1、 6 角是基本几何图形之一一些特殊角的度数如下： （1） 直角：90 度 （2） 平角：180 度 （3） 周角：360 度 第第十十六六讲讲 角度角度计算计算 7 在计算图形的角度时，我们经常用到以下知识： （1） 对顶角相等： 如上图所示，这样由两条直线相交两条直线相交得到的两个角叫做对顶角，它们的度数是相等的 （2） 三角形内角和为 180 度： 对于任意一个三角形有三个内角， 都可以如上右图这样把这三个角放在一起 不难看出这三个角的 度数之和是 180 度 例题例题1如图所示，1 等于 40 度，2 等于 50 度，3 等于 60 度，那么4 等于多少度？ 分析分析除了标出来的 4 个
2、角之外，a，b，c，d 能不能求出来？ 练习： 1. 如图，1 等于 40 度，2 等于 70 度，那么3 等于多少度？ 我们已经知道，三角形的内角和是 180.那么多边形的内角和呢？ 1 2 3 1 2 3 4 a b c d 8 我们都可以将多边形分成一些三角形： 例如，如上图，四边形、五边形、六边形分别可以分成 2 个、3 个、4 个三角形，这样它们的内角 和就相应为 360、540、720 我们发现，任意多边形按这种方式分成的三角形的个数总是比边数少 2，因此： 一般地，任意 n 边形，内角和为：2180n 例题例题2一个多边形的内角和是 1800 度，请问它是几边形？ 分析分析这个多
3、边形的内角和是 1800 度，那么它是多少个三角形拼起来的？ 练习： 2. 图中是一个正八边形，试求它的内角和 多边形里面的角叫做“内角” 那么很自然地，我们会联想到，有没有“外角”呢？有 如下图，我们知道1 是多边形的内角那么像2 这样在多边形外面，和1 紧挨着，一起拼成 一个平角的角，叫做外角 每一个内角都有两个对应的外角，例如下图中的4 和5 都是3 的外角 一个多边形中的每个内角的一个外角加起来，叫做这个多边形的外角和例如，下图中的六边形的 1 2 3 4 5 9 外角和，就是123456 外角也可以看成是沿着多边形行进时，每次转过的角度 例如，开篇故事中，墨莫每次转 45 度，这个
4、45 度，就是墨莫跑出的多边形的一个外角 那么外角和就是绕着多边形跑一圈一共转过的角度容易想到，总共转过的角度一个周角，也就是 360 对任意多边形，外角和是 360 度 想一想，你知道墨莫跑出了一个几边形吗？ 例题例题3如图所示，1 等于 100 度，2 等于 60 度，3 等于 90 度，那么4 等于多少度？ 分析分析这些角都是四边形的什么角？它们的和是多少？ 练习： 3. 如图所示，1 等于 130 度，2 等于 120 度请问：3 等于多少度？ 1 2 3 4 45 原来的方向 现在的方向 1 2 3 4 5 6 10 学过了以上的一些基本知识，下面我们就来看一个复杂图形的角度问题 例
5、题例题4如图所示，在三角形 ABC 中，12 ，34 ，5130 度那么A 等于多少度？ 分析分析 三角形内角和为 180 度，现在知道5 的度数，能求出哪些角的度数和呢？ 练习： 4. 如图所示在四边形 ABCD 中，12 ，34 ，5 和6 均为直角，那么7 等于多少 度？ 对于几何来说，作图也是非常重要的一部分内容，最后我们来看一道作图题： 例题例题5如图所示，纸上已经画有一个正方形请你用一块如下图所示的三角板做工具，在纸上画 出一个 75的角 分析分析三角板的三个角分别为 30、60和 90，分别和 75相差了多少呢？ 60 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 A B C
6、1 2 3 11 例题例题6如图所示，在正方形 ABCD 中有一个点 E，使得三角形 BCE 是正三角形试求EAB 的 大小 作业： 课课 堂堂 内内 外外 三角板是数学中的常用工具一副三角板由两个直角三角板组成 其中一个是等腰直角三角板， 它的两个锐角的度数都是45 它的两个直角边是等长的 容 易看出，两个这样的三角板可以拼出一个正方形，也可以拼出一个更大的等腰直角三角形 另一个直角三角板的两个锐角的度数分别是 30和 60把两个这样的三角板的长直角 边拼在一起，可以得到一个等边三角形这个三角板的斜边长度刚好是短直角边的两倍长 使用这样的一副三角板， 可以画出所有的度数是 15的倍数的角 也
