1、黔东南州黔东南州 20202020 届高考模拟考试卷届高考模拟考试卷 数学（文科）数学（文科） 考生注意： 1本试卷分选择题和非选择题两部分，共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1若(12 )(23 )zii，则（ ） Az的实部大于3 8i 的实部 Bz的实部等于3 8i 的实部 Cz的虚部大于3 8i 的虚部 Dz的虚部小于3 8i 的虚部 2已知集合 2, 1,0,1,2, |(21)(2)0ABxxx ，则AB（ ） A0,1 B 1,1
2、C1,2 D 1,0,1 3若向量(1,2)AC uuu r ，( 1,4)ABBC uu u ruuu r ，则AB uuu r （ ） A( 1,1) B(0,6) C( 2,2) D(0,3) 4某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图 2 所 示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） A7.5% B6.25% C10.25% D31.25% 5如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 DD的中点，几何体 1 ABCDEC的侧视图与俯视图如图所 示，则该几何体的正视图为（ ） A B C D 6 若函数( )1s
3、in 2 5 f xx ，则（ ） A( )f x的最大值为 1 B 7 ( ) 10 f xfx C( )f x的最小正周期为 2 D 7 ( ) 10 f xfx 7设双曲线 2 2 1 3 y x ， 22 1 25 xy ， 22 1 27 yx 的离心率分别为 123 ,e e e，则（ ） A 321 eee B 312 eee C 123 eee D 213 eee 8若 24 loglog1xy，则 2 xy的最小值为（ ） A2 B2 3 C4 D2 2 9若 1 tan3 tan ，则cos4（ ） A 7 9 B 1 9 C 7 9 D 1 9 10已知函数 f x的图象
4、关于点(1,0) 对称，当1x 时， 2 ( )5f xxmx，且( )f x在(,0)上单 调递增，则m的取值范围为（ ） A4,) B2,) C(,4 D(,2 11若圆 22 :(0)C xym m与图中阴影部分（含边界）表示的平面区域有公共点，则m的取值范围为 （ ） A 2 ,5 2 B 2,5 C 1 ,25 2 D2,25 12已知函数 2 2 ,0, ( ) ,0, xa x f x xax x 若函数( )( ( )g xf f x恰有 8 个零点，则a的值不可能为（ ） A12 B10 C9 D8 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡
5、的相应位置 13, ,a b c分别为ABCV内角, ,A B C的对边已知5 sinabA，则sinB _ 14四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，,AB AC AD两两垂直，且1,2,3ABACAD， 则球O的表面积为_ 15小林手中有六颗糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地平均分给他的 儿子与女儿两人，则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为_ 16函数 2 ( )43 x x f xe的最小值为_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721 题为 必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考
6、题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 如图， 四棱锥PABCD的底面是正方形，E为AB的中点，PDCE，1AE ，3PD ，13PC （1）证明：AD 平面PCD （2）求三棱锥BCEP的侧面积 18 （12 分） 某公司A产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：十万元）存在较好的线性关系， 下表记录了该公司最近 8 次该产品的相关数据，且根据这 8 组数据计算得到y关于x的线性回归方程为 0.7604ybx x（万元） 6 7 8 11 12 14 17 21 y（十万元） 1.2 1.5 1.7 2 2.2 2.4 2.6 2.9 （1）求
7、b $ 的值（结果精确到 0.0001） ，并估计公司A产品投入成本 30 万元后产品的销售收入（单位：元） （2）该公司B产品生产的投入成本u（单位：万元）与产品销售收入v（单位：十万元）也存在较好的线 性关系，且v关于u的线性回归方程为0.150.5vu （）估计该公司B产品投入成本 30 万元后的毛利率（100% 收入成本 毛利率 收入 ） ； （）判断该公司A，B两个产品都投入成本 30 万元后，哪个产品的毛利率更大 19 （12 分） 设 n S为数列 n a的前n项和， 1 1a ，且 1 21 nn SSn （1）证明数列 n Sn为等比数列，并求 n a （2）求数列 2 n
