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辽宁省2020届高考理科数学押题卷(含答案)

1、辽宁省辽宁省 2020 年高考押题试卷年高考押题试卷 理数理数 第卷第卷 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的目要求的. . 1.已知集合 4 |0 2 x AxZ x , 1 |24 4 x Bx,则AB=( ) A | 12xx B 1,0,1,2 C 2, 1,0,1,2 D0,1,2 2.已知i为虚数单位,若复数 1 1 ti z i 在复平面内对应的点在第四象限,则t的取值范围为( ) A 1,1 B( 1,1) C(, 1) D

2、(1,) 3.下列函数中,既是偶函数,又在(,0)内单调递增的为( ) A. 4 2yxx B | | 2 x y C.22 xx y D 1 2 log | 1yx 4.已知双曲线 1 C: 2 2 1 2 x y与双曲线 2 C: 2 2 1 2 x y ,给出下列说法,其中错误的是( ) A.它们的焦距相等 B它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D它们的离心率相等 5.在等比数列 n a中,“ 4 a, 12 a是方程 2 310xx 的两根”是“ 8 1a ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件 6.执行如图的程序框图,则输出

3、的S值为( ) A.1009 B-1009 C.-1007 D1008 7.已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A 1 63 B1 12 C 1 123 D 1 43 8.已知函数( )sin()f xAx(0,0,|)A的部分图象如图所示,则函数 ( )cos()g xAx图象的一个对称中心可能为( ) A 5 (,0) 2 B 1 ( ,0) 6 C. 1 (,0) 2 D 11 (,0) 6 9.几何原本卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据, 通过这一原理, 很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明, 也称之为无字证明

4、.现有如图所示图形, 点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OFAB,设ACa,BCb,则该图形可以完成的无字证 明为( ) A. 2 ab ab (0,0)ab B 22 2abab(0,0)ab C. 2ab ab ab (0,0)ab D 22 22 abab (0,0)ab 10.为迎接中国共产党的十九大的到来,某校举办了“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从 包括甲、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加,要求甲、乙、丙这 3 名同学中至少有 1 人参加,且 当这 3 名同学都参加时, 甲和乙的朗诵顺序不能相邻, 那么选派的 4 名学生不同的朗诵顺序的种数为 ( )

5、A720 B768 C.810 D816 11.焦点为F的抛物线C: 2 8yx的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当 | | MA MF 取得最大值 时,直线MA的方程为( ) A2yx或2yx B2yx C.22yx或22yx D22yx 12.定义在R上的函数( )f x满足(2)2 ( )f xf x,且当2,4x时, 2 2 4 ,23, ( ) 2 ,34, xxx f x x x x ( )1g xax,对 1 2,0x , 2 2,1x ,使得 21 ()( )g xf x,则实数a的取值范围为( ) A 11 (,) ,) 88 B 11 ,0)(0, 48 C.(0,

6、8 D 11 (, ,) 48 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第本卷包括必考题和选考题两部分,第 1313 题第题第 2121 题为必考题,每个试题考生都必须作答题为必考题,每个试题考生都必须作答. .第第 2222 题和第题和第 2323 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答. . 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分分. . 13.已知(1, )a,(2,1)b ,若向量2ab与(8,6)c 共线,则a和b方向上的投影为 14.已知实数x,y满足不等式组 20, 250, 20, xy xy y 且2zxy的最

7、大值为a,则 2 0 cos 2 x adx = 15.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tantan2 tanbB bAcB,且8a ,ABC 的面积为4 3,则bc的值为 16.已知球O是正三棱锥 (底面为正三角形, 顶点在底面的射影为底面中心)ABCD的外接球,3BC , 2 3AB ,点E在线段BD上,且3BDBE,过点E作圆O的截面,则所得截面圆面积的取值范围 是 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. . 17.已知 23 (1)(1)(1)(1)nxxxx的展开式中x的系数恰好是数列 n a的前n项

8、和 n S. (1)求数列 n a的通项公式; (2)数列 n b满足 1 2 (21)(21) n nn a n aa b ,记数列 n b的前n项和为 n T,求证:1 n T . 18.如图,点C在以AB为直径的圆O上,PA垂直与圆O所在平面,G为AOC的垂心. (1)求证:平面OPG平面PAC; (2)若22PAABAC,求二面角A OP G的余弦值. 19.2017 年春节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过 600 元(含 600 元),均可抽奖一 次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种. 方案一:从装有 10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 3 个,黑球

9、7 个)的抽奖盒中,一次性摸出 3 个球,其中奖规则为:若摸到 3 个红球,享受免单优惠;若摸出 2 个红球则打 6 折,若摸出 1 个红球,则 打 7 折;若没摸出红球,则不打折. 方案二:从装有 10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 3 个,黑球 7 个)的抽奖盒中,有放回每次摸 取 1 球,连摸 3 次,每摸到 1 次红球,立减 200 元. (1)若两个顾客均分别消费了 600 元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率; (2)若某顾客消费恰好满 1000 元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算? 20. 已知椭圆C: 22 22 1(0) xy a

