1、S 第 1 页 （共 13 页） 开始 否 输出S 结束 是 第 4 题 图 江苏省南京市 2020 届高三年级 5 月份模拟考试 数学试题 (总分总分 160 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟) 一、填空题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上） 1设集合| 32,Mmmm Z, =R , 则NM = 2复数 i 1i z 复平面上对应的点位于第 象限 3某次测验，将 20 名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平 均分和标准差分别为 90，6；80，4则这 20 名学生成绩的方差 为 4执行如下图（
2、右）所示的程序框图，输出的 S 值为 5 抛掷甲、 乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1， 2， 3， 4 的正四面体， 其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则 x y 为整数的概率 是 6函数( )(3) x f xxe的单调递增区间是 7已知双曲线 22 1 35 xy mm 的离心率为 4 3 ，那么此双曲线的准线 方程为 8已知正四棱锥PABCD的体积为 4 3 ，底面边长为2，则侧棱PA的长为 . 9已知函数若则函数的最小正周期 为 . 10已知等差数列 n a满足： 12 8,6aa 若将 145 ,a aa都加上同一个数m，所得 的三个数依次成等比数列，则m的值为 11设函数
3、 ( )3sin() 3 f xx和 ( )sin( ) 6 g xx的图象在y轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M、N，已知O为原点，则OM ON 12设( )sin2cos2 ( ,)f xaxbx a bR，若( )f x的最大值为5，则ab的取值范围 ),20)( 6 sin()( xxf, 1) 3 2 ( f)(xfy S 第 2 页 （共 13 页） 为 13在ABCV中，角ABC， ，的对边分别是abc， ， 已知2b ，且 cos2coscos(C)1BBA，则2ac的最小值为 . 14已知正实数 x，y 满足 24 310xy xy ，则 xy 的取值范围为 二二、解答题、
4、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 已知ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，向量)sin, 1 (),(sinBnaAm （1）当Anmsin2 时，求b的值； （2）当nm /时，且aC 2 1 cos，求BA tantan的值. 16(本小题满分 14 分) 如图，四棱锥ABCDE中，ABBCBE、两两垂直且ABBCBE，/DE BC， =2DEBC，F是AE的中点. （1）求证：/BFACD面； （2）求证：ADEACD面面. 17(本小题满分 14 分) 为解决
5、城市的拥堵问题， 某城市准备对现有的一条 穿城公路MON进行分流， 已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向， 现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B，假设 高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km （1）求两站点, A B之间距离的最小值； （2）公路MO段上距离市中心O 30km处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个 以C为圆心，5km为半径的圆形保护区 则如何在古建筑群和市中心O之间设计出入口A， 才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？ S 第 3 页 （共 13 页） 18(本小题满分 16 分) 已知
6、点 M 是圆 C： 22 (1)8xy上的动点，定点 D（1，0） ，点 P 在直线 DM 上，点 N 在直线 CM 上，且满足2DMDP，NP DM=0，动点 N 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）若 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦，O 为坐标原点，求AOB 面积 S 的最大值 19(本小题满分 16 分) 设首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数, 总成立. （1）求证：数列是等比数列； （2）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小； （3）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小. 20(本小题满分 16 分) 已知函数( ), ( )ln (
7、 xx f xeax g xex e是自然对数的底数）. （1）若曲线( )yf x在1x 处的切线也是抛物线 2 4(1)yx的切线，求a的值； （2）若对于任意,( )0xR f x恒成立，试确定实数a的取值范围； （3）当1a 时，是否存在 0 (0,)x ，使曲线:( )( )Cyg xf x在点 0 xx处的切 线斜率与( )f x在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的 0 x的个数；若不存在，请说明 理由. 江苏省南京市 2020 届高三年级 5 月份模拟考试 CO N M B A S 第 4 页 （共 13 页） 数学附加题 （本部分满分本部分满分 40 分，考试时间分，考试时
