1、函数y2x2先向右平移1个单位， 再向下平移2个单位， 所得函数解析式是 （ ） Ay2（x1）2+2 By2（x1）22 Cy2（x+1）2+2 Dy2（x+1）22 2 （4 分）在 RtABC 中，C90，若 BC3，AC4，则 sinB 的值为（ ） A B C D 3 （4 分）下列说法中，正确的是（ ） A如果 k0， 是非零向量，那么 k 0 B如果 是单位向量，那么 1 C如果| | |，那么 或 D已知非零向量 ，如果向量 5 ，那么 4 （4 分）如图，在 66 的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点 A、B，如果线段 AB 与网格线的其中两个交点为 M、N，那么 AM：M
2、N：NB 的值是（ ） A3：5：4 B3：6：5 C1：3：2 D1：4：2 5 （4 分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x （单位：度） （0x90）近似满足函数关系 yax2+bx+c（a0） 如图记录了某种 家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度 x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函 数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为 （ ） 第 2 页（共 29 页） A33 B36 C42 D49 6 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，
3、连结 BD、DP，BD 与 CF 相交于点 H，给出下列结论：BE2AEDFP BPHDP2PHPC；FE：BC，其中正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二填空题（共二填空题（共 12 小题，每题小题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）如果 tan，那么锐角 的度数是 8 （4 分）已知 f（x），那么 f（3） 9 （4 分）已知线段 AB2，P 是 AB 的黄金分割点，且 APBP，那么 AP 10 （4 分）已知点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）为抛物线 y（x2）2上的两点，如果 x1x2 2，那么 y1 y2 （填“” “”或“” ） 11 （4
4、 分）如果点 A（3，y1）和点 B（2，y2）是抛物线 yx2+a 上的两点，那么 y1 y2 （填“” 、 “” 、 “” ） 12 （4 分）抛物线 y2（x1）2+3 在对称轴右侧的部分是 的 （填“上升”或 “下降” ） 13 （4 分）如图，某小区门口的栏杆从水平位置 AB 绕固定点 O 旋转到位置 DC，已知栏杆 AB 的长为 3.5 米，OA 的长为 3 米，点 C 到 AB 的距离为 0.3 米，支柱 OE 的高为 0.6 米， 那么栏杆端点 D 离地面的距离为 米 第 3 页（共 29 页） 14 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，O、E 分别是 AC、AD 的中点，联
5、结 OE如果 AB3， AC4，那么 cotAOE 15 （4 分）如图，在四边形 ABCD 中，BD90，AB3，BC2，tanA，则 CD 16 （4 分）已知在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，C 与斜边 AB 相切，那么 C 的半径为 17 （4 分）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三 角形如图，请在边长为 1 个单位的 23 的方格纸中，找出一个格点三角形 DEF如果 DEF 与ABC 相似（相似比不为 1） ，那么DEF 的面积为 18 （4 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC4，BC6，点 D 在底边 BC 上，且DAC ACD，将AC
6、D 沿着 AD 所在直线翻折，使得点 C 落到点 E 处，联结 BE，那么 BE 的长为 第 4 页（共 29 页） 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 0 分）分） 19计算：3tan30+cos45+ 20已知：在平行四边形 ABCD 中，AB：BC3：2 （1）根据条件画图：作BCD 的平分线，交边 AB 于点 E，取线段 BE 的中点 F，联结 DF 交 CE 于点 G （2）设 ， ，那么向量 ； （用向量 、 表示） ，并在图中画出向 量在向量和方向上的分向量 21如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5cm，长度均为 20cm 的连杆 BC
7、、 CD 与 AB 始终在同一平面上 （1）转动连杆 BC，CD，使BCD 成平角，ABC150，如图 2，求连杆端点 D 离 桌面 l 的高度 DE （2）将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，经试验后发现，如图 3，当BCD 150时台灯光线最佳求此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度比原来降低了多少厘米？ 22如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC4，tanB3以 AB 为 直径作O，交边 DC 于 E、F 两点 第 5 页（共 29 页） （1）求证：DECF； （2）求：直径 AB 的长 23 水城门位于淀浦河和漕港河三叉口， 是环城水系公园淀浦河梦蝶岛
8、区域重要的标志性景 观在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高他们的操作 方法如下： 如图，先在 D 处测得点 A 的仰角为 20，再往水城门的方向前进 13 米至 C 处，测得点 A 的仰角为 31（点 D、C、B 在一直线上） ，求该水城门 AB 的高 （精确到 0.1 米） （参 考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36，sin310.52，cos310.86， tan310.60） 24已知：在平面直角坐标系 xOy 中，对称轴为直线 x2 的抛物线经过点 C（0，2） ，与 x 轴交于 A（3，0） 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）
9、 （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结 BC，求BCO 的余切值； （3）如果过点 C 的直线，交 x 轴于点 E，交抛物线于点 P，且CEOBCO，求点 P 的坐标 第 6 页（共 29 页） 25如图，在ABC 中，ABAC10，BC16，点 D 为 BC 边上的一个动点（点 D 不与 点 B、点 C 重合） 以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AF AD 交射线 DE 于点 F （1）求证：ABCEBDCD； （2）当 DF 平分ADC 时，求 AE 的长； （3）当AEF 是等腰三角形时，求 BD 的长 第 7 页（共 29 页） 2020 年
