1、徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第页 2019 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学 2020.5 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分分，第，第 1-6 题题每题每题 4 分，分，第第 7-12 题题每题每题 5 分）分） 考生考生应应在答题纸在答题纸的的相应相应位置位置直接填写结果直接填写结果 1已知1,2,3,4,5 ,1,3,5UA,则 U C A_ 2不等式3 1 x 的解集是_. 3 函数 cos 3 x fx 的最小正周期为_ 4若i1（i是虚数单位）是关于x的实系数方程0 2 qpxx的根，则pq=_ 5方程 1 sin 3 x
2、在, 2 上的解是_ 6. 若 11 ( ) 21 x f x a 是奇函数，则实数a的值为 7二项式 25 1 ()x x 的展开式中的常数项等于_.（结果用数值表示） 8已知直线2130axa y 的方向向量是直线(1)2320axay的法向量,则 实数a的值为 . 9从数字 1,2,3,4,5,6，7,8 中任取 2 个数,则这 2 个数的和为偶数的概率为_. （结果用数值表示） 10 在ABC中， 若,2,1,ABACABAC ABAC,E F为 B A 5 8 7 7 8 5 6 7 6 7 6 7 586 474 766 585 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第页 1 2 2 俯
3、视图 左视图主视图 BC边的三等分点，则AEAF_ 11如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会 遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从 A 点由图中的道路到 B 点，为避免人员聚 集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从 A 到 B 的行走线路，则此人从 A 到 B 遇见的行人总 人数最小值是 . 12设二次函数 2 1 212, 2 f xmxnxmm nRm 且在2,3上至少有一个零点， 则 22 mn的最小值为_ 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分分，每题分，每题分）每题有且只有一个正确）
4、每题有且只有一个正确选项选项。考生。考生应应在答题在答题 纸的相应纸的相应位置位置，将代表，将代表正确选项正确选项的小方格涂黑的小方格涂黑 13某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 20%，经过 x 年，绿化面积与原绿化面积之比为 y，则 y=f(x)的图像大致为（ ） 14 一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为- （ ） （A） 2 （B） （C） 3 2 （D） 2 （第 14 题图） 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第页 15设点 2 ( 1)(0) 2 t Pt t ，是角终边上一点，当|OP最小时，cos的值是-（ ） （A） 2 5 5 （B） 2 5 5 （C） 5
5、5 （D） 5 5 16若数列 , nn ab的通项公式分别为 2020 1 n n aa ， 2019 1 2 n n b n ，且 nn ab对任意 nN 恒成立，则实数a的取值范围为-（ ） (A) 2,1 (B) 3 2, 2 (C) 1 1, 2 (D) 1, 1 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题题，满分满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸分）解答下列各题必须在答题纸的的相应相应位置位置写出必要的步骤写出必要的步骤. 17 （本题满分（本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分）分） 如图，在
6、四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形，PA底面 A BC D，E是PC的中点， 已知2AB，22AD，2PA，求： （1）三角形PCD的面积； （2）异面直线BC与AE所成的角的大小 1818 （本题满分 （本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分）分） 已知函数 31,1f xxg xx （1）解不等式 2f x ； （2）求 F xf xg x的最小值 E P D A C B 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第页 19. （本题满分（本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2
7、）小题）小题 8 8 分）分） 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为50 3米、圆心角为 0 60的扇形 OAB 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案. 已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两 个顶点 M、N 在线段 OB 上，另两个顶点 P，Q 分别在弧 AB、线段 OA 上 （1）若 0 45PON，求此红旗图案的面积S； （2）求组成的红旗图案的最大面积 20. 20. （本题满分（本题满分 1616 分，第（分，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 6 6 分）分） 已知椭圆 22 22
8、:1(0) xy ab ab 的长轴长为2 2，右顶点到左焦点的距离为21， 1 F、 2 F分别为椭圆的左、右两个焦点 （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的切线l（与椭圆有唯一交点）的方程为ykxm，切线l与直线1x 和直线 2x分别交于点M、N，求证： 2 2 MF NF 为定值，并求此定值； （3）设矩形ABCD的四条边所在直线都和椭圆相切（即每条边所在直线与椭圆有唯一交点） ， 求矩形ABCD的面积S的取值范围 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第页 21. （本题满分（本题满分 1818 分，第（分，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（
9、分，第（3 3）小题）小题 8 8 分）分） 设数列 n anN 中前两项 12 ,a a给定， 若对于每个正整数3n， 均存在正整数k（11kn） 使得 12nnn k n aaa a k ，则称数列 n a为“数列”. （1）若数列 n anN 为 12 1 1, 2 aa 的等比数列，当3n时，试问： n a与 12 2 nn aa 是否 相等，并说明数列 n anN 是否为“数列” ； （2）讨论首项为 1 a、公差为d的等差数列 n a是否为“数列” ，并说明理由； （3）已知数列 n a为“数列” ，且 12 0,1aa ，记 12 , nnn k S n kaaa , 2,nnN
10、 ， 其中正整数1kn， 对于每个正整数3n， 当正整数k分别取 1、 2、1n 时 ,S n k k 的最大值记为 n M、 最小值记为 n m. 设 nnn bn Mm， 当正整数n满足32020n 时，比较 n b与 1n b 的大小，并求出 n b的最大值 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第页 参考答案参考答案 一、填空题 1、2,4 2、 1 (,0), 3 3、6 4、4 5、 1 arcsin 3 6、2 7、5 8、1 9、 3 7 10、10 9 11、34 12、 4 53 二、选择题 13、D 14、B 15、A 16、B 三、解答题 17.、（1）2 3 PCD S （2） 4 18、（1） 1 ,1 3 x （2）当 1 3 x 时取到最小值 2 3 19、（1） 2 3750 1250 3Sm（2）所以当 6 时， max 1250 3S 20、（1） 2 2 1 2 x y（2） 2 2 （3）4 2,6 21、（1） n a为“数列”（2） n a不是“数列” （3）当3n 时， n b取最大值为 3 13 31 22 b