1、山西省山西省 20202020 年年 4 4 月高三适应性考试文科数学试题月高三适应性考试文科数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.若复数z满足ii1z ，其中i为虚数单位，则z （ ） A.1
2、i B.1 i C.1i D.1i 2.已知0a，0b，mR，则“ab”的一个必要不充分条件是（ ） A. mm ab B. 22 ab mm C. 22 ambm D. 22 ambm 3.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成类型的标准：年龄中位数在 20 岁以下为 年轻型人口；年龄中位数在 2030 岁为成年型人口；年龄中位数在 30 岁以上为老年型人口. 全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响 上图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响.据此，对我国人口年龄构成的类型做出如 下判断： 建国以来直至 2000 年为成年型人口；从 2010 年至 202
3、0 年为老年型人口；放开二孩政策之后我国仍 为老年型人口. 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 4.已知函数 e3,1, ln ,1, x x x f x x 则关于函数 f x的说法不正确的是（ ） A.定义域为R B.值域为3, C.在R上为增函数 D.只有一个零点 5.在四边形ABCD中，3, 1AC ，2,BDm，ACBD，则该四边形的面积是（ ） A.10 B.2 5 C.10 D.20 6.天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的 变化.第一颗被描述的经典造父变星是在 1784 年. 上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化
4、图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的 周期、最亮时视星等，分别约是（ ） A.5.5，3.7 B.5.4，4.4 C.6.5，3.7 D.5.5，4.4 7.双曲线 1 C： 22 22 1 xy ab 与 2 C： 22 22 1 xy ba （0ab） 的离心率之积为 4， 则 1 C的渐近线方程是 （ ） A.yx B. 23yx C.2yx D. 23yx 8.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为 1，则此几何体的体积是（ ） A.279 B.2712 C.33 D.189 9.在OAB中，若OAOB，OAa，OBb，则 22 22 11 ABaba
5、b ab .类比上述结论，可 推测：在三棱锥OABC中，若OA，OB，OC两两垂直，OAa，OBb，OCc， 1BOC SS ， 2COA SS ， 3AOB SS ，则 ABC S （ ） A. 222 111 abc abc B. 123 222 123 111 S S S SSS C. 222 abc D. 222 123 SSS 10.过点1, 1P作抛物线 2 yax（0a）的两条切线PA，PB，且PAPB，则a（ ） A. 1 4 B. 1 2 C.2 D.4 11.函数 2 sin22 3sin3xxf x ，若 12 4f xf x，则 12 xx的最小值是（ ） A. 6 B
6、. 4 C. 3 D. 2 3 12.已知长方体 1111 ABCDABC D，2ABAD， 1 4AA ，M是 1 BB的中点，点P在长方体内部或表 面上，且/MP平面 11 AB D，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（ ） A.6 B.4 2 C.4 6 D.9 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知集合 120Ax xx，集合B Z，则AB _. 14.已知 1 cos10 3 ，则 sin 270_. 15.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且costantan3aBABc，D为BC的 中点， 7 2 ADc，则 sin sin B C
7、_. 16.已知函数 3 f xxax，且 10 f ，则a_.若 f x在 1 xx， 2 xx（ 12 xx）处取得极 值， 记 11 ,A x f x， 22 ,B xf x， ,P m f m， 且 12 xmx.线段AP与曲线 yf x有异于A， P的公共点，则m的取值范围是_. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 数列 n a的前n项和为 n S，前n项积为 n T， 1 8T ， 11 4 nn SST