8、间 30 分钟）分钟） 21选做题选做题（本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作 答若多做，则按作答的前两小题评分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） A.（选修 4-2：矩阵与变换） （本小题满分 10 分） 设矩阵 12 21 A ，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量. B.（选修 4-4：坐标系与参数方程） （本小题满分 10 分） 在极坐标系中，求曲线2cos 关于直线 4(R)对称的曲线的极坐标方程 C(选修 4-5：不等式选讲） （本小题满分 10 分） 已知关于x的不等式 2 0xaxb的解集为(1 2)，其中ab，R，求函数 ( )(1
9、)3(1) 4f xaxbx的最大值 必做题必做题 （第 22、 23 题， 每小题 10 分， 计 20 分 请把答案写在答题纸的指定区域内） 22 （本小题满分 10 分） 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。 已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成。 （1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （2）若考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响。试从至少正确 完成 2 题的概率分析比较两位考生的实验操作
10、能力 2 3 S 第 5 页 （共 13 页） 23 （本小题满分 10 分） 已知 2 012 (1)(1)(1)(1) ,(*). nn n xaa xa xaxnN (1) 求 0 a及 1 n ni i Sa ； (2) 试比较 n S与 2 (2)22 n nn的大小，并说明理由. 江苏省南京市 2020 届高三年级 5 月份模拟考试 S 第 6 页 （共 13 页） 数学参考答案 一、填空题一、填空题：本大题共本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 1. 101-2-， 2. 一 3. 51 4. 8 5. 1 2 6. （2,）7. 9 2 8
11、y 8. 3 9. 10. -1 11. 8 9 12. 10, 10 13. 24 14. 1， 8 3 二、 解答题：二、 解答题： 本大题共本大题共 6 小题， 计小题， 计 90 分分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内请把答案写在答题纸的指定区域内. 15(本小题满分 14 分) （1）由题意得：ABaAnmsin2sinsin 2 分 即得 BA a sin 1 sin 在三角形中由正弦定理有： B b A a sinsin 4 分 由以上两式可知：1b6 分 （2）由平行条件得BAasi
12、nsin8 分 aBABABAC 2 1 coscossinsin)cos(cos10 分 则可得到：aBA 2 1 coscos12 分 2 coscos sinsin tantan BA BA BA14 分 16 （本小题满分 14 分） （1）取AD的中点M，连接CM、MF. FM、分别为AEAD、中点 /2DEMF 又/2DEBC /FM BC 即四边形BCMF为平行四边形 /CM BF 又BF 面ACD，CM 面ACD /BFACD面6 分 （2）作DE中点N，连接CN /2DEBC，N为DE中点N DNBC 又ABBCBE、两两垂直且ABBCBE ACCD M为AD中点 CMAD
13、4 S 第 7 页 （共 13 页） N B E O A F C M y x 又F是AE的中点且ABBE BFAE /CM BF CMAE 又,ADAEA AEAD、面ADE CM面ADE CM 面ACD ADEACD面面14 分 17.（本小题满分 14 分） （1）过O作直线OE AB 于E，则10,OE 设,EOA 则 3 ,(), 442 EOB 故 3 10tan,10tan(), 4 AEBE 3 sin() 3sin 4 10tantan()10() 3 4cos cos() 4 AB 3 10sin 4 , 3 coscos() 4 又 32212 coscos()cos(co
14、ssin)sin(2) 422244 ， 由 42 ，得 3 2(,), 444 故 max 322 coscos() 44 ，当且仅当 3 2, 428 时取等号 此时，AB有最小值为20( 21) 即两出入口之间距离的最小值为20( 21) . （2）由题意可知直线AB是以 O 为圆心，10 为半径的圆 O 的切线， 根据题意，直线AB与圆 C 要相离，其临界位置为直线AB与圆 C 相切，设切点为 F 此时直线AB为圆 C 与圆 O 的公切线 因为，出入口A在古建筑群和市中心O之间， 如图，以 O 为坐标原点，以 CO 所在的直线为x轴， 建立平面直角坐标系xoy 由 CF=5，OE=10
15、， 因为圆 O 的方程为 22 100xy，圆 C 的方程为 22 (30)25xy， 设直线 AB 的方程为(0)ykxt k， S 第 8 页 （共 13 页） 则 2 2 10,(1) 1 30 5,(2) 1 t k kt k ，所以， （1）/（2）得2 30 t kt ， 所以 20tk 或 60tk ， 所以此时( 20,0)A 或( 60,0)A （舍去） ，此时 20OA ， 又由（1）知当/ /ABON时，10 2,OA 综上，(10 2,20)(60,).OA 即设计出入口 A 离市中心 O 的距离在10 2km到20km之间时，才能使高架道路及其延伸段 不经过保护区.