10、b ab 的长轴长为 6,且椭圆C与圆M: 22 40 (2) 9 xy的公共弦 长为 4 10 3 . (1)求椭圆C的方程. (2)过点(0,2)P作斜率为(0)k k 的直线l与椭圆C交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点D, 使得ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在, 求出点D的横坐标的取值范围, 若不存在, 请说明理由. 21. 已知函数 2 ( )2ln2(0)f xxmxx m. (1)讨论函数( )f x的单调性; (2)当 3 2 2 m 时,若函数( )f x的导函数( )fx的图象与x轴交于A,B两点,其横坐标分别为 1 x, 2 x 12 ()xx,线段AB的中点

11、的横坐标为 0 x,且 1 x, 2 x恰为函数 2 ( )lnh xxcxbx的零点,求证: 120 2 () ()ln2 3 xx h x . 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .并用并用 2B2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂 题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分. . 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为 2 4, 2 2 2

12、 xt yt (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系,圆C的极坐标方程为4cos,直线l与圆C交于A,B两点. (1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长; (2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求ABP的面积的最大值. 23. 选修 4-5:不等式选讲. 已知函数( ) |21|1|f xxx. (1)求函数( )f x的值域M; (2)若aM,试比较|1|1|aa, 3 2a , 7 2 2 a的大小. 参考答案及解析参考答案及解析 理科数学()理科数学() 一、选择题一、选择题 1-5:BBDDA 6-10:BCCDB 11、12:AD 二、填空题(本大题共二

13、、填空题(本大题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 2020 分)分) 13. 3 5 5 14.3 15.4 5 16.2 ,4 三、解答题三、解答题 17.解:(1) 23 (1)(1)(1)(1)nxxxx的展开式中x的系数为 1111 123n CCCC 2111 223n CCCC 22 1 11 22 n Cnn , 即 2 11 22 n Snn, 所以当2n时, 1nnn aSSn ; 当1n 时, 1 1a 也适合上式, 所以数列 n a的通项公式为 n an. (2)证明: 1 2 (21)(21) n n nn b 1 11 2121 nn , 所

14、以 1 11111 1 3372121 n nn T 1 1 1 21 n , 所以1 n T . 18.解:(1)如图,延长OG交AC于点M. 因为G为AOC的重心,所以M为AC的中点. 因为O为AB的中点,所以/OMBC. 因为AB是圆O的直径,所以BCAC,所以OMAC. 因为PA 平面ABC,OM 平面ABC,所以PAOM. 又PA平面PAC,AC 平面PAC,PAACA,所以OM 平面PAC. 即OG 平面PAC,又OG 平面OPG, 所以平面OPG平面PAC. (2)以点C为原点,CB,CA,AP方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz,则 (0,0,0)C,(0,1

15、,0)A,( 3,0,0)B, 3 1 (,0) 22 O,(0,1,2)P, 1 (0,0) 2 M,则 3 (,0,0) 2 OM , 3 1 (,2) 22 OP .平面OPG即为平面OPM,设平面OPM的一个法向量为( , , )nx y z,则 3 0, 2 31 20, 22 n OMx n OPxyz 令1z ,得(0, 4,1)n . 过点C作CHAB于点H, 由PA 平面ABC, 易得CHPA, 又P A A B A , 所以CH 平面PAB, 即CH为平面PAO的一个法向量. 在Rt ABC中,由2ABAC,得30ABC,则60HCB, 13 22 CHCB. 所以 3 c

16、os 4 H xCHHCB, 3 sin 4 H yCHHCB. 所以 3 3 (,0) 44 CH . 设二面角A OP G的大小为,则 | cos | | CH n CHn 22 33 |041 0| 2 51 44 1739 41 1616 . 19.解:(1)选择方案一若享受到免单优惠,则需要摸出三个红球,设顾客享受到免单优惠为事件A,则 3 3 3 10 1 ( ) 120 C P A C , 所以两位顾客均享受到免单的概率为 1 ( )( ) 14400 PP AP A. (2)若选择方案一,设付款金额为X元,则X可能的取值为 0,600,700,1000. 3 3 3 10 1

17、(0) 120 C P X C , 21 37 3 10 7 (600) 40 C C P X C , 12 37 3 10 21 (700) 40 C C P X C , 3 7 3 10 7 (1000) 24 C P X C , 故X的分布列为, 所以 17217 ()06007001000 120404024 E X 1 764 6 (元). 若选择方案二,设摸到红球的个数为Y,付款金额为Z,则1000 200ZY, 由已知可得 3 (3,) 10 YB,故 39 ( )3 1010 E Y , 所以( )(1000200 )E ZEY1000200 ( )820E Y(元). 因为(