8、 对所有正整数n均成立. （1）求 n a； （2）当 99 2 n T 成立时，求n的最大值. 18.（12 分） 如图 1， 已知等边ABC的边长为 3， 点M，N分别是边AB，AC上的点， 且2BMMA，2ANNC. 如图 2，将AMN沿MN折起到AMN的位置. （1）求证：平面A BM平面BCNM； （2） 给出三个条件： AMBC； 二面角AMNC 大小为60； A 到平面BCMN的距离为 2 2 . 在中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答： 在线段AC上是否存在一点P，使三棱锥APMB 的体积为 3 4 ，若存在，求出 A P A C 的值；若不存在，请 说明理由. 注：如果
9、多个条件分别解答，按第一个解答给分。 19.（12 分） 现有某种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食附赠玩具 A，B，C 中的一个.对某零售店售出的 100 袋零食 中附赠的玩具类型进行追踪调查，得到以下数据： BBABC ACABA AAABC BABAA CAAAB ABCCC BCBBC CABCA BACAB BCBCB BCCCA BCCAA BCCCB ACCBB BACAB ACCAB BBBAA CABCA BCBBC CABCA （1）能否认为购买一袋该零食，获得玩具 A，B，C 的概率相同？请说明理由； （2）假设每袋零食随机附赠玩具 A，B，C 是等可能的，某人一次性购买
10、该零食 3 袋，求他能从这 3 袋零 食中集齐玩具 A，B 及 C 的概率p. 20.（12 分） 设函数 2 ln11 2 m xfxxx，其中mR. （1）当2m时，求曲线 yf x在点 2,2f处的切线方程； （2）讨论 f x的单调性. 21.（12 分） 已知椭圆C： 2 2 1 2 x y. （1）曲线D： 3 yx与C相交于A，B两点，H为C上异于A，B的点，若直线HA的斜率为 1，求直 线HB的斜率； （2）若C的左焦点为F，右顶点为E，直线l：4x.过F的直线 l 与C相交于P，Q（P在第一象限） 两点，与l相交于M，是否存在l使PFE的面积等于MPE的面积与QFE的面积之和
11、.若存在，求 直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作 答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作 答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系Ox中，直线l过点3,0A与点3, 6 B . （1）求直线l的极坐标方程； （2）已知圆C：cos.若曲线0与l，C相交于A，E两点；曲线 3 与l，C相交于
12、M，N 两点，E，N异于极点O，求证：/NE AM. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 3f xxxa，当3x时 f x的最小值是 2. （1）求a； （2）若2mna，求证： 22 51mn. 2020 年山西省高考考前年山西省高考考前适应性测试适应性测试 文科数学参考答案详解及评分说明文科数学参考答案详解及评分说明 评分说明： 1.考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规 定评分. 2.计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不 给分. A 卷选择题答案 一、选择题 1
13、.B【解析】由ii1z ，得 i1 i z ，化简得1 iz . 2.C【解析】A 是既不充分也不必要条件；B 是充分不必要条件；C 是必要不充分条件；D 是充要条件. 3.A【解析】根据题目中条件可以判断是正确的，是错误的. 4.B【解析】如图，由于分段函数 f x的值域为3,e 30,，因此选 B. 5.C【解析】因为ACBD，所以3 210AC BDm ，即6m， 所以四边形的面积为 2 222 3126 10 22 ACBD ，故选 C. 6.A【解析】根据图象中相邻最高点与最低点的位置，可以估计周期约为 5.5. 视星等数字越小亮度越高，故最亮时约为 3.7. 7.B【解析】由已知4
14、 cc ab ，即 2 4cab， 22 4abab，4 ba ab . 变形得 2 410 bb aa ，0ab，故23 b a ， 双曲线 1 C的渐近线方程为 23yx . 8.B【解析】由三视图可知，几何体是由一个底面半径为 3，高为 3 的圆柱体和一个底面边长为3 2，高为 2 的正四棱锥组合而成，圆柱体的体积为27，正四棱锥的体积为 12，所以几何体的体积为2712. 9.D 【解析】 当1abc 时， 易知 123 1 2 SSS， 此时ABC是边长为2的正三角形， 面积为 3 2 . 而由 A，B，C，D 四个选项的计算结果依次为3， 3 4 ，3， 3 4 .故选 D. 10
