1、如图，在 66 的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点 A、B，如果线段 AB 与网格线的其中两个交点为 M、N，那么 AM：MN：NB 的值是（ ） A3：5：4 B3：6：5 C1：3：2 D1：4：2 5 （4 分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度 y（米）关于水珠和喷头的水平距离 x（米）的函数解析式是 yx2+6x（0x4） ，那 么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A1 米 B2 米 C5 米 D6 米 6 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP、BP 的延长线分别交边 CD 于点 E、F，联结 A
2、C，CP，AC 与 BF 相交于点 H，下列结论中错误的是（ ） 第 2 页（共 28 页） AAE2DE BCFPAPH CCFPAPC DCP2PHPB 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分分) 7 （4 分）如果 cot，那么锐角 度 8 （4 分）如果抛物线 yx2+3x1+m 经过原点，那么 m 9 （4 分）二次函数 y2x2+5x1 的图象与 y 轴的交点坐标为 10 （4 分）已知点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）为抛物线 y（x2）2上的两点，如果 x1x2 2，那么 y1 y2 （填“” “”或“”
3、） 11 （4 分）在比例尺为 1：8000000 地图上测得甲、乙两地间的图上距离为 4 厘米，那么甲、 乙两地间的实际距离为 千米 12 （4 分）已知点 P 是线段 AB 上的一点，且 BP2APAB，如果 AB10cm，那么 BP cm 13 （4 分）已知点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 MNBC 分别交边 AB、AC 于点 M、N， 那么 14 （4 分）如图，某小区门口的栏杆从水平位置 AB 绕固定点 O 旋转到位置 DC，已知栏杆 AB 的长为 3.5 米，OA 的长为 3 米，点 C 到 AB 的距离为 0.3 米，支柱 OE 的高为 0.6 米， 那么栏杆端点 D 离
4、地面的距离为 米 15 （4 分）如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31，AB 的长为 12 米，则大 厅两层之间的高度为 米（结果保留一位小数）【参考数据： sin310.515， cos31 0.867，tan310.601】 第 3 页（共 28 页） 16 （4 分）如图，在四边形 ABCD 中，BD90，AB3，BC2，tanA，则 CD 17 （4 分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这 两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线在四边 形 ABCD 中， 对角线 BD 是它的相似对角线， ABC70， BD
5、 平分ABC， 那么ADC 度 18 （4 分）在 RtABC 中，A90，AC4，ABa，将ABC 沿着斜边 BC 翻折，点 A 落在点 A1处，点 D、E 分别为边 AC、BC 的中点，联结 DE 并延长交 A1B 所在直线于 点 F，联结 A1E，如果A1EF 为直角三角形时，那么 a 三、解答题：三、解答题：(本大题共本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）抛物线 yax2+bx+c 中，函数值 y 与自变量 x 之间的部分对应关系如表： x 3 2 1 0 1 y 4 1 0 1 4 （1）求该抛物线的表达式； （2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点 M
6、（2，4）的位置，那么其平移的方法 是 20 （10 分）如图，已知在梯形 ABCD 中，ABCD，AB12，CD7，点 E 在边 AD 上， ，过点 E 作 EFAB 交边 BC 于点 F （1）求线段 EF 的长； （2）设 ， ，联结 AF，请用向量 、 表示向量 第 4 页（共 28 页） 21 （10 分）如图，已知在ABC 中，ACB90，sinB，延长边 BA 至点 D，使 AD AC，联结 CD （1）求D 的正切值； （2）取边 AC 的中点 E，联结 BE 并延长交边 CD 于点 F，求的值 22 （10 分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直
7、角三 角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点 D 处用测角仪测得楼顶 M 的仰角为 30， 再沿 DF 方向前行 40 米到达点 E 处，在点 E 处测得楼项 M 的仰角为 45，已知测角仪 的高 AD 为 1.5 米请根据他们的测量数据求此楼 MF 的高 （结果精到 0.1m，参考数据： 1.414，1.732，2.449） 23 （12 分）如图，已知在ABC 中，AD 是ABC 的中线，DACB，点 E 在边 AD 上，CECD （1）求证：； （2）求证：AC22AEAD 24 （12 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx22mx+4（m0）与 x 轴交于点 A，B（点
