1、如果二次函数 ya（x1）2（a0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的， 那么 a 的取值范围是 11 （4 分）抛物线 yx2+bx+2 与 y 轴交于点 A，如果点 B（2，2）和点 A 关于该抛物线的 对称轴对称，那么 b 的值是 12 （4 分）已知ABC 中，C90，cosA，AC6，那么 AB 的长是 13 （4 分）已知ABC 中，点 D、E 分别在边 AB 和 AC 的反向延长线上，若，则 当的值是 时，DEBC 14 （4 分）小明从山脚 A 出发，沿坡度为 1：2.4 的斜坡前进了 130 米到达 B 点，那么他所 在的位置比原来的位置升高了 米 15 （4 分）如图，将A
2、BC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 ABC的位置，如果点 A恰 好是ABC 的重心，AB、AC分别于 BC 交于点 M、N，那么AMN 面积与 ABC 的面积之比是 16 （4 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正 多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的 面积，如图，O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径 OA 的长为 1，如果用它 的面积来近似估计O 的面积，那么O 的面积约是 第 3 页（共 29 页） 17 （4 分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把 这个点叫做
3、矩形的“直角点” ，如图，如果 E 是矩形 ABCD 的一个“直角点” ，且 CD 3EC，那么 AD：AB 的值是 18 （4 分）如图，已知矩形 ABCD（ABBC） ，将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90，点 A、D 分别落在点 E、F 处，连接 DF，如果点 G 是 DF 的中点，那么BEG 的正切值 是 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 7 题，共题，共 10+10+10+10+12+12+1478 分）分） 19 （10 分）已知函数 y（x1） （x3） （1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况； （2） 选取适当的数据填入表格， 并在如图所示的直角
4、坐标系内描 （1）求DAE 的余弦值； （2）设 ， ，用向量 、 表示 21 （10 分）如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上一点，CDAB，垂足为点 D，E 是 的中点，OE 与弦 BC 交于点 F （1）如果 C 是的中点，求 AD：DB 的值； （2）如果O 的直径 AB6，FO：EF1：2，求 CD 的长 22 （10 分）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄 CD 垂直于水平地面 GQ，当点 P 与点 A 重合时，伞收紧；当点 P 由点 A 向点 B 移动时，伞慢慢撑开；当点 P 与点 B 重 合时，伞完全张开已知遮阳伞的高度 CD 是 220 厘米，在它撑开的过程中，
5、总有 PM PNCMCN50 厘米，CECF120 厘米，BC20 厘米 （1）当CPN53，求 BP 的长？ （2）如图，当伞完全张开时，求点 E 到地面 GQ 的距离 （参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3） 23 （12 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CB 的延长线上， 联结 CE、EF，CE2DECF （1）求证：DCEF； 第 5 页（共 29 页） （2）联结 AC，交 EF 于点 G，如果 AC 平分ECF，求证：ACAECBCG 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c
6、 经过点 A（2，3）和点 B（5，0） ，顶点为 C （1）求这条抛物线的表达式和顶点 C 的坐标； （2）点 A 关于抛物线对称轴的对应点为点 D，联结 OD、BD，求ODB 的正切值； （3）将抛物线 yx2+bx+c 向上平移 t（t0）个单位，使顶点 C 落在点 E 处，点 B 落在 点 F 处，如果 BEBF，求 t 的值 25 （14 分）如图，已知平行四边形 ABCD 中，AD，AB5，tanA2，点 E 在射线 AD 上，过点 E 作 EFAD，垂足为点 E，交射线 AB 于点 F，交射线 CB 于点 G，联结 CE、CF，设 AEm （1）当点 E 在边 AD 上时， 求C
