDOCODa 以CD为直角边的PCD与OCD相似, 当90CDP时,若:1:2PD DCOC OD,则 5 2 PDa, 设P的横坐标是x,则P点纵坐标是 2 3xx, 根据题意得: 2222 22222 5 (32 )() 2 5 ( 5 )()(3 )() 2 xxxaa aaxxxa , 解得: 1 2 1 2 x a , 则P的坐标是: 1 ( 2 , 5) 4 , 当90CDP时,若:1:2DC PDOC OD,同理可以求得(2,2)P, 当90DCP时,若:1:2PC

15、DCOC OD,则 11 ( 4 P, 11) 16 , 当90DCP时,若:1:2DC PDOC OD,则 13 ( 5 P, 26) 25 故答案为: 1 ( 2 , 5) 4 ,(2,2), 11 ( 4 , 11) 16 , 13 ( 5 , 26) 25 4.【解答】解:设点A的坐标为 4 ( ,) 3 aa, 2 AO BC , 取OA的中点D, 点B相当于点D向右平移了 9 2 个单位, 点D的坐标为 1 ( 2 a, 2 ) 3 a, B点坐标为 91 ( 22 a, 2 ) 3 a, 点A,B都在反比例函数 k y x 的图象上, 4291 () 3322 aaaa , 解得

16、3a 或0(0不合题意,舍去) 点A的坐标为(3,4), 12k 5.【解答】解: (1)设直线OA的解析式为ykx, (2,4)A, 24k,解得2k , 线段OA所在直线的函数解析式为2yx; (2)顶点M的横坐标为m,且在OA上移动, 2 (02)ymm剟, ( ,2 )M mm, 抛物线的解析式为 2 ()2yxmm, 当2x 时, 22 (2)224(02)ymmmmm剟, 22 24(1)3(02)PBmmmm剟, 当1m 时,PB最短, 当PB最短时,抛物线的解析式为 2 (1)2yx; (3)若二次函数的图象是过点( ,1)Q a a 则方程 2 1(1)2aa 有解 即方程

17、2 340aa有解, 2 ( 3)4 1 470 二次函数的图象不过点Q 6.【解答】解: (1)直线24yx与y轴交于A点,与x轴交于B点, 令0x ,可得4y ,则点A的坐标为(0,4)A, 令0y ,可得2x ,则点B的坐标为( 2,0), 将(0,4)A,( 2,0)B 代入 2 1 4 yxbxc , 可得 4 1 042 4 c bc 解得 3 2 4 b c 抛物线 1 C的解析式为: 2 13 4 42 yxx , 令0y ,则 2 13 40 42 xx, 解得8x , C点坐标为(8,0); (2)由(1)知,( 2,0)B ,(8,0)C 设BC的中点为G,则(3,0)G

18、 22 13125 4(3) 4244 yxxx , 平移后抛物线的解析式为: 2 125 (8) 44 yx ; 7.【解答】解: (1) 设抛物线为 2 (0)yaxbxc a, 将( 1,0)A 、(3,0)B、(0,3)C代入得 0 930 3 abc abc c , 解得: 1 2 3 a b c 故抛物线解析式为: 2 23yxx , 22 23(1)4yxxx , 故顶点坐标为(1,4); 故答案为: 2 23yxx ,(1,4); (2) 由 (1) 得, 22 23(1)4yxxx , 平移后的抛物线为: 22 (1)43(1)1yxnxn , 平移后的抛物线顶点为(1,1)

19、n, 设直线BC的解析式为:ymxn, 将(3,0)B、(0,3)C代入得 30 3 mn n , 解得: 1 3 m n , 直线BC的解析式为3yx , 当1y 时,2x, 1 12n , 01n , 8.【解答】解: (1)如图, 设正方形BEFG的边长为x, 则BEFGBGx, 3AB ,6BC , 3AGABBGx, / /GFBE, AGFABC, AGGF ABBC , 即 3 36 xx , 解得:2x , 即2BE ; (2)存在满足条件的t, 理由:如图,过点D作DHBC于H, 则2BHAD,3DHAB, 由题意得:BBHEt ,|2|HBt,4ECt, / /EFAB,

20、MECABC, MEEC ABBC ,即 4 36 MEt , 1 2 2 MEt, 在RtB ME中, 222222 11 2(2)28 24 B MMEB Ettt, 在Rt DHB中, 222222 3(2)413B DDHB Httt , 过点M作MNDH于N, 则MNHEt, 1 2 2 NHMEt, 11 3(2)1 22 DNDHNHtt, 在Rt DMN中, 2222 5 1 4 DMDNMNtt , ()若90DB M,则 222 DMBMB D , 即 222 51 1(28)(413) 44 tttttt , 解得: 20 7 t , ()若90B MD ,则 222 B