8、 A 在点 B 的左侧） ，且 AB6 第 5 页（共 28 页） （1）求这条抛物线的对称轴及表达式； （2）在 y 轴上取点 E（0，2） ，点 F 为第一象限内抛物线上一点，联结 BF，EF，如果 S 四边形OEFB10，求点 F 的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，点 F 在抛物线对称轴右侧，点 P 在 x 轴上且在点 B 左侧， 如果直线 PF 与 y 轴的夹角等于EBF，求点 P 的坐标 25 （14 分）已知在菱形 ABCD 中，AB4，BAD120，点 P 是直线 AB 上任意一点， 联结 PC在PCD 内部作射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q（与 B、D 不重合） ，
9、且PCQ 30 （1）如图，当点 P 在边 AB 上时，如果 BP3，求线段 PC 的长； （2）当点 P 在射线 BA 上时，设 BPx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域； （3）联结 PQ，直线 PQ 与直线 BC 交于点 E，如果QCE 与BCP 相似，求线段 BP 的 长 第 6 页（共 28 页） 2020 年上海市杨浦区中考数学一模试卷年上海市杨浦区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）将抛物线 yx2向左平移 1 个单位，所得
10、抛物线解析式是（ ） Ay（x+1）2 By（x1）2 Cyx2+1 Dyx21 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：将抛物线 yx2向左平移 1 个单位，所得抛物线解析式是 y（x+1）2， 故选：A 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答 此题的关键 2 （4 分）在 RtABC 中，C90，如果 AC2，cosA，那么 AB 的长是（ ） A B C D 【分析】根据 cosA，求出 AB 即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC2， 又cosA， AB， 故选：B 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关
11、键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型 3 （4 分）已知 、 和 都是非零向量，下列结论中不能判定 的是（ ） A， B ， 2 C 2 D| | | 【分析】根据平行向量的定义判断即可 【解答】解：A、由 ， ，可以推出 本选项不符合题意 B、由 ， 2 ，可以推出 本选项不符合题意 C、由 2 ，可以推出 本选项不符合题意 第 7 页（共 28 页） D、由| | |，不可以推出 本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 4 （4 分）如图，在 66 的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点 A、B，如果线段 AB 与网格线的其中
12、两个交点为 M、N，那么 AM：MN：NB 的值是（ ） A3：5：4 B3：6：5 C1：3：2 D1：4：2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可 【解答】解：， AM：MN：NB1：3：2， 故选：C 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题 的关键 5 （4 分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度 y（米）关于水珠和喷头的水平距离 x（米）的函数解析式是 yx2+6x（0x4） ，那 么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A1 米 B2 米 C5 米 D6 米 【分析】根据二次函数的顶点式即可
13、求解 【解答】解：方法一： 根据题意，得 yx2+6x（0x4） ， （x2）2+6 所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 2 米 第 8 页（共 28 页） 方法二： 因为对称轴 x2， 所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 2 米 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式 6 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP、BP 的延长线分别交边 CD 于点 E、F，联结 AC，CP，AC 与 BF 相交于点 H，下列结论中错误的是（ ） AAE2DE BCFPAPH CCFPAPC DCP2PHPB 【分
14、析】A 正确利用直角三角形 30 度角的性质即可解决问题 B 正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断 C 错误通过计算证明CPACPF，即可判断 D 正确利用相似三角形的性质即可证明 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， DDAB90， APB 是等边三角形， PABPBAAPB60， DAE30， AE2DE，故 A 正确， ABCD， PFEABPAPH60， AHPPBA+BAH60+45105， 又BCBP，PBC30， BPCBCP75， CPF105， 第 9 页（共 28 页） PHACPF， CFPAPH，故 B 正确， CPA60+75135CPF， CFP 与APC