7、EF 的面积； （用含 m 的代数式表示） 当 SDCE4SBFG时，求 AE：ED 的值； （2）当点 E 在边 AD 的延长线上时，如果AEF 与CFG 相似，求 m 的值 第 6 页（共 29 页） 2020 年上海市奉贤区中考数学一模试卷年上海市奉贤区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分）分） 1 （4 分）已知线段 a，b，c，如果 a：b：c1：2：3，那么的值是（ ） A B C D 【分析】直接利用已知进而表示出 a，b，c，进而代入求出答案 【解答】解：a：b：c
8、1：2：3， 设 ax，b2x，c3x， 故选：C 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键 2（4 分） 在 RtABC 中， C90， 如果A 的正弦值是， 那么下列各式正确的是 （ ） AAB4BC BAB4AC CAC4BC DBC4AC 【分析】根据正弦函数的定义解答即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90， sinA， AB4BC， 故选：A 【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型 3 （4 分） 已知点 C 在线段 AB 上， AC3BC， 如果 ， 那么用 表示正确的是 （ ） A B C
9、D 【分析】由 AC3BC，推出 ABAC，由此即可解决问题 第 7 页（共 29 页） 【解答】解：如图， AC3BC， ABAC， ， 故选：D 【点评】本题考查平面向量，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于 中考常考题型 4 （4 分）下列命题中，真命题是（ ） A邻边之比相等的两个平行四边形一定相似 B邻边之比相等的两个矩形一定相似 C对角线之比相等的两个平行四边形一定相似 D对角线之比相等的两个矩形一定相似 【分析】根据各选项的条件和相似形的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以 A 选项错误； B、邻边之比
10、相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，所以两矩形相似，故本选 项正确； C、对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以 C 选项错误； D、对角线之比相等的两个矩形不一定相似，所以 D 选项错误； 故选：B 【点评】本题主要考查相似形的定义，多边形相似必须满足对应边成比例、对应角相等， 二者缺一不可 5 （4 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表： x 0 1 3 4 5 y 5 5 根据表，下列判断正确的是（ ） A该抛物线开口向上 B该抛物线的对称轴是直线 x1 第 8 页（共 29 页） C该抛物线一定经过点（1，） D该抛
11、物线在对称轴左侧部分是下降的 【分析】由表格中点（0，5） ， （4，5）可求对称轴 x2，再任意取两点可确定函数 的解析式即可 【解答】解：由表格中点（0，5） ， （4，5） ， 可知函数的对称轴为 x2， 设函数的解析式为 ya（x2）2+c， 将点（0，5） ， （1，）代入， 得到 a，c3， 函数解析式 y（x2）23； 抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的； 故选：C 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，并能用待定系 数法求函数解析式是解题的关键 6 （4 分）在ABC 中，AB9，BC2AC12，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 D
12、E BC，AD2BD，以 AD 为半径的D 和以 CE 为半径的E 的位置关系是（ ） A外离 B外切 C相交 D内含 【分析】分别计算D 和以 CE 为半径的E 的半径，并计算 DE 的长，根据外切的定义 可解答 【解答】解：如图， 第 9 页（共 29 页） DEBC， ， BC12，AD2BD， ，DE8， D 的半径为 AD6，E 的半径 CE2， AD+CE6+28DE， 以 AD 为半径的D 和以 CE 为半径的E 的位置关系是外切， 故选：B 【点评】本题考查了两圆的位置关系，平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握两圆 位置关系的判定是关键 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共
13、 12 题，每题题，每题 4 分，共分，共 48 分）分） 7 （4 分）如果 tan，那么锐角 的度数是 60 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案 【解答】解：tan， 锐角 的度数是：60 故答案为：60 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 8 （4 分）若 与单位向量 方向相反，且长度为 3，则 3 （用单位向量 表示向 量 ） 第 10 页（共 29 页） 【分析】根据平面向量的性质解决问题即可 【解答】解： 与单位向量 方向相反，且长度为 3， 3 ， 故答案为3 【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