8、n a 的前n项和 n T 20 （12 分） 已知函数 3 ( )f xxax （1）若2a ，求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （2）讨论( )f x在( ,)a 上的单调性 21 （12 分） 已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F，直线l与抛物线C交于,P Q两点 （1）若l过点F，证明：|2PQp （2）若2p ，点 00 ,M xy在曲线 2 1yx 上，,MP MQ的中点均在抛物线C上， MPQV的面积记为S，证明： 2 S与 3 2 00 4xy成正比 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
9、题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 25cos , 15sin x y （为参数）以坐标原点O为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若点P的极坐标为(1, )，过P的直线与曲线C交于,A B两点，求 11 |PAPB 的最大值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |2|21|f xxx （1）求不等式( ) 3f x 的解集； （2）记函数( )f x的最小值为m，若, ,a b c均为正实数，且 1 2 abcm，求 222 abc的最小值 黔东南州 2020 届高考模
10、拟考试卷 数学参考答案（文科） 1C 因为(12 )(23 )47ziii ，所以z的实部小于3 8i 的实部，z的虚部大3 8i 的虚部 2A 因为 1 ,2 2 B ，所以0,1AB 3D 因为(1,2),( 1,4)ACABBCABBC uuu ruu u ruuu ruu u ruuu r ，所以2(0,6)AB uuu r ，即(0,3)AB uuu r 4B 水费开支占总开支的百分比为 250 20%6.25% 250450100 5A 结合侧视图与俯视图可知，正视方向与平面 11 A ABB垂直，故选 A 6B ( )f x的最大值为2，( )f x的最小正周期为1， 76 1s
11、in21sin2( ) 1055 fxxxf x 7D 因为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2 2 1 b a ，且 537 212 ，所以 213 eee 8 C 因 为 23 24444 logloglogloglog1xyxyx y， 所 以 3 4(0,0)x yxy， 则 33 24xyx y，当且仅当 3 2xy时，等号成立，故 3 xy的最小值为 4 9 D 因为 1sincos2 tan3 tancossinsin2 ， 所以 2 sin2 3 ， 所以 2 1 cos412sin 2 9 10C 依题意可得 f x在(2,)上单调递增，则2 2
12、 m ，即4m 11 C 当直线1xy与圆C相切时， 1 2 m ； 当圆C经过点A时，25m， 故m的取值范围为 1 ,25 2 12D 易知，当0a 时，方程( )0f x 只有 1 个实根，从而( )( ( )g xf f x不可能有 8 个零点，则 0a ( )0f x 的实根为2a，0，a令( )f xt，则( ( )( )0f f xf t，则2 ,0,taa 数形结合（图略）可知，直线ya与( )f x的图象有 2 个交点，直线0y 与( )f x的图象有 3 个交点，所 以由题意可得直线2ya 与( )f x的图象有 3 个交点则必有 2 2 4 a a ，又0a ，所以8a
13、13 1 5 因为5 sinabA，所以sin5sinsinABA，又sin0A，所以 1 sin 5 B 1414 因为AB，AC，AD两两垂直，且1AB ，2AC ，3AD ，所以球O的表而积为 2 222 123 414 2 15 2 5 记牛奶薄荷味的两颗糖为 1 A， 2 A，巧克力味的两颗糖为 1 B， 2 B，草莓味的两颗糖为 1 C， 2 C， 则他的儿子分到的糖的所有情况为 121 ,A A B， 122 ,A A B， 211 ,A A C， 122 ,A A C， 112 ,A B B， 111 ,A B C， 112 ,A B C， 121 ,A B C， 122 ,A
14、 B C， 112 ,A C C， 212 ,A B B， 211 ,A B C， 212 ,A B C， 221 ,A B C， 222 ,A B C， 212 ,A C C， 121 ,B B C， 122 ,B B C， 112 ,B C C， 212 ,B C C，共 20 种，其中都含, ,A B C的有 8 种，故所求概率为 82 205 I62e 令2(0) x t t， 22 ( )30g tte t， 2 ( )23g ttte 当01t 时，( )0g t；当1t 时，( )0g t 故 minmin ( )( )(1)2f xg tge 17 （1）证明：因为E为AB的中
15、点，1AE ， 所以2CDAB， 所以 222 CDPDPC，从而PDCD 又PDCE，CDCECI， 所以PD 底面ABCD，所以PDAD 囚为四边形ABCD是正方形，所以ADCD 又CDPDDI，所以AD 平面PCD （2）解： （1 知AD 平面PCD，因为BCAD，所以BC 平面PCD， 因为PC 平面PCD，所以BCPC， 所以PBCV的面积为 1 21313 2 易证PBCPBAVV， 所以PBEV的面积为 13 2 故三棱锥BCEP的侧面积为 11323 13 1 213 222 18解： （1）12x ， 16.5 2.0625 8 y ， 2.0625120.7604b， 解