15、不相似，故 C 错误， PCHPCBBCH754530， PCHPBC， CPHBPC， PCHPBC， ， CP2PHPB，故 D 正确， 故选：C 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角 三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分分) 7 （4 分）如果 cot，那么锐角 30 度 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案 【解答】解：cot， 锐角 30 故答案为：30 【点评】此题主要考查了特殊角的三角
16、函数值，正确记忆相关数据是解题关键 8 （4 分）如果抛物线 yx2+3x1+m 经过原点，那么 m 1 【分析】把原点坐标代入 yx2+3x1+m 中得到关于 m 的一次方程，然后解一次方程 即可 【解答】解：抛物线 yx2+3x1+m 经过点（0，0） ， 1+m0， 第 10 页（共 28 页） m1 故答案为 1 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解 析式 9 （4 分）二次函数 y2x2+5x1 的图象与 y 轴的交点坐标为 （0，1） 【分析】根据 y 轴上点的坐标特征计算自变量为 0 时的函数值即可得到交点坐标 【解答】解：当 x0 时，y
17、1， 所以二次函数 y2x2+5x1 的图象与 y 轴的交点坐标为（0，1） 故答案为（0，1） 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解 析式 10 （4 分）已知点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）为抛物线 y（x2）2上的两点，如果 x1x2 2，那么 y1 y2 （填“” “”或“” ） 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 y（x2） 2 的开口向上，对称轴为直线 x2， 则在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，所以 x1x22 时，y1y2 【解答】解：y（x2）2， a10， 抛物线开口向上， 抛物线 y（x2）2对称轴为直线 x2， x
18、1x22， y1y2 故答案为 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图 象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当 a0，抛物线开口向上；对称轴 为直线 x，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 增大 11 （4 分）在比例尺为 1：8000000 地图上测得甲、乙两地间的图上距离为 4 厘米，那么甲、 乙两地间的实际距离为 320 千米 【分析】根据比例尺代入数据计算即可 第 11 页（共 28 页） 【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为 xcm， 比例尺， 1：80000004：x， x320000
19、00， 甲、乙两地的实际距离为是 320km， 故答案为：320 【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺是解题的关键 12（4分） 已知点 P是线段AB上的一点， 且BP2APAB， 如果AB10cm， 那么 BP （5 5） cm 【分析】根据点 P 是线段 AB 上的一点，且 BP2APAB，列方程即可求解 【解答】解：点 P 是线段 AB 上的一点 APABBP10BP， BP2APAB，AB10cm， BP2（10BP）10， 解得 BP55 故答案为： （55） 【点评】本题考查了根据线段之间的等量关系列方程，解决本题的关键是解方程 13 （4 分）已知点 G 是ABC 的重心，
20、过点 G 作 MNBC 分别交边 AB、AC 于点 M、N， 那么 【分析】根据三角形重心和相似三角形的判定和性质解答即可 【解答】解：如图， 连接 AG 并延长交 BC 于点 E， 点 G 是ABC 的重心， 第 12 页（共 28 页） ， MNBC， AMNABC， ， 故答案为： 【点评】此题考查三角形的重心，关键是根据三角形的重心得出比例关系 14 （4 分）如图，某小区门口的栏杆从水平位置 AB 绕固定点 O 旋转到位置 DC，已知栏杆 AB 的长为 3.5 米，OA 的长为 3 米，点 C 到 AB 的距离为 0.3 米，支柱 OE 的高为 0.6 米， 那么栏杆端点 D 离地面
21、的距离为 2.4 米 【分析】过 D 作 DGAB 于 G，过 C 作 CHAB 于 H，则 DGCH，根据相似三角形的 性质即可得到结论 【解答】解：过 D 作 DGAB 于 G，过 C 作 CHAB 于 H， 则 DGCH， ODGOCH， ， 栏杆从水平位置 AB 绕固定点 O 旋转到位置 DC， CDAB3.5m，ODOA3m，CH0.3m， OC0.5m， ， DG1.8m， OE0.6m， 栏杆 D 端离地面的距离为 1.8+0.62.4m 故答案为：2.4 第 13 页（共 28 页） 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与 性质 15 （4