15、.A【解析】设 11 ,A x y， 22 ,B x y，2yax . PA的斜率为 1 2 PA kax，PA： 2 111 2yaxax xx. 把P的坐标代入上述方程得 2 111 121axaxx ， 2 11 210axax .同理 2 22 210axax . 12 1 x x a . 由PAPB， 12 221axax ， 12 2 1 4 x x a . 由得 1 4 a . 11.C【解析】 2 sin22 3sin32sin 2 3 xxxf x ，又 12 4f xf x， 所以 f x在 1 x， 2 x处取到最大值和最小值， 不妨设在 1 x处有最大值， 则 11 5
16、 12 xk ， 2 x处取到最小值， 则 22 12 xk ，得 1212 3 xxkk ， 1 k， 2 k Z.所以 12 xx的最小值为 3 . 12.D【解析】 如图所示，E，F，G，H，N分别为 11 BC， 11 C D， 1 DD，DA，AB的中点，则 11/ /EF B DNH， 1 /MN B A FG，所以平面/MEFGHN平面 11 AB D，所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部. 因为2ABAD， 1 4AA ，所以2EFHN，5EMMNFGGH，2 2GM ，E 到GM的距离为 2 23 2 5 22 ，所以 22 23 2 229 22 EFGH SS 梯
17、形 . B 卷选择题答案 1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.A 7.C 8.C 9.D 10.D 11.C 12.B A、B 卷非选择题答案 二、填空题 13.0,1 【解析】因为12Axx ，B Z，所以0,1AB . 14. 7 9 【解析】由 1 cos10 3 ，得 2 7 cos 2202cos101 9 ， 所以 7 sin 270sin 22090cos 220 9 . 15.2 【解析】由已知得 sinsin cos3 coscos AB aBc AB ， sincoscossin 3 cos ABAB ac A . sin 3 cos AB ac A . 由正弦定理
18、 sinsin ac AC ，得 sin sin3sin cos C AC A . 又因为sin0C ，tan3A， 3 A . 1 2 ADABAC， 2 2 222 117 444 ADABACbcbcc. 22 60bbcc，得2bc， 由正弦定理得 sin 2 sin B C . 16.3； 1 1 2 m. 【解析】 2 3fxxa， 130fa ，3a ， 此时 3 3f xxx， 2 33fxx. 令 0fx得1x， 1,2A ，1, 2B，又 3 ,3P m mm. 当P为切点时，由切线AP的斜率得 3 2 32 33 1 mm m m ， 化简得 2 12 311 1 mm
19、mm m ，解得 1 2 m . 由图象知，若线段AP与曲线 f x有异于A，P的公共点，则 1 1 2 m. 17.解： （1）由题意知， 1 48 nn SS . 令2n， 121 48aaa，解得 2 32a .2 分 由得： 1 48 nn SS （2n）. 得， 1 4 nn aa （2n） ， 当1n 时， 2 1 32 4 8 a a 也满足上式.4 分 n a是以 4 为公比的等比数列，故 121 8 42 nn n a .6 分 （2）由（1）知， 3 21 23521 2 12 22222 nn n nn nn Ta aa .8 分 由 99 2 n T 得 299 22
20、n n ， 2 2990nn，10 分 即1190nn，解得19n. 故正整数n的最大值为 9.12 分 18.（1）解：由已知得1AM ，2AN ，60A， MNAB.2 分 MNAM，MNAB，又MBAMM， MN 平面A BM.4 分 MN 平面BCNM， 平面A BM平面BCNM.6 分 （2）若用条件AMBC，由（1）得AMMN，又BC和MN是两条相交直线， A M平面BCNM.8 分 三棱锥ABCM 的体积为 13 333 3224 A BM VS .10 分 所以存在P，满足条件，且 3 3 4 23 2 P A BM C A BM VA P A CV .12 分 若用条件二面角