16、得0.1085b $ 当30x 时，0.1085 300.76044.0154y ， 故公司A产品投入成本 30 万元后产品的销售收入约为 401540 元 （2） （）当30u 时，5v $ ，B产品对应的毛利率为 5030 100%40% 50 （） 当30x 时，4.0154y $ ，A产品对应的毛利率为 40.1543010.154 100%100%40% 40.15440.154 ， 故B产品的毛利率更大 19 （1）证明： 1 21 nn SSn 1 1222 nnn SnSnSn ， 又 1 12S ，故数列 n Sn是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 则2 ,2 nn nn
17、 SnSn， 当2n 时， 11 1 2(1)212 nnn nnn aSSn ， 故 1 1,1, 21,2. nn n a n （2）解：当2n时 1 22 1 2 n nn a ， 则 2333 1111111111 () 22222222222 n nn n T LL 1 11 11 42 1 222 1 2 n n n nn T 又 1 11 11 222 T ， 11 22 n n n T 20解： （1）因为2a ，所以 2 ( )32fxx， 所以(1)5 f ，又(1)3f， 所以所求切线方程为35(1)yx，即52yx （2） 2 ( )3fxx 当0a时，( ) 0fx，
18、则( )f x在( ,)a 上单调递增 当0a 时，令( )0fx，得 3 x a （）当 3 1 a 时， 3 a a ， 令( )0fx，得axa；令( )0fx，得xa 所以( )f x的单调递减区间为( ,)aa，单调递增区间为(,)a （）当 1 3 a 时， 3 a a ， 令( )0fx，得 33 aa x ；令( )0fx，得 3 a ax 或 3 a x 所以( )f x的单调递减区间为(,) 33 aa ，单递递增区间为( ,),(,) 33 aa a （）当0 1 3 a时， 3 a a ， 令( )0fx得 3 a ax；令( )0fx，得 3 a x 所以( )f x
19、的单递减区间为( ,) 3 a a，单调递增区间为(,) 3 a 21证明： （1）易知0, 2 p F ，设 11 ,P x y， 22 ,Q xy 由题意可知直线l的斜率存在，故设其方程为 2 p ykx 由 2 , 2 2, p ykx xpy 得 22 20xpkxp，所以 2 2xxpk 因为 2 221 21yyk xxpkp， 所以 2 12 |(22)PQyypkp， 而 2 22 2k ，故|2PQp （2）MP，MQ的中点分别为 22 2 00 1002 , 2222 44 xx yy xxxx 因为MP，MQ的中点均在抛物线C上，所以 1 x， 2 x为方程 2 0 3
20、04 4 22 x y xx 的解，即方程 23 000 280xx xyx的两个不同的实根 则 120 2xxx， 2 22 1200000 8,280x xyxxtyx ，即 0 3 0 4xy， 所以PQ的中点N的横坐标为 0 x， 则 2222 120121 2000 113 |()23 884 M Nxxyxxxxyxy ， 2 2 01212120 42 24xxxxx xxy 所以MPQV的面积 1 2 12 2 00 13 2 | |( 4 4) 2 SMNxxxy， 因为 3 22 00 9 4 8 Sxy， 所以 2 S与 0 3 2 0 4xy成正比 22解： （1）由
21、25cos , 15sin , x y 得 22 (2)(1)5xy， 即 22 42xyxy，所以 2 4 cos2 sin， 即4cos2sin，故曲线C的极坐标方程为4cos2sin （2）因为P的极坐标为(1, )，所以P的直角坐标为( 1,0)， 故可设AB的参数方程为 1cos , sin xt yt （为参数） 将 1cos , sin xt yt 代入 22 (2)(1)5xy，得 2 (2sin6cos )50tt， 则 121 2 2sin6cos ,50ttat t ， 所以 11 121 2 1111|2sin6cos|2|sin()| |5 |10 5 tt PAPB
22、ttt t ， 故 1 | 1 PAPB 的最大值为 2 10 5 23解： （1）当 1 2 x 时，( ) 3f x ，得3 33x，则0x； 当 1 2 2 x剟时，由( ) 3f x ，得13x ，又 1 2 2 x剟，则2x ； 当2x 时，由( ) 3f x ，得333x ，则2x 故不等式( ) 3f x 的解集为(,02,) （2）因为 1 33 , 2 1 ( )1,2, 2 33,2, x x f xxx xx 剟所以当 1 2 x 时，( )f x取得最小值 3 2 ，故 13 22 abc 由柯西不等式得 22 22222 11 11 22 abcabc ， 当且仅当 222 4abc，即 1 3 a ， 2 3 bc时，等号成立， 所以 222 1abc，故 222 abc的最小值为 1