22、 分）如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31，AB 的长为 12 米，则大 厅两层之间的高度为 6.2 米（结果保留一位小数）【参考数据： sin310.515， cos31 0.867，tan310.601】 【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得 BC 的长，从而可以解答本题 【解答】解：在 RtABC 中， ACB90， BCABsinBAC120.5156.2（米） ， 答：大厅两层之间的距离 BC 的长约为 6.2 米 故答案为：6.2 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需 要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答 16 （
23、4 分）如图，在四边形 ABCD 中，BD90，AB3，BC2，tanA，则 CD 【分析】延长 AD 和 BC 交于点 E，在直角ABE 中利用三角函数求得 BE 的长，则 EC 第 14 页（共 28 页） 的长即可求得，然后在直角CDE 中利用三角函数的定义求解 【解答】解：延长 AD 和 BC 交于点 E 在直角ABE 中，tanA，AB3， BE4， ECBEBC422， ABE 和CDE 中，BEDC90，EE， DCEA， 直角CDE 中，tanDCEtanA， 设 DE4x，则 DC3x， 在直角CDE 中，EC2DE2+DC2， 416x2+9x2， 解得：x， 则 CD 故
24、答案是： 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含 30 度直角三角形的性质，熟练掌握相 似三角形的判定与性质是解本题的关键 17 （4 分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这 两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线在四边 形 ABCD 中， 对角线 BD 是它的相似对角线， ABC70， BD 平分ABC， 那么ADC 145 度 【分析】依据四边形的相似对角线的定义，即可得到ABDDBC，ABDC， ADBC，再根据四边形内角和为 360，即可得到ADC 的度数 【解答】解：如图所示，ABC70，BD 平分ABC， ABD
25、DBC， 第 15 页（共 28 页） 又对角线 BD 是它的相似对角线， ABDDBC， ABDC，ADBC， A+CADC， 又A+C+ADC36070290， ADC145， 故答案为：145 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，理解新定义“相似对角线” ，利用相似三角 形的性质是解题的关键 18 （4 分）在 RtABC 中，A90，AC4，ABa，将ABC 沿着斜边 BC 翻折，点 A 落在点 A1处，点 D、E 分别为边 AC、BC 的中点，联结 DE 并延长交 A1B 所在直线于 点 F，联结 A1E，如果A1EF 为直角三角形时，那么 a 4 或 4 【分析】当A1EF 为
26、直角三角形时，存在两种情况： 当A1EF90时，如图 1，根据对称的性质和平行线可得：A1CA1E4，根据直 角三角形斜边中线的性质得：BC2A1B8，最后利用勾股定理可得 AB 的长； 当A1FE90时，如图 2，证明ABC 是等腰直角三角形，可得 ABAC4 【解答】解：当A1EF 为直角三角形时，存在两种情况： 当A1EF90时，如图 1， A1BC 与ABC 关于 BC 所在直线对称， A1CAC4，ACBA1CB， 点 D，E 分别为 AC，BC 的中点， D、E 是ABC 的中位线， DEAB， CDEMAN90， CDEA1EF， ACA1E， 第 16 页（共 28 页） AC
27、BA1EC， A1CBA1EC， A1CA1E4， RtA1CB 中， E 是斜边 BC 的中点， BC2A1E8， 由勾股定理得：AB2BC2AC2， AB4； 当A1FE90时，如图 2， ADFADFB90， ABF90， A1BC 与ABC 关于 BC 所在直线对称， ABCCBA145， ABC 是等腰直角三角形， ABAC4； 综上所述，AB 的长为 4或 4； 故答案为：4或 4； 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题） ，三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的 性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解 第 17 页（共 28 页） 决问题 三
28、、解答题：三、解答题：(本大题共本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）抛物线 yax2+bx+c 中，函数值 y 与自变量 x 之间的部分对应关系如表： x 3 2 1 0 1 y 4 1 0 1 4 （1）求该抛物线的表达式； （2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点 M（2，4）的位置，那么其平移的方法是 向右平移 3 个单位，向上平移 4 个单位 【分析】 （1）将（1，0） ， （0，1） ， （1，4）代入抛物线解析式 yax2+bx+c 中即 可得解； （2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c
