1、 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 之前我们已经学习了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题中的数量关系，这时候就 第第一一讲讲 和差倍中的隐藏条件和差倍中的隐藏条件 7 需要把“隐藏”了的和差倍关系找出来，其中寻找不变量就是一个重要的手段 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 分析:在游戏过程中，两人的棋子数始终在变化那有没有什么量是不变的？ 从上面的故事你能得到什么样的结论？ 总结：_ 小 故 事 阿呆和阿瓜去包子铺买包子，一共买了 250 个包子，阿呆看阿瓜不够吃，分了 10 个 包子给阿瓜，阿瓜不好意思，把自己的一半拿出来给了阿呆，阿呆不高兴了，把自己的包 子分成 10 份，挑了其中的 8 份给阿瓜，阿瓜执拗不过阿呆，最后给了阿呆一
3、个包子，这 么折腾下来，现在两人一共有多少个包子？ 练习 1 有大小两个水瓶，分别装有 690 毫升和 210 毫升水现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水 没有溢出） ，大瓶里的水量变成了小瓶的 2 倍请问：从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？ 小高和墨莫玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子一开始小高有 18 枚棋子，墨莫则 有 22 枚玩了若干局之后，小高反而比墨莫多了 10 枚棋子请问：此时小高有多少枚棋子？ 例题 1 8 分析:两条绳子同时剪短，那它们的长度和就不是不变量了这一次，不变量又会是谁呢？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 前面 2 道例题都是通过寻找不变量来进行解决的，不变量主要有两种情形： “和不变”与“差 不变” ，在寻找不变量时，有两句小口诀可以记下： 给来给去和不变，同增同减差不变 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
5、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 当然， 并不是所有的题目都能有不变的“和”或 “差” ，这时分析倍数所对应的和或差就非常重要， 我们常用的方法是画出线段图 小 判 断 小山羊把 10 捆草分给大山羊，不变量：_ 两根木头，每次锯掉的部分一样
6、长，不变量：_ 小糊涂和大糊涂去炒股，最后都赚了 250 元，不变量：_ 儿子和爸爸比年龄，无论过了几年，不变量：_ 练习 2 两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条， “叽叽”吃的面条比较长，有 40 厘米； “喳喳”吃的 比较短， 只有 25 厘米 它们吃面条的速度相同， 过了一段时间后， 长面条的长度是短面条的 2 倍 那 么此时短面条还剩多少厘米？ 小高家有两根绳子，长的那根有 163 米，短的只有 97 米他把两根绳子剪去同样多的长度， 结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的 7 倍还多 6 米那么两根绳子都剪去了几米？ 例题 2 9 - - - - - - - - - - - - - - -
7、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 分析:寻找题目中的倍数关系，这时的倍数关系所对应的和或差，你知道哪个？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8、 - - - - - 下面，我们来看看如何找出隐藏的“差”条件 练 1： 阿呆和阿瓜一样多， 阿呆又买了 4 块，阿瓜买了 29 块， 谁的糖多？多多少块？ 练 2： 阿呆比阿瓜多 10 个，阿呆又买了 4 块， 阿瓜吃了 2 块，谁的糖多？多多少块？ 练习画图练习画图 画图举例画图举例 例子：阿呆比阿瓜多 18 块糖，阿瓜给阿呆 2 块后，谁的糖多？多多少块？ 阿瓜 阿呆 18 后 后 22 2 2 阿呆糖多，多 22 块 练习 3 阿呆和阿瓜一起一共有 100 元钱阿呆花了 10 元买零食，阿瓜花了 40 元买玩具，这时阿呆 的钱是阿瓜的 4 倍那么后来阿呆有多少钱？ 阿呆和阿瓜一共有 1
9、30 元钱每包瓜子 5 元钱，阿呆买了两包瓜子两人分着吃，吃完后阿瓜 把自己的钱两人平分，这时阿呆的钱是阿瓜的 5 倍那么后来阿呆有多少钱？ 例题 3 10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 分析：寻找 3 倍关系下粗蜡烛和细蜡烛的长度差？ 分析：寻找 3 倍关系下蓝盒和红盒的球数差？试着画出线段图表示一下 红、蓝两个盒子中各有
10、一些球，红盒中的球比蓝盒多 5 个如果从红盒中取出 12 个球，然后向 蓝盒中放入 19 个球，那么蓝盒中的球就是红盒的 3 倍求最后红盒和蓝盒中各有多少个球？ 例题 5 练习 4 莉娅和萱萱都在织围巾，现在两人已经织好的围巾长度相同，但萱萱织得比较快在接下来 的两个月里，萱萱可以织 120 厘米，而卡莉娅只能织 45 厘米，因此两个月后，萱萱围巾的长度将 会是卡莉娅的 2 倍那么现在卡莉娅的围巾有多长？ 有两根蜡烛，粗蜡烛比细蜡烛长 15 厘米把它们同时点燃1 小时后细蜡烛缩短了 20 厘米， 而粗蜡烛只缩短了 15 厘米此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的 3 倍请问：粗蜡烛还剩多长？ 例题 4