16、18.（本小题满分 16 分） 解： （1）因为DPDM2,0DMNP，所以NP为DM的垂直平分线， 所以| |NDNM，又因为22| NMCN, 所以| 2 22CNND , 所以动点N的轨迹是以点( 1,0),(1,0)CD为焦点的长轴为2 2的椭圆 所以轨迹E的方程为1 2 2 2 y x (2)因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点,A O B能构成三角形， 则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为ykxm， 由 2 2 , 1. 2 ykxm x y ，消去y，并整理，得 222 (1 2)4220kxkmxm. 设),( 11 yxA，),( 22 yxB， 又 2222
17、 164(1 2)(22)0k mkm , S 第 9 页 （共 13 页） 所以 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 2(1) 1 2 m x x k ，因为2|AB, 所以2)(1 ( 2 12 2 xxk，即44)(1 ( 21 2 12 2 xxxxk 所以 2 2 2 22 48(1) (1)4 1212 kmm k kk ，即 2 2 1 2(1) 1 m k ， 因为 2 11k，所以 2 1 1 2 m又点O到直线AB的距离 2 | 1 m h k ， 因为 1 | 2 SAB hh，所以 22 Sh 22 2(1)mm 22 11 2() 22 m 所以 2
18、 1 0 2 S，即S的最大值为 2 2 19 （本小题满分 16 分） ()证:因为对任意正整数，总成立, 令，得,则(1 分) 令，得 (1) , 从而 (2), (2)(1)得：,(3 分) 综上得,所以数列是等比数列(4 分) （）正整数成等差数列，则,所以, 则(7 分) 当时，(8 分) 当时，(9 分) 当时，(10 分) （）正整数成等比数列，则,则, 所以 S 第 10 页 （共 13 页） 分 当,即时， (14 分) 当,即时，(15 分) 当,即时，(16 分) 20 （本小题满分 16 分） 解：（1） / ( ) (1) x fxea fea， 所以在1x 处的切线
19、为()()(1)yeaea x 即：()yea x 2 分 与 2 4(1)yx联立，消去y得 22 ()440eaxx， 由0 知，1ae 或1ae . 4 分 （2） / ( ) x fxea 当0a 时， / ( )0, ( )fxf x在R上单调递增， 且当x 时，0, x eax ， ( )f x ，故( )0f x 不恒成立，所以0a 不合题意 ；6 分 当0a 时，( )0 x f xe对xR恒成立，所以0a 符合题意； 当0a 时令 / ( )0 x fx ea，得ln()xa， 当( ,ln()xa 时， / ( )0fx ， 当(ln(),)xa时， / ( )0fx ，
20、故( )f x在(,ln()a上是单调递减， 在(ln(),)a 上是单调递增, 所以 min ( )(ln()ln()0,f xfaaaaae 又0a ， (,0)ae ， 综上：(,0ae . 10 分 (3)当1a 时，由（2）知 min ( )(ln()ln()1f xfaaaa ， 设( )( )( )ln xx h xg xf xexex，则 / 11 ( )ln1(ln1)1 xxxx h xexeeex xx ， S 第 11 页 （共 13 页） 假设存在实数 0 (0,)x ，使曲线:( )( )Cyg xf x在点 0 xx处的切线斜率与( )f x 在R上的最小值相等，
21、 0 x即为方程的解，13 分 令 / ( )1h x 得： 1 (ln1)0 x ex x ，因为0 x e ， 所以 1 ln10x x . 令 1 ( )ln1xx x ，则 / 22 111 ( ) x x xxx ， 当01x是 / ( )0x，当1x 时 / ( )0x，所以 1 ( )ln1xx x 在(0,1)上单调 递减， 在(1,)上单调递增，( )(1)0x,故方程 1 (ln1)0 x ex x 有唯一解为 1， 所以存在符合条件的 0 x，且仅有一个 0 1x . 16 分 附加题参考答案附加题参考答案 21A. 矩阵A的逆矩阵为 12 33 21 33 ， 则特征多