14、型 9 （4 分）若一条抛物线的顶点在 y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是 y2x2（答案不 唯一） （只需写一个） 【分析】 抛物线的顶点在 y 轴上， 可得出 b0， 从而得出抛物线的解析式 （答案不唯一） 【解答】解：抛物线的顶点在 y 轴上， b0， 抛物线的解析式为 y2x2， 故答案为 y2x2（答案不唯一） 【点评】本题考查了二次函数的性质，该题是结论开放型题型，通过对称轴的位置反映 的数量关系写二次函数解析式 10 （4 分）如果二次函数 ya（x1）2（a0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的， 那么 a 的取值范围是 a0 【分析】由于二次函数的图象在对称轴 x2 的右侧
15、部分是上升的，由此可以确定二次函 数的二次项系数为正数 【解答】解：二次函数的图象在对称轴 x1 的右侧部分是上升的， 这个二次函数的二次项系数为正数， a0， 故答案为 a0 【点评】本题主要考查二次函数的图象，解题关键是要熟练掌握二次函数的性质 11 （4 分）抛物线 yx2+bx+2 与 y 轴交于点 A，如果点 B（2，2）和点 A 关于该抛物线的 对称轴对称，那么 b 的值是 2 【分析】先确定 A 点坐标为（0，2） ，再利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x1，然后根据对称轴方程可求出 b 的值 【解答】解：当 x0 时，抛物线 yx2+bx+22，则 A 点坐标为（0，
16、2） ， 点 B（2，2）和点 A 关于该抛物线的对称轴对称， 第 11 页（共 29 页） 抛物线的对称轴为直线 x1， 即1， b2 故答案为2 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向 和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和 二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异 号时，对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置 12 （4 分）已知ABC 中，C90，cosA，AC6，那么 AB 的长是 8 【分析】根据题目中的条件和锐角
17、三角函数可以得到 AC 和 AB 的关系，从而可以求得 AB 的长，本题得以解决 【解答】解：在ABC 中，C90，cosA，AC6， cosA， 即， 解得，AB8， 故答案为：8 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答 13 （4 分）已知ABC 中，点 D、E 分别在边 AB 和 AC 的反向延长线上，若，则 当的值是 时，DEBC 【分析】根据平行线分线段成比例分析即可 【解答】解：要使 DEBC，则需， 故答案为： 第 12 页（共 29 页） 【点评】此题考查了平行线分线段成比例，牢记定理是解决此题的关键 14 （4 分）小明从山脚 A 出发，
18、沿坡度为 1：2.4 的斜坡前进了 130 米到达 B 点，那么他所 在的位置比原来的位置升高了 50 米 【分析】小明所在的位置比原来的位置升高了 x 米，根据坡度的概念用 x 表示出小明前 进的水平宽度，根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解：设小明所在的位置比原来的位置升高了 x 米， 坡度为 1：2.4， 小明前进的水平宽度为 2.4 米， 由勾股定理得，x2+（2.4x）21302， 解得，x50，即小明所在的位置比原来的位置升高了 50 米， 故答案为：50 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高 度 h 和水平宽度 l 的比是解题的关键 15
19、（4 分）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 ABC的位置，如果点 A恰 好是ABC 的重心，AB、AC分别于 BC 交于点 M、N，那么AMN 面积与 ABC 的面积之比是 【分析】 由重心的性质可得 ADAD， 由相似三角形的性质可得AMN 面积与ABC 的面积之比（）2 【解答】解：点 A恰好是ABC 的重心， ADAD， 第 13 页（共 29 页） 将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 ABC的位置， ABCAMN， AMN 面积与ABC 的面积之比（）2， 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握重心的性质是本题的关键 16 （4 分）公元