7、就是说， 15、 30、 45、60、75、90、105、120、135、150、165和 180的角都可以画出来 因此学习几何时，三角板是特别重要的工具 三角板三角板 A B C D E 12 1. 如下图，1 等于 40 度，2 等于 80 度那么3 等于多少度？ 2. 正 12 边形的内角和是多少度？ 3. 如下图所示，1 等于 140 度，2 等于 80 度，3 等于 110 度，请问：4 等于多少度？ 4. 如下图所示，在三角形 ABC 中，12 ，34 ，60A度那么5 等于多少度？ 5. 如下图所示，纸上已经画了一个正方形，请你用图中所示的一块三角板做工具，在纸上画出一 个 10
8、5的角 第十六讲 角度计算 60 1 2 3 4 5 A B C 1 2 3 4 1 2 3 13 1. 例题 1 答案：30 度 详解： 如图， 由三角形内角和为 180 度， 可得5180405090 度 由对顶角相等可得，6590 度 再 由右边的三角形内角和 180 度得到4180906030 度 2. 例题 2 答案：12 边形 详解：1800 18010，由多边形内角和公式可知，这是一个10212边形 3. 例题 3 答案：110 度 详解：这些角都是四边形的外角，他们的和是四边形的外角和因此4360 1006090110 度 4. 例题 4 答案： 80 度 详 解 ： 在A B
9、 C中 ， 得 到241 8 01 3 05 0 度 由 于12 ，34 ， 这 样 12342241 0 0 度，因此，在ABC中，180 10080A 度 5. 例题 5 详解：如下图所示先用三角板的一边当尺子，画出正方形的对角线，得到一个 45 度的角再加上三角板上 的 30 度，就得到了一个 75 度的角 1 2 3 4 5 A B C A 1 2 3 4 5 6 14 6. 例题 6 答案：75 度 详解： 75 度906030EBAABCEBC度， EBA 是等腰三角形， 因此18030275EAB 度 7. 练习 1 答 案 ： 70 度 简答：如图， 由 对 顶 角 相 等 可
10、 得 ，4140 度 ，527 0 度 因 此 454 07 01 1 0 度，3180 11070 度 8. 练习 2 答案：1080 度 简答：方法 一，正八边形可以看成是正方形去掉四个等腰直角三角形，因此每个内角是 角形，因此18045135 ，总和是13581080 方法二，八边形可以分成 6 个三 内角和是18061080 9. 练习 3 答案：110 度 简答：这三个角的和是三角形的外角和，外角和为 360 度所以3360130120110 10. 练习 4 答案：90 度 简答：由 度 四边形内角和 360 度，容易得到12343609090180 形内角和因为12 ，34 ，所
11、以23180290 度再利用三角 180 度，得到71809090 度 11. 作业 1 A B C D E 60 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 15 答案：60 度 简答：由对顶角相等与三角形内角和 180 度；180408060度 12. 作业 2 答案：1800 度 简答：由多边形内角和公式可得：1221801800度 13. 作业 3 答案：30 度 简答：由外角和为 360 度可得：360 14080 11030度 14. 作业 4 答案：120 度 简答： 由三角形内角和 180 度可得：123418060120 度，120260度，18060120度 15. 作业 5 答案：如图 6. 105 度