22、项式为 22 1421 ( )() 3933 f 令( )0f， 解得 12 1 1, 3 ， 设特征向量为 x y ， 则 12 33 21 33 xx yy ， 易算得特征值 1 1 对应的一个特征向量为 1 1 ， 同理可得特征值 2 1 3 对应的一 个特征向量为 1 1 10 分 21B解法一：以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立直角坐标系， 则曲线2cos 的直角坐标方程为 (x1)2y21，且圆心 C 为(1，0)4 分 直线 4的直角坐标方程为 yx， 因为圆心 C(1，0)关于 yx 的对称点为(0，1)， 所以圆心 C 关于 yx 的对称曲线为 x2(y1)21 8 分 S
23、 第 12 页 （共 13 页） 所以曲线2cos 关于直线 4(R)对称的曲线的极坐标方程为2sin10 分 解法二：设曲线2cos 上任意一点为(，)，其关于直线 4对称点为(，)， 则 ， 2k 2 6 分 将(，)代入2cos，得2cos( 2)，即2sin 所以曲线2cos 关于直线 4(R)对称的曲线的极坐标方程为2sin10 分 21C. 因为不等式 2 0xaxb的解集为(1 2)， 所以可得，3a ，2b 又函数( )(1)3(1) 4234f xaxbxxx， 由柯西不等式可得， 22222 (234) (21 )(3)( 4) 5xxxx， 当且仅当234xx，即 16
24、3 4 5 x ，时取等号 所以，当 16 5 x 时, 函数( )f x取得最大值5 22(本小题满分 10 分) 解：（）设考生甲正确完成实验操作的题数分别为， 则，所以， 2 分 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为： 1 2 3 ； 4 分 （）设考生乙正确完成实验操作的题数为，则 ，所以， 6 分 X (3,4,6)XH 3 42 3 6 () kk C C P Xk C 1,2,3k X P 1 5 3 5 1 5 131 ()1232 555 E X Y 2 (3, ) 3 YB 3 3 21 ()( ) ( ) 33 kkk P YkC 0,1,2,3k 12820
25、(2) 272727 P Y S 第 13 页 （共 13 页） 又且， 8 分 从至少正确完成 2 题的概率考察，甲通过的可能性大， 因此可以判断甲的实验操作能力较强。 10 分 23(本小题满分 10 分) 令1x ，则 0 2na ，令2x ，则 0 3 n n i i a ，所以 1 32 n nn ni i Sa 2 分 要比较 n S与 2 (2)22 n nn+的大小，只要比较3n与 2 (1)22 n nn+的大小 当1n 时， 2 3(1)22 nn nn+；当2n 或3时， 2 3(1)22 nn nn+， 当4n 或5时， 2 3(1)22 nn nn+， 猜想：当4n时
26、， 2 3(1)22 nn nn+下面用数学归纳法证明：4 分 由上述过程可知，当4n 时，结论成立5 分 假设当 * (4,)nk kkN时结论成立，即 2 3(1)22 kk kk+， 两边同乘以3，得 12122 33(1)2222(1)(3)2442 kkkk kkkkkkk + +， 而 22 (3)2442(3)24(2)6 kk kkkkkk+ (3)24(2)(1)60 k kkk+， 所以 112 3(1) 122(1) kk kk + +， 即1nk+时结论也成立 由可知，当4n时， 2 3(1)22 nn nn+成立9 分 综上所述，当1n 时， 2 3(1)22 nn nn+；当2n 或3时， 2 3(1)22 nn nn+； 当4n时， 2 3(1)22 nn nn+10 分 314 (2), 555 P X (2)(2)P XP Y