20、 263 年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正 多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的 面积，如图，O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径 OA 的长为 1，如果用它 的面积来近似估计O 的面积，那么O 的面积约是 3 【分析】设 AB 为正十二边形的边，连接 OB，过 A 作 ADOB 于 D，由正十二边形的性 质得出AOB30，由直角三角形的性质得出 ADOA，求出AOB 的面积 OBAD，即可得出答案 【解答】解：设 AB 为正十二边形的边，连接 OB，过 A 作 ADOB 于 D，如图所示： AOB30， ADOB，
21、ADOA， AOB 的面积OBAD1 正十二边形的面积123， O 的面积正十二边形的面积3， 故答案为：3 第 14 页（共 29 页） 【点评】本题考查了正多边形和圆、正十二边形的性质、直角三角形的性质以及三角形 面积等知识；熟练掌握正十二边形的性质是解题的关键 17 （4 分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把 这个点叫做矩形的“直角点” ，如图，如果 E 是矩形 ABCD 的一个“直角点” ，且 CD 3EC，那么 AD：AB 的值是 【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可 【解答】解：矩形 ABCD， DC90， AEB90， DAE+DEA90
22、，DEA+CEB90， DAECEB， ADEECB， ， ADBC，CD3EC， DE2EC， ， ， AD：AB， 故答案为： 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据矩形的性质得出三角形相似 18 （4 分）如图，已知矩形 ABCD（ABBC） ，将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90，点 A、D 分别落在点 E、F 处，连接 DF，如果点 G 是 DF 的中点，那么BEG 的正切值是 第 15 页（共 29 页） 1 【分析】连接 BD，BF，EG利用四点共圆证明BEGBFD45即可 【解答】解：连接 BD，BF，EG 由题意：BDBF，DBF90， DGGF， BGD
23、F， BGFBEF90， B，G，E，F 四点共圆， BEGBFD45， BEG 的正切值是 1 故答案为 1 【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，锐角三角函数 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 7 题，共题，共 10+10+10+10+12+12+1478 分）分） 19 （10 分）已知函数 y（x1） （x3） （1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况； （2） 选取适当的数据填入表格， 并在如图所示的直角坐标系内描点， 画出该函数的图象 第 16 页（共 29 页） x
24、0 1 2 3 4 y 3 0 1 0 3 【分析】 （1）把交点式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题； （2）分别计算出自变量为 0、1、2、3、4 对应的函数值，然后利用描点法画出二次函数 图象 【解答】解： （1）y（x1） （x3） x2+4x3 （x2）2+1， a10， 抛物线的开口向下， 抛物线的顶点坐标为（2，1） ， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大；当 x2 时，y 随 x 的增大而减小； （2）当 x0 时，y3；当 x1 时，y0；当 x2 时，y1；当 x3 时，y0；当 x4 时，y3， 如图， 第 17 页（共 29 页） 故答案为 0，3；1，0；
25、2，1；3，0；4，3 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向 和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和 二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异 号时，对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c） 20 （10 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ABC90，BAD45，DC2， AB6， AEBD，垂足为点 F （1）求DAE 的余弦值； （2）设 ， ，用向量 、 表示 【分析】 （1）作 DM
26、AB 于 M，则四边形 BCDM 是矩形，得出 BMCD2，BCDM， 证出ADM 是等腰直角三角形，得出 BCDMAM4，ADAM4，由勾股定 理得出 BD2， 证明ABFBDC， 得出， 得出 AF， 由三角函数定义即可得出答案； （2）同（1）得ABEBCD，得出，求出 BE3，得出， 求出33 ，即可得出+3 + 【解答】解： （1）作 DMAB 于 M，如图所示： 则四边形 BCDM 是矩形， BMCD2，BCDM， AMABBM4， BAD45， ADM 是等腰直角三角形， BCDMAM4，ADAM4， ABCD，ABC90， BDCABF，C90， 第 18 页（共 29 页）