18、)( )E XE Z,所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 20.解:(1)由题意可得26a,所以3a . 由椭圆C与圆M: 22 40 (2) 9 xy的公共弦长为 4 10 3 ,恰为圆M的直径, 可得椭圆C经过点 2 10 (2,) 3 , 所以 2 440 1 99b ,解得 2 8b . 所以椭圆C的方程为 22 1 98 xy . (2)直线l的解析式为2ykx,设 1122 ( , ), ( ,)Ax yB x y,AB的中点为 00 (,)E xy.假设存在点( ,0)D m, 使得ADB为以AB为底边的等腰三角形,则DEAB.由 22 2, 1, 98 ykx xy 得 22

19、 (89)36360kxkx, 故 12 2 36 98 k xx k , 所以 0 2 18 98 k x k , 00 2 16 2 98 ykx k . 因为DEAB,所以 1 DE k k , 即 2 2 16 0 1 98 18 98 k k k m k , 所以 2 22 8 98 9 k m k k k . 当0k 时, 8 92 9 812 2k k , 所以 2 0 12 m; 当0k 时, 8 912 2k k ,所以 2 0 12 m. 综上所述,在x轴上存在满足题目条件的点E,且点D的横坐标的取值范围为 22 ,0)(0, 1212 . 21. 解:(1)由于 2 (

20、)2ln2f xxmxx的定义域为(0,),则 2 2(1) ( ) xmx fx x . 对于方程 2 10xmx ,其判别式 2 4m . 当 2 40m ,即02m时,( )0fx 恒成立,故( )f x在(0,)内单调递增. 当 2 40m ,即2m,方程 2 10xmx 恰有两个不相等是实根 2 4 2 mm x , 令( )0fx ,得 2 4 0 2 mm x 或 2 4 2 mm x ,此时( )f x单调递增; 令( )0fx ,得 22 44 22 mmmm x ,此时( )f x单调递减. 综上所述, 当02m时,( )f x在(0,)内单调递增; 当2m时,( )f x

21、在 22 44 (,) 22 mmmm 内单调递减,在 2 4 (0,) 2 mm , 2 4 (,) 2 mm 内单调递增. (2)由(1)知, 2 2(1) ( ) xmx fx x ,所以( )fx的两根 1 x, 2 x即为方程 2 10xmx 的两根.因为 3 2 2 m ,所以 2 40m , 12 xxm, 12 1x x . 又因为 1 x, 2 x为 2 ( )lnh xxcxbx的零点, 所以 2 111 ln0xcxbx, 2 222 ln0xcbx,两式相减得 1 121212 2 ln()()()0 x c xxxxb xx x ,得 1 2 12 12 ln ()

22、x x bc xx xx . 而 1 ( )2h xcxb x ,所以 120 () ()xx h x 120 0 1 ()(2)xxcxb x 1 2 121212 1212 ln 2 ()()() x x xxc xxc xx xxxx 121 122 2() ln xxx xxx 1 21 1 2 2 1 2ln 1 x xx x x x . 令 1 2 (01) x tt x ,由 22 12 ()xxm得 222 1212 2xxx xm, 因为 12 1x x ,两边同时除以 12 x x,得 2 1 2tm t , 因为 3 2 2 m ,故 15 2 t t ,解得 1 0 2

23、 t 或2t ,所以 1 0 2 t . 设 1 ( )2ln 1 t G tt t ,所以 2 2 (1) ( )0 (1) t G t t t , 则( )yG t在 1 (0, 2 上是减函数, 所以 min 12 ( )( )ln2 23 G tG , 即 120 () ()yxx h x的最小值为 2 ln2 3 . 所以 120 2 () ()ln2 3 xx h x . 22.解:(1)由4cos得 2 4 cos, 所以 22 40xyx,所以圆C的直角坐标方程为 22 (2)4xy. 将直线l的参数方程代入圆:C 22 (2)4xy,并整理得 2 2 20tt, 解得 1 0

24、t , 2 2 2t . 所以直线l被圆C截得的弦长为 12 | 2 2tt. (2)直线l的普通方程为40xy. 圆C的参数方程为 22cos , 2sin , x y (为参数), 可设曲线C上的动点(22cos ,2sin )P,则点P到直线l的距离 |22cos2sin4| 2 d |2cos()2 | 4 ,当cos()1 4 时,d取最大值,且d的最大值为22. 所以 1 2 2(22)22 2 2 ABP S, 即ABP的面积的最大值为22. 23. 解:(1) 3 ,1, 1 ( )2, 1, 2 1 3 ,. 2 x x f xxx x x 根据函数( )f x的单调性可知,当 1 2 x 时, min 13 ( )( ) 22 f xf. 所以函数( )f x的值域 3 ,) 2 M . (2)因为aM,所以 3 2 a ,所以 3 01 2a . 又|1|1|1123aaaaa , 所以 3 2 a ,知10a ,430a , 所以 (1)(43) 0 2 aa a ,所以 37 2 22 a a , 所以 37 |1|1|2 22 aaa a .