21、AMNC 大小为60，由（1）得AMB是二面角AMNC 的平面角， 60A MB.8 分 三棱锥ABCM 的体积为 13 33 324 A BM VS .10 分 所以存在P，满足条件，且1 A P A C .12 分 若用条件 A 到平面BCNM的距离为 2 2 ， 过 A 作AOBM，垂足为O，则AO平面BCNM，8 分 2 2 A O，45A MB或135A MB. 三棱锥ABCM 的体积为 13 363 3244 A BM VS ，11 分 所以不存在P，满足条件.12 分 19.解： （1）答案一：能.1 分 假设购买一袋该零食，获得玩具 A，B，C 的概率相同，此时购买一袋该零食获
22、得每一款玩具的概率均为 1 3 . 对统计数据整理，可得购买一袋该零食，获得玩具 A，B，C 的频率分别是 32%，35%，33%，与假设中的 概率非常接近， 故可以认为假设成立， 即能够认为购买一袋该零食， 获得玩具 A， B， C 的概率相同. 6 分 答案二：不能.1 分 对统计数据整理，可得购买一袋该零食，获得玩具 A，B，C 的频率分别是 32%，35%，33%，其中 35% 32%3%， 差别较大， 故不能够认为购买一袋该零食， 获得玩具 A， B， C 的概率相同. 6 分 （2）据题设知，将其购买的第一袋、第二袋、第三袋零食中附赠的玩具按顺序列出，可知共有 27 种不同 的可能
23、，即 AAA AAB AAC ABA ABB ABC ACA ACB ACC BAA BAB BAC BBA BBB BBC BCA BCB BCC CAA CAB CAC CBA CBB CBC CCA CCB CCC10 分 其中，可集齐三种玩具的情况共有 6 种可能（以下划线形式标出） ，而每种可能出现的机会相等， 根据古典概型的概率计算公式知 62 279 p .12 分 20.解： （1）当2m时， 2 ln32xxfxx ， 1 23x x fx， 3 2 2 f .又 2ln2f，2 分 故曲线 yf x在点 2,2f处的切线方程为322ln260xy.4 分 （2）由已知得 1
24、11 11 mxx m xf xx x .5 分 若0m，当01x时， 0fx；当1x 时， 0fx. f x在0,1上单调递增，在1,单调递减.7 分 若0m， ）当1m时，则 2 1 0 x fx x 恒成立，且只有1x 时 0fx ，因此， f x在0,上单 调递增；8 分 ）当1m时，则由 0fx得1x 或 1 0x m ；由 0fx得 1 1x m ， f x在 1 0, m 上单调递增，在 1 ,1 m 上单调递减，在1,上单调递增；10 分 ）当01m时，则由 0fx得 1 x m 或01x；由 0fx得 1 1x m ， f x在0,1上单调递增，在 1 1, m 上单调递减，
25、在 1 , m 上单调递增.12 分 20.解： （1）由已知设,H x y， 11 ,A x y， 11 ,Bxy，于是有 22 22xy， 22 11 22xy，相减得 2222 11 2xxyy.2 分 又 22 111 22 111 1 2 HAHB yyyyyy kk xxxxxx .4 分 1 HA k， 1 2 HB k .5 分 （2）设 0 4,My， 33 ,P x y， 44 ,Q x y， 则 0303 111 222 MPE SFEyFEyFEyy ， 34 11 , 22 PFEQFE SFE y SFEy . 由 PFEMPEQFE SSS 得 034 2yyy.
26、7 分 设l：1xmy，令4x，得 0 5 y m ， 34 5 2yy m .9 分 把1xmy代入 2 2 1 2 x y得 22 2210mymy . 34 2 2 2 m yy m ， 34 2 1 2 y y m .11 分 联立得 3 2 52 2 m y mm ， 4 2 45 2 m y mm . 把代入得 222 52451 222 mm mmmmm .12 分 化简得 42 19500mm，由于此方程无解，故所求直线 l 不存在. 22.解：设,P 为AB延长线上任意一点，则 OABOBPOAP SSS ， 即 111 3 3 sin3sin3sin 26262 .2 分
27、化简得33 sincos， 即l的极坐标方程为 3 2sin 6 . 当P在AB之间或在BA的延长线上时，可得同样的方程.5 分 （2）把0代入cos得1OE ，由题知3OA .6 分 把 3 代入cos得 1 2 ON ； 把 3 代入 3 2sin 6 得 3 2 OM .8 分 1 3 OEON OAOM ，/NE AM.10 分 23.解：因为3x，所以30x ，所以 33xxaf xxxa . （1）当3a时， 23, 3,3. xaxa a ax f x 所以 min 3f xf aa .2 分 由32a，得1a .3 分 当3a 时，因为3x，所以0xa， 23xxaf . 所以 min 33f xfa . 由32a ，得5a. 综上1a 或5a.5 分 （2）证明：当1a 时，21mn. 所以 2 222222 51221mnmnmn.7 分 当5a时，25mn. 所以 2 222222 5122251mnmnmn. 综上，得证.10 分