27、BD2， AEBD， AFB90C， ABFBDC， ，即， 解得：AF， cosDAE； （2）同（1）得：ABEBCD， ，即， 解得：BE3， BEBC， ， ABCD，DC2，AB6， AB3DC， 33 ， +3 + 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、梯形的性质、等腰直角三 角形的判定与性质、平面向量、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和 等腰直角三角形的性质是解题的关键 21 （10 分）如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上一点，CDAB，垂足为点 D，E 是 的中点，OE 与弦 BC 交于点 F （1）如果 C 是的中点，求 AD：DB 的
28、值； 第 19 页（共 29 页） （2）如果O 的直径 AB6，FO：EF1：2，求 CD 的长 【分析】 （1）连接 OC，根据垂径定理的推论得到 OEBC，根据含 30 的直角三角形的性质计算； （2）根据勾股定理求出 BF，得到 BC 的长，证明BFOBDC，根据相似三角形的性 质列出比例式，代入计算得到答案 【解答】解： （1）连接 OC， E 是的中点， ，OEBC， C 是的中点， ， ， AOCCOEEOB60， OCD30， 在 RtCOD 中，OCD30， ODOC， AD：DB1：3； （2）AB6，FO：EF1：2， OF1， 在 RtBOF 中，BF2， BC4， C
29、DAB，OEBC， BDCBFO90，又BB， BFOBDC， 第 20 页（共 29 页） ，即， 解得，CD 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键 22 （10 分）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄 CD 垂直于水平地面 GQ，当点 P 与点 A 重合时，伞收紧；当点 P 由点 A 向点 B 移动时，伞慢慢撑开；当点 P 与点 B 重 合时，伞完全张开已知遮阳伞的高度 CD 是 220 厘米，在它撑开的过程中，总有 PM PNCMCN50 厘米，CECF120 厘米，BC20 厘米 （1）当CPN53，求 BP 的长？ （2）如图，当伞完全张开时，
30、求点 E 到地面 GQ 的距离 （参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3） 【分析】 （1）如图 1 中，连接 MN 交 CD 于 H解直角三角形求出 CH，PC 即可解决问 题 （2）如图 2 中，连接 MN 交 CD 于 J，连接 EF 交 CD 于 H利用相似三角形的性质求出 CH，HD，即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 MN 交 CD 于 H 第 21 页（共 29 页） CMMPNCNP50cm， 四边形 PMCN 是菱形， CPNM，CHPH， PHPNcos5330（cm） ， PC2PH60cm， PBPCBC40cm （2）如图 2
31、 中，连接 MN 交 CD 于 J，连接 EF 交 CD 于 H 四边形 CMBN 是菱形， CJJB10cm， MJEH， CMJCEH， ， ， CH24， HDCDCH22024196cm， 当伞完全张开时，求点 E 到地面 GQ 的距离HD196cm 【点评】本题考查相似三角形的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意， 灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 23 （12 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CB 的延长线上， 联结 CE、EF，CE2DECF （1）求证：DCEF； （2）联结 AC，交 EF 于点 G，如果 AC
32、平分ECF，求证：ACAECBCG 第 22 页（共 29 页） 【分析】 （1）根据 CE2DECF 且DECECF 可证明CDECEF，即可得结论； （2）根据 AC 平分ECF，ADBC，可得EACECA，进而得 EEC，再证明 CGECAB，对应边成比例即可 【解答】 （1）证明：CE2DECF，即 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，DECECF， CDECEF， DCEF （2）如图所示： AC 平分ECF，ECABCA， DCEF，DB， CEFB， CGECAB， ， ADBC，DACBCA， ECADAC， AECE， ，即 ACAECBCG 【点评】本题考查了平行四
