1、第七讲 数阵图初步 前续知识点：一年级第一讲；XX 模块第 X 讲 后续知识点：X 年级第 X 讲；XX 模块第 X 讲 在一棵小松树上挂满小礼物，缀上彩带，点上彩灯或蜡烛，就成了圣诞树在美丽的几何 图形中按照巧妙的规律点缀上一些数，就成了数阵图 数阵图就是将一些数按照一定规律排列而成的图形，有时也简称数阵例如下图就是一个 数阵图图中每条边的和都等于 14这个相等的和通常也被称为“公共和公共和” 要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情数阵图种类繁多，奇妙无穷它 是一座真正的数字迷宫，对于喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，连大数学家欧拉 对它都有着浓厚的兴趣 让我们来欣赏这些美妙的数阵
2、图吧 10 3 11 2 1 4 9 6 7 8 5 【分析】一条边上三个数之和为 11，那么只要知道其中两个数，就可以把第三个数填出来了， 观察一下，哪一行是可以直接填出来的？ 在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形每条边上的三个 数之和都等于 14 【分析】每条边上的三个数之和并不知道，也不能直接算出但由于每条边上的和是相等的， 我们可以比较其中两个和，观察一下，根据上边三个数之和与右边三个数之和相等，你能判断 出右下角应该填几吗？ 在下图的八个圆圈中分别填入八个不同的自然数， 使正方 形每条边上的三个数之和相等现在已经填好了五个数， 那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整
3、 例题例题 2 2 1 16 9 6 7 练 习 1 1 在图中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形 每条边上的三个数之和都等于 11 例题例题 1 1 2 5 1 1 5 2 3 在图中九个圆圈中分别填入九个不同的自然数，使得图中六条直线上的三个数之和相 等现在已经填入五个数，请将其补充完整 上面的数阵图都已经填入了一部分数，有时我们遇到的数阵图中完全没有任何数，这时我 们应当先想办法计算公共和 【分析】所有数的和是可以算出来的你能根据这个总和算出行和、列和分别应该是多少吗？ 配对的想法很重要哦！ 将 0 至 11 这 12 个自然数填入下图的方格中，使得各列上两个 数的和都相等，各
4、行六个数的和也相等(行的和与列的和可以不 相等) 虽然上述例题没有直接告诉我们公共和，但是我们还是有办法“算”出这个和来请同学 们记住，比较复杂的数阵图，不是“凑”出来的，而是“算”出来的 这一讲的最后，我们要学会一个新的概念：重（重（ch ngch ng）数数 练 习 3 3 把 1 至 8 分别填入图中的八个方格内，使得各列上两个数 之和都相等，各行四个数之和也相等(行的和与列的和可 以不相等) 例题例题 3 3 3 16 12 4 10 练 习 2 2 我们再来看看本篇开头的数阵图： 通过观察这个数阵图我们发现，中心圆是最特殊的，每一条直线都有它如果我们把 5 条 直线和相加，这个圆就被
5、加了 5 次，这时我们就说这个圆圈的“重数”是 5这里“重数”的 意思是指圆圈重复计算的次数下面我们就来看看与重数有关的问题 【分析】7 个圆圈中的数之和即 17 之和为 28，而把三条直线的三个和加在一起却是 30，为 什么会多出来 2 呢？根据这个 2，那个圆圈是可以计算出来的？ 萱萱把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数填入下图的七个方框里，每个数只填 一次使得三条直线上的三个数之和恰好分别是 8、11、15请给出一种填法 练 习 4 4 把 1 至 7 这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上 三个圆圈内所填数之和都是 10 例题例题 4 4 【分析】你能找到图中的七个三角形吗？已
6、知每个三角形的三个顶点上数之和都是 15，根据这 个条件我们最先能填出哪个位置上的数呢？ 【分析】哪个位置最特殊？你能算出这个特殊位置上的数时多少吗？ 把 1 至 11 填入下面“六一”图形的十一个空格内，使得每 一条直线上的所有数之和都相等 例题例题 6 6 将 1 至 9 分别填入下图中的圆圈内，使得图中所有三角形 （共七个）的三个顶点上的数之和都等于 15现在已经填 好了其中三个，请你在图中填出剩下的数 例题例题 5 5 5 6 9 古代阵法 鱼鳞阵：大将位于阵形中后，主要兵力在中央集结，分作若干鱼鳞状的小 方阵，按梯次配置，前端微凸，属于进攻阵形战术思想：“中央突破” 集 中兵力对敌阵
7、中央发起猛攻，已方优势时使用，阵形的弱点在于尾侧 锋矢阵：大将位于阵形中后，主要兵力在中央集结，前锋张开呈箭头形状， 也是属于进攻阵形战术思想： “中央突破” 锋矢阵的防御性较鱼鳞阵为好， 前锋张开的“箭头”可以抵御来自敌军两翼的压力，但进攻性稍差，阵形的弱 点仍在尾侧 鹤翼阵：大将位于阵形中后，以重兵围护，左右张开如鹤的双翅，是一种 攻守兼备的阵形战术思想：左右包抄鹤翼阵要求大将应有较高的战术指挥 能力，两翼张合自如，既可用于抄袭敌军两侧，又可合力夹击突入阵型中部之 敌，大将本阵防卫应严，防止被敌突破；两翼应当机动灵活，密切协同，攻击 猛烈，否则就不能达到目的 偃月阵：全军呈弧形配置，形如弯