29、过点（1，0） ， （0，1） ， （1，4） ， ， 解得， 该抛物线的表达式为 yx22x1； （2）新顶点 M（2，4） ， y（x2）2+4， yx22x1（x+1）2， 抛物线的表达式为 yx22x1 向右平移 3 个单位，向上平移 4 个单位可得到 y （x2）2+4， 故答案为：向右平移 3 个单位，向上平移 4 个单位 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用待定系数法求二次函数的解析式等知 识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键 20 （10 分）如图，已知在梯形 ABCD 中，ABCD，AB12，CD7，点 E 在边 AD 上， ，过点 E 作 EFAB 交边 BC
30、 于点 F （1）求线段 EF 的长； 第 18 页（共 28 页） （2）设 ， ，联结 AF，请用向量 、 表示向量 【分析】 （1）过 D 作 DMBC 交 EF 于 N，交 AB 于 M，则 BMFNCD7，根据平 行线分线段成比例定理即可得到结论； （2）根据平行线分线段成比例定理即可得到结论 【解答】解： （1）过 D 作 DMBC 交 EF 于 N，交 AB 于 M，则 BMFNCD7， AMABBM1275， ， EN2， EFEN+FN2+79； （2）EF9，AB12， ， ， ， ， ， ， + 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关
31、 键 第 19 页（共 28 页） 21 （10 分）如图，已知在ABC 中，ACB90，sinB，延长边 BA 至点 D，使 AD AC，联结 CD （1）求D 的正切值； （2）取边 AC 的中点 E，联结 BE 并延长交边 CD 于点 F，求的值 【分析】 （1）作高构造直角三角形，设 AC3x，表示出 CG、AG、DG，再利用直角三 角形的边角关系，求出D 正切值； （2）过点 C 作 CHDB，交 BF 的延长线于点 H，相似三角形、全等三角形，进而得出 HCAB5x，将：转化为求即可 【解答】解： （1）过点 C 作 CGAB，垂足为 G， ACB90， ACGB， 在ABC 中，
32、sinB，设 AC3x，则 AB5x，BC4x， sinACGsinB， AGx，CGx， DGDA+AG3x+xx， 在 RtDCG 中，tanD； （2）过点 C 作 CHDB，交 BF 的延长线于点 H，则有CHFDBF， 又有 E 是 AC 的中点，可证CHEABE， HCAB5x， 由CHFDBF 得： 第 20 页（共 28 页） 【点评】考查直角三角形的边角关系、相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定 和性质等知识，作合适的辅助线将问题转化为已知是解决问题的关键 22 （10 分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三 角形的知识测量教学楼的高度
33、，他们先在点 D 处用测角仪测得楼顶 M 的仰角为 30， 再沿 DF 方向前行 40 米到达点 E 处，在点 E 处测得楼项 M 的仰角为 45，已知测角仪 的高 AD 为 1.5 米请根据他们的测量数据求此楼 MF 的高 （结果精到 0.1m，参考数据： 1.414，1.732，2.449） 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用 其公共边构造三角关系，进而可求出答案 【解答】解：设 MCx， MAC30， 在 RtMAC 中，ACx MBC45， 在 RtMCB 中，MCBCx， 又ABDE40， ACBCAB40，即xx40， 解得：x20+2054
34、.6， MFMC+CF54.6+1.556.1（米） ， 答：楼 MF 的高 56.1 米 第 21 页（共 28 页） 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的 判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此 题的关键 23 （12 分）如图，已知在ABC 中，AD 是ABC 的中线，DACB，点 E 在边 AD 上，CECD （1）求证：； （2）求证：AC22AEAD 【分析】 （1）先利用等腰三角形的性质，由 CDCE 得到CEDEDC，则可根据等 角的补角相等得到AECADB，加上DACB，于是可根据有两组角对应相等的
35、两个三角形相似判断ACEBAD （2）由DACB 及公共角相等证明ACDBCA，利用相似比即可得到结论 【解答】 （1）证明：CDCE， CEDEDC， AEC+CED180，ADB+EDC180， AECADB， DACB ACEBAD； （2）DACB，ACDBCA， ACDBCA， ， AC2CDCB， ACEBAD， ， AEADBDCE， 第 22 页（共 28 页） 2AEAD2BDCEBCCD， AC22AEAD 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质关键是利用已知相等角，等腰三角形底 角的外角相等，证明三角形相似 24 （12 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y