33、边形的性质、相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是 综合运用平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（2，3）和点 B（5，0） ，顶点为 C （1）求这条抛物线的表达式和顶点 C 的坐标； 第 23 页（共 29 页） （2）点 A 关于抛物线对称轴的对应点为点 D，联结 OD、BD，求ODB 的正切值； （3）将抛物线 yx2+bx+c 向上平移 t（t0）个单位，使顶点 C 落在点 E 处，点 B 落在 点 F 处，如果 BEBF，求 t 的值 【分析】 （1）用待定系数法可求
34、解析式，配方后即可求顶点 C 坐标； （2）作辅助线，构建直角三角形，根据两点的距离求线段的长，根据三角函数定义可得 结论； （3） 利用平移的性质表示 E 和 F 的坐标， 根据两点的距离公式和 BEBF 列方程可得结 论 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（2，3）和点 B（5，0） ， 解得： 抛物线解析式为 yx26x+5（x3）24， 顶点 C 坐标为（3，4） ； （2）点 A 关于抛物线对称轴 x3 的对应点为点 D， 点 D 的坐标（4，3） ， OD5， 如图 1，过 O 作 OGBD 于 G， 第 24 页（共 29 页） 点 B（5，0） ， OBO
35、D， DGBGBD， OG， tanODB3； （3）如图 2，抛物线 yx2+bx+c 向上平移 t（t0）个单位， E（3，4+t） ，F（5，t） ， BEBF，B（5，0） ， （35）2+（4+t）2（55）2+t2， t 第 25 页（共 29 页） 【点评】本题考查二次函数与 x 轴的交点、待定系数法、等腰三角形的性质、两点的距 离、平移、三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题，学会数形结合的思想，与方程相结合解决问题，属于中考常考题型 25 （14 分）如图，已知平行四边形 ABCD 中，AD，AB5，tanA2，点 E 在射线 AD 上，过点
36、 E 作 EFAD，垂足为点 E，交射线 AB 于点 F，交射线 CB 于点 G，联结 CE、CF，设 AEm （1）当点 E 在边 AD 上时， 求CEF 的面积； （用含 m 的代数式表示） 当 SDCE4SBFG时，求 AE：ED 的值； （2）当点 E 在边 AD 的延长线上时，如果AEF 与CFG 相似，求 m 的值 【分析】 （1）先根据三角函数表示出 EF，再用勾股定理表示出 AF，再判断出AEF BGF，得出比例式表示出 CG，即可得出结论； 先表示出 FG，再用 SDCE4SBFG建立方程求出 m，即可得出结论； （2）分两种情况：当AEFCGF 时，得出AFECFG，进而得
37、出 BGBC ，FGBGtanCBF，再根据勾股定理得，BF，进而得出 AFAB+BF5+，最后判断出BGFAEF，得出比例式建立方程求解即可得 第 26 页（共 29 页） 出结论； 当AEFCGF 时，先判断出AFC90，进而得出 CF2BF，再根据勾股定理 得，求出 BF1，得出 AFAB+BF6，同理：BG，再判断出BGFAEF，得 出比例式建立方程求解即可得出结论 【解答】解： （1）EFAD， AEF90， 在 RtAEF 中，tanA2，AEm， EFAEtanA2m， 根据勾股定理得，AFm， AB5， BF5m， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD，ADBC， GAE
38、F90， AEFBGF， ， ， BGm， CGBC+BG+m2m， SCEFEFCG2m （2m）2mm2； 由知，AEFBGF， ， FGEF2m2（m） ， EGEF+FG2m+2（m）2， SCDEDEEG（m） 25m， 第 27 页（共 29 页） SBFGBGFG（m） 2（m）（m）2， SDCE4SBFG时， 5m4（m）2， m（舍）或 m， DEADAE， AE：ED：3， 即：AE：ED 的值为 3； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD，ADBC， EFAD， EFBC， AEFCGF90， AEF 与CFG 相似， 当AEFCGF 时，如图 1， AFE
39、CFG， EFBC， BGBC， ADBC， CBFA， tanA2， tanCBF2， 在 RtBGF 中，FGBGtanCBF， 根据勾股定理得，BF， AFAB+BF5+， BCAD， BGFAEF， 第 28 页（共 29 页） ， ， m； 当AEFCGF 时，如图 2， EAFGFC， EAF+AFE90， GFC+AFE90， AFC90， ADBC， CBFA， tanCBFtanA2， 在 RBFC 中，CFBFCBF2BF， 根据勾股定理得，BF2+CF2BC2， BF2+4BF2（）2， BF1， AFAB+BF6， 在 RtBGF 中，同理：BG， ADBC， BGFAEF， ， ， m 即：如果AEF 与CFG 相似，m 的值为或 第 29 页（共 29 页） 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形 的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键