8、月，是一种非对称的阵形，大将本阵通 常位于月牙内凹的底部作战时注重攻击侧翼，以厚实的月轮抵挡敌军，月牙 内凹处看似薄弱，却包藏凶险，大将本阵应有较强的战力，兵强将勇者适用， 也适用于某些不对称的地形 课课 堂堂 内内 外外 作业 1. 在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都等于 14 2. 把 1 至 12 分别填入六角星图案的十二个圆圈中，使得每条线段上的四个数之和相等现在如图已经填 好了八个数，请把数阵图补全 3. 将 15 填入图中的圆圈中，使得横、竖、大圆周上的几个数之和都相等 4. 如图，把 1 至 9 填入九个方格内，使得这四条旋臂上三个数之和分别是
9、8、13、16、17那么心形边界 上四个数的乘积最小是_ 5. 把 1 至 8 填入图中的圆圈内，使得每条直线上的数之和都相等请填出一种 第 5 题 第 4 题 第 3 题 6 3 2 7 8 1 5 10 第 2 题 1 5 2 3 第 1 题 第七讲 数阵图初步 1. 例题 1 答案：如图所示 详解：根据公共和 11，依次填出左下角为 4、右下角为 6、右边中间数为 3 2. 例题 2 答案：如图所示 详解：如右图，比较上边三个数和右边三的个数，它们的和相等，A 是公共部分，所以1 169B，即8B 这 时由下边三个数可以求出每条边上的三个数之和是76821，于是右上角填21 1 164
10、，左边中间填 21 1713 3. 例题 3 答案：如图，填法不唯一 详解：每列两个数的和都是相等的，每一行四个数的和也是相等的18共有 8 个数， 总和 为 36，所以每行四个数的和都是36218，而每列两个数之和都是3649首先， 将 18 分成四组： （1，8） 、 （2，7） 、 （3，6） 、 （4，5） ，每列填入一组，然后上下调整， 使得 两行的和都是 18 4. 例题 4 答案：如图所示，填法不唯一 详解：三个和相加，中间数加了 3 次，其余数各加了 1 次，即17 的和再加 上中间数，28230中间数，所以中间数为 1，然后再分别凑三对 9 即可： （2，7） 、 （3，6）
11、 、 （4，5） 5. 例题 5 答案：如图所示 详解： 在下图中， 观察 A、 5、 6 组成的三角形可知15564A ， 观察 5、 9、 B 组成的三角形可知15591B 类 似的方法可知15942C ，156 18D ，15267E ，15753F 1 16 9 6 7 A B 1 16 9 6 7 4 8 13 2 5 1 6 4 3 1 4 6 7 8 5 3 2 7 2 1 3 6 4 5 6. 例题 6 答案：填法不唯一，如图为一种填法 详解：十一个方格中的数之和是121166记每条直线上的所有数之和为 A，则五条直线上的五个和加在 一起是5A，其中右图中位置的数被多算了一次，
12、即566A因此填 4 时，A 为 14；填 9 时，A 为 15尝试可以排除填 4 的情况，因此填 9 7. 练习 1 答案：如图 详解：根据公共和 14 依次填出右上角为 8、右下角为 4、左下角为 7、左边中间数为 6 8. 练习 2 答案：如图所示 详解：如下图简答：方法与例题 2 相同，右下角填104 122，左下角填3 16 127， 每条直线上的和是104721，所以中间填214 161，上边中间填21 1038 9. 练习 3 答案：如图，填法不唯一 简答：每列两个数的和都是相等的，每一行六个数的和也是相等的011 共有 12 个数，总和为 66，所以每行四个数的和都是66233
13、，而每列两个数之和 都是66611首先，将 011 分成四组： （0，11） 、 （1，10） 、（2，9） 、 （3，8） 、 （4，7） 、 （5，6） ，每列填入一组，然后上下调整，使得两行的和都是 33 10. 练习 4 答案：中间填 3 简答： 七个数之和是123456728 ， 而三条直线上的三个和 加 起 来 是 81 11 53 4， 这 时 中 间 的 方 框 多 算 了 两 次 ， 所 以 中 间 填 342823要凑三个和是 8、11、15，只能是35715，32611， 3 148 6 9 11 1 3 5 10 7 8 2 4 5 6 9 A B F D E C 5
14、6 9 4 1 3 8 7 2 1 5 2 3 8 4 7 6 11 1 9 3 4 5 0 10 2 8 7 6 3 5 7 2 6 1 4 3 16 12 4 10 2 7 1 8 11. 作业 1 答案：如图 简答：先填右边，再填左边两个数 12. 作业 2 答案：如图 简答：通过比较法依次填出右下角、左下角、左上角、右上角 13. 作业 3 答案：如图 简答：把两个直线和、一个圆圈和相加，每个数都加了两次，由此可得公共和为 15，可得 中间填 5，其他尝试即可 14. 作业 4 答案：60 简答：九个方框中的数之和为12945，四条旋臂上的四个和相加为8 13 16 1754，中间的数多算了 三次，中间填544533通过拆分，边界上四个数乘积最小为1 2 6 560 15. 作业 5 答案：如图，填法不唯一 简答：其中两种填法如图八个圆圈中的数之和为 36，再 多加两次中间数，总和等于三条直线上三个相等的和相加， 所以中间可以填 3 或 6 6 3 2 7 8 1 5 10 11 9 4 12 第 2 题 1 5 2 3 6 7 8 4 第 1 题 第 3 题 5 1 3 4 2 3 4 7 5 6 1 2 8 6 2 8 3 7 1 4 5 第 5 题