36、mx22mx+4（m0）与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，且 AB6 （1）求这条抛物线的对称轴及表达式； （2）在 y 轴上取点 E（0，2） ，点 F 为第一象限内抛物线上一点，联结 BF，EF，如果 S 四边形OEFB10，求点 F 的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，点 F 在抛物线对称轴右侧，点 P 在 x 轴上且在点 B 左侧， 如果直线 PF 与 y 轴的夹角等于EBF，求点 P 的坐标 【分析】 （1）根据抛物线解析式求得对称轴方程为 x1，结合 AB6 求得点 A、B 的坐 标；然后利用待定系数法确定函数解析式； （2）如图 1，联结 OF，设 F（
37、t，t2+t+4） ，根据图形得到 S四边形OEFBSOEF+SOFB， 由三角形的面积公式列出方程，利用方程求得点 F 的横坐标，结合二次函数图象上点的 坐标特征求得点 F 的纵坐标； （3）如图 2，设 PF 与 y 轴的交点为 G由 tanEBOtanHFB得到：EBO HFB易推知PFBPBF故 PFPB设 P（a，0） 由两点间的距离公式求得相关 线段的长度并列出方程，通过解方程求得点 P 的横坐标 【解答】解： （1）由 ymx22mx+4m（x1）2+4m 得到：抛物线对称轴为直线 x 1 第 23 页（共 28 页） AB6， A（2，0） ，B（4，0） 将点 A 的坐标代入
38、函数解析式得到：4m+4m+40，解得 m 故该抛物线解析式是：yx2+x+4； （2）如图 1，联结 OF， 设 F（t，t2+t+4） ，则 S四边形OEFBSOEF+SOFB2t+4（t2+t+4）10 t11，t22 点 F 的坐标是（1，）或（2，4） ； （2）由题意得，F（2，4） ， 如图 2，设 PF 与 y 轴的交点为 G ， 第 24 页（共 28 页） tanEBO，tanHFB， tanEBOtanHFB EBOHFB 又PFHEGFFBE， PFBPBF PFPB 设 P（a，0） 则 PFPB， （a4）2（a2）2+42，解得 a1 P（1，0） 【点评】主要考
39、查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要 会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长 度，从而求出线段之间的关系 25 （14 分）已知在菱形 ABCD 中，AB4，BAD120，点 P 是直线 AB 上任意一点， 联结 PC在PCD 内部作射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q（与 B、D 不重合） ，且PCQ 30 （1）如图，当点 P 在边 AB 上时，如果 BP3，求线段 PC 的长； （2）当点 P 在射线 BA 上时，设 BPx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域； （3）联结 PQ，直线 PQ 与直线 BC 交于点
40、 E，如果QCE 与BCP 相似，求线段 BP 的 长 【分析】 （1）如图 1 中，作 PHBC 于 H解直角三角形求出 BH，PH，在 RtPCH 中， 理由勾股定理即可解决问题 （2）如图 1 中，作 PHBC 于 H，连接 PQ，设 PC 交 BD 于 O证明POQBOC， 推出OPQOBC30PCQ，推出 PQCQy，推出 PCy，在 RtPHB 第 25 页（共 28 页） 中，BHx，PHx，根据 PC2PH2+CH2，可得结论 （3）分两种情形：如图 2 中，若直线 QP 交直线 BC 于 B 点左侧于 E如图 3 中， 若直线 QP 交直线 BC 于 C 点右侧于 E分别求解
41、即可 【解答】解： （1）如图 1 中，作 PHBC 于 H 四边形 ABCD 是菱形， ABBC4，ADBC， A+ABC180， A120， PBH60， PB3，PHB90， BHPBcos60，PHPBsin60， CHBCBH4， PC （2）如图 1 中，作 PHBC 于 H，连接 PQ，设 PC 交 BD 于 O 四边形 ABCD 是菱形， ABDCBD30， PCQ30， PBOQCO， POBQOC， POBQOC， ， 第 26 页（共 28 页） ， POQBOC， POQBOC， OPQOBC30PCQ， PQCQy， PCy， 在 RtPHB 中，BHx，PHx， P
42、C2PH2+CH2， 3y2（x）2+（4x）2， y（0x8） （3）如图 2 中，若直线 QP 交直线 BC 于 B 点左侧于 E 此时CQE120， PBC60， PBC 中，不存在角与CQE 相等， 此时QCE 与BCP 不可能相似 如图 3 中，若直线 QP 交直线 BC 于 C 点右侧于 E 第 27 页（共 28 页） 则CQEBQBC+QCP60CBP， PCBE， 只可能BCPQCE75， 作 CFAB 于 F，则 BF2，CF2，PCF45， PFCF2， 此时 PB2+2， 如图 4 中，当点 P 在 AB 的延长线上时， CBE 与CBP 相似， CQECBP120， QCECBP15， 作 CFAB 于 F FCB30， FCB45， BFBC2，CFPF2， PB22 综上所述，满足条件的 PB 的值为 2+2或 22 【点评】本题考查相似形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题