11、练 3：阿瓜给阿呆 2 块后阿呆和阿瓜一样多，之前谁的糖多？多多少块？ 练 4：阿瓜给阿呆 8 块后阿瓜比阿呆多 27 块，之前谁的糖多？多多少块？ 11 分析：开始时甲堆和乙堆中的卡片差几张？分析清楚倍数关系下甲乙两堆差多少张？ 作业作业 1. 有大小两个水瓶，分别装有 430 毫升和 250 毫升水现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有溢 出） ，大瓶里的水量和小瓶一样多则从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？ 2. 小高的积分比墨莫多 30 分老师给他们每人发了 100 分后，小高的积分比墨莫的 2 倍少 90 分那 么墨莫后来有多少分？ 课课 堂堂 内内 外外 爱迪生是美国人，生于 1847
12、年他从小很喜欢问大人“为什么” ，让大人无法回答5 岁 时，他看见鹅在孵蛋，就把鹅赶走，自己蹲在那里，想帮母鹅孵蛋爱迪生进小学读了 3 个月， 老师说他是低能儿，只好回家靠妈妈的教导及自修努力学习 爱迪生 13 岁在火车上边卖报边做实验，一次意外实验的时候磷倒了出来，烧坏了车箱地 板，他被管理员打伤右耳，从此成了半个聋子23 岁到纽约闯天下，发明了一部电报机，赚 了 40000 美元，辞掉工作专心研究 爱迪生在 1879 年 10 月 31 日发明电灯他每天工作超过 18 小时以上，不停的努力，不断 发明有用的东西他一生中发明 1093 件专利有人认为他是天才，他认为天才是百分之一的 灵感加上
13、百分之九十九的努力，他有很大的勇气和坚强的毅力承受失败的打击，他也常常鼓励 别人他到 80 岁还在研究他完全不懂的植物 爱迪生与电灯 有甲、乙两堆卡片，如果从甲堆中拿出 16 张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等；如果从乙堆 卡片中拿出 11 张放入甲堆中，则甲堆的张数是乙堆的 3 倍多 10求甲、乙两堆卡片各有多少张？ 例题 6 12 3. 有两支粗细、材料都相同的蜡烛，长的能烧 100 分钟，短的能烧 70 分钟同时点燃这两支蜡烛， 过多少分钟后，长蜡烛长度是短蜡烛的 3 倍？ 4. 小山羊和卡莉娅两人开始有一样多的饼干小山羊比较贪吃，过了几天，小山羊已经吃了 39 块饼 干，而卡莉娅只吃了
14、 17 块此时卡莉娅剩下的饼干数量是小山羊的 3 倍，那么卡莉娅原来有多少 块饼干？ 5. 红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多 7 个如果向红盒中放入 28 个球，并从蓝盒 中取出 5 个球，此时红盒中的球是蓝盒的 3 倍则后来红盒里有多少个球？ 13 第一讲 和差倍中的隐藏条件 1. 例题 1 答案：25 枚 详解：后来两人一共 40 枚棋子小高(4010) 225 枚，墨莫 15 枚 2. 例题 2 答案：87 米 简答：开始两根绳子相差1639766米，减去同样长的两段后，还是相差 66 米后来短绳子长度为 (666)7110米剪去了971087米 3. 例题 3 答案：10
15、0 元 简答：买完瓜子后，一共 120 元后来阿瓜有 1205120 元阿呆有20 5100 元 4. 例题 4 答案：30 厘米 简答： 点燃后， 粗蜡烛比细蜡烛长15 152020厘米 后来细蜡烛有 203 110 厘米 粗蜡烛有10 330 厘米 5. 例题 5 答案：13 个，39 个 简答：后来红盒比蓝盒少12 19526个，这时红盒有 263 113 个蓝盒有13 339 个 6. 例题 6 答案：65 张，33 张 简答： “如果从甲堆中拿出 16 张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等”说明甲比乙多 32 张 “从乙堆卡片中 拿出 11 张放入甲堆中” ， 这时甲比乙多32 11
16、254张， 这时乙有 54103 122 张， 甲有225476 张开始甲有76 1165张，乙有22 1133张 7. 练习 1 答案：90 毫升 简答：后来两瓶水一共690210900毫升小瓶有 90021300 毫升，大瓶倒了30021090毫升给 小瓶 8. 练习 2 答案：15 厘米 简答：减去同样长的两段后，还是相差 15 厘米后来短面条长度为 152115 厘米 9. 练习 3 答案：40 元 简答：买完东西后，一共 50 元后来阿瓜有 504110 元阿呆有10 440元 10. 练习 4 答案：75 厘米 简答：两个月后，萱萱比卡莉娅长1204575厘米这时卡莉娅有 752175 厘米 14 11. 作业 1 答案：90 毫升 简答：倒完后各有 4302502340 毫升，那么倒了43034090毫升 12. 作业 2 答案：120 分 简答：发完后小高还是比墨莫多 30 分墨莫后来有 309021120 分 13. 作业 3 答案：55 分钟 简答：能烧的时间差为 30 分钟，所以过 70100703 155 分钟 14. 作业 4 答案：50 块 简答：小山羊剩下的饼干有 39173 111 块，原来有 50 块 15. 作业 5 答案：60 个 简答：后来红盒比蓝盒多728540个则后来蓝盒有 403 120 个，红盒有 60 个