21、 DBMDM , 即 222 15 413(28)(1) 44 tttttt , 解得: 1 317t , 2 317t (舍去) , 317t ; ()若90B DM ,则 222 BMB DDM , 即: 222 15 28(413)(1) 44 tttttt , 此方程无解, 综上所述,当 20 7 t 或317 时,B DM是直角三角形; (3)如图,当F在CD上时,:EF DHCE CH, 即2:3:4CE, 8 3 CE, 84 62 33 tBBBCB EEC , 1 2 2 MEt, 1 2 FMt, 当 4 0 3 t剟时, 2 111 224 FMN SSttt , 如图,

22、当G在AC上时,2t , 33 tan(4)3 44 DH EKECDCBECtt CH , 3 21 4 FKEKt, 24 33 NLAD, 4 3 FLt , 当 4 2 3 t 时, 22 114312 ()(1) 423483 FMNFKL SSSttttt ; 如图,当G在CD上时,:B C CHB G DH, 即:42:3B C, 解得: 8 3 B C, 2 42 3 ECtB C , 10 3 t , 111 (6)3 222 B NB Ctt, 1 1 2 GNGBB Nt, 当 10 2 3 t 时, 2 11114335 2112 22223483 FKLGNMF SS

23、Stttttt 梯形 , 如图,当 10 4 3 t 时, 33 (6) 44 B LB Ct, 33 (4) 44 EKECt, 11 (6) 22 B NB Ct, 11 (4) 22 EMECt, 15 22 MNLKB EKLB EMN SSSSt 梯形梯形梯形 综上所述: 当 4 0 3 t剟时, 2 1 4 St, 当 4 2 3 t 时, 2 12 83 Stt ; 当 10 2 3 t 时, 2 35 2 83 Stt , 当 10 4 3 t 时, 15 22 St 9.【解答】解: (1)90ACB,60B, 30BAC, ( 3A,0), 1EO, 60EFO,90EOF

24、, 2 3 sin603 EO EF , (2)存在,理由如下: 如图 1,作 1 B DBC, 3 3 FO , 1 3 3 B D,60B 1 1 2 sin603 B D BB ,即 2 3 x , (3)当02x剟时,即点E到A时经过的面积,如图 2, 3AO ,90ACB,60B, 2AE, 11 BBEEx, 1 2E Ax, 1 3 (2) 3 E Mx, 2 11 11 2 3332 3 ()(2) 223363 SEFE ME Exxxx 当 10 2 3 x 时,S为AEF的面积, 所以 112 32 3 2 2233 SEF AE, 当104 3 x 时,如图 3 90A

25、CB,60B,3BC , 3 3AC, 3AO , 3 3 OF , 35 3 3 33 33 CF, 此时 1 10 3 BB ,即当 11 BC过点F时 10 3 x , 当 10 3 x 时, 310 () 23 FMx,在RT NMF中, 310 3() 23 NMFMx, NMF的面积为: 11310310 ()() 222323 FM MNxx, 2 2 313103103 357 3 ()() 322323822 AEFNMF SSSxxxx , 当46x 时,如图 4, 90ACB,60B,3BC , 6AB, 1 6ABx, 1 1 (6) 2 DBx, 3 (6) 2 AD

26、x, 2 1 111333 39 3 (6)(6) 2222822 SDA DBxxxx, 综上可知S与x的函数关系式为: 2 2 2 32 3 (02) 63 2 310 (2) 33 3 357 3 10 (4) 8223 33 39 3 (46) 822 xxx x S xxx xxx 剟 , 故答案为: 2 2 2 32 3 (02) 63 2 310 (2) 33 3 357 3 10 (4) 8223 33 39 3 (46) 822 xxx x S xxx xxx 剟 10.【解答】解: (1)令2 3y ,2 332 3x,解得4x , 则431OA, (4C,2 3),(1D

27、,2 3); (2)由二次函数对称性得,顶点横坐标为1 45 22 , 令 5 2 x ,则 53 32 3 22 y , 顶点坐标为 5 ( 2 , 3) 2 , 设抛物线解析式为 2 53 () 22 ya x,把点(1D,2 3)代入得, 2 3 3 a , 解析式为 2 2 353 () 322 yx, 即 2 2 310 314 3 333 yxx, (3)设顶点E在直线上运动的横坐标为m,则(E m,32 3)(0)mm 可设解析式为 2 2 3 ()32 3 3 yxmm, 若GEEF时,2 3FGm,则(0F,2 32 3)m, 代入解析式得: 2 2 3 32 32 32 3 3 mmm,解得0m (舍去) , 3 2 m , 此时所求的解析式为: 2 2 333 () 322 yx;