10、上海市虹桥区协和双语学校中考数学一模试卷年上海市虹桥区协和双语学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题，每题小题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1（4分） 函数y2x2先向右平移1个单位， 再向下平移2个单位， 所得函数解析式是 （ ） Ay2（x1）2+2 By2（x1）22 Cy2（x+1）2+2 Dy2（x+1）22 【分析】先确定物线 y2x2的顶点坐标为（0，0） ，再把点（0，0）平移所得对应点的 坐标为（1，2） ，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 【解答】解：抛物线 y2x2的顶点坐标为（0，0） ，把（
11、0，0）先向右平移 1 个单位， 再向下平移 2 个单位所得对应点的坐标为（1，2） ，所以平移后的抛物线解析式为 y 2（x1）22 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不 变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点 平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出 解析式 2 （4 分）在 RtABC 中，C90，若 BC3，AC4，则 sinB 的值为（ ） A B C D 【分析】根据三角函数的定义解决问题即可 【解答】解：如图，在 RtABC 中，C90，BC3，AC4，
12、 AB5， sinB， 故选：A 第 8 页（共 29 页） 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型 3 （4 分）下列说法中，正确的是（ ） A如果 k0， 是非零向量，那么 k 0 B如果 是单位向量，那么 1 C如果| | |，那么 或 D已知非零向量 ，如果向量 5 ，那么 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可 【解答】解：A、如果 k0， 是非零向量，那么 k 0，错误，应该是 k B、如果 是单位向量，那么 1，错误应该是| |1 C、如果| | |，那么 或 ，错误模相等的向量，不一定平行 D、已知非零向量 ，如果向量 5 ，那么
13、，正确 故选：D 【点评】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型 4 （4 分）如图，在 66 的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点 A、B，如果线段 AB 与网格线的其中两个交点为 M、N，那么 AM：MN：NB 的值是（ ） A3：5：4 B3：6：5 C1：3：2 D1：4：2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可 【解答】解：， AM：MN：NB1：3：2， 第 9 页（共 29 页） 故选：C 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题 的关键 5 （4 分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量
14、y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x （单位：度） （0x90）近似满足函数关系 yax2+bx+c（a0） 如图记录了某种 家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度 x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函 数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为 （ ） A33 B36 C42 D49 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称 x 的取值范围，从而可以解答本 题 【解答】解：由图象可知，物线开口向上， 从 18 和 72 两个点可以看出对称抽 x 所以最终对称抽的范围是 36x45 即对称轴位于直线 x36 与直线 x45 之间 所以此燃气灶烧开一壶
15、水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为 42 故选：C 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想 解答 6 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，连结 BD、DP，BD 与 CF 相交于点 H，给出下列结论：BE2AEDFP BPHDP2PHPC；FE：BC，其中正确的个数为（ ） 第 10 页（共 29 页） A1 B2 C3 D4 【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论 【解答】解：BPC 是等边三角形， BPPCBC，PBCPCBBPC60， 在正方形 ABCD 中
16、， ABBCCD，AADCBCD90 ABEDCF30， BE2AE；故正确； PCCD，PCD30， PDC75， FDP15， DBA45， PBD15， FDPPBD， DFPBPC60， DFPBPH；故正确； PDHPCD30，DPHDPC， DPHCPD， ， DP2PHPC，故正确； ABE30，A90 AEABBC， DCF30， DFDCBC， 第 11 页（共 29 页） EFAE+DFBCBC， FE：BC（23） ：3 故正确， 故选：D 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答 此题的关键是熟练掌握性质和定理 二填空题（共二填空题（
17、共 12 小题，每题小题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）如果 tan，那么锐角 的度数是 60 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案 【解答】解：tan， 锐角 的度数是：60 故答案为：60 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 8 （4 分）已知 f（x），那么 f（3） 【分析】将 x3 代入 f（x）计算即可 【解答】解：当 x3 是，f（3）， 故答案为 【点评】本题考查函数值的求法；掌握代入法求函数值是解题的关键 9 （4 分）已知线段 AB2，P 是 AB 的黄金分割点，且 APBP，那么 AP 1 【分析
18、】根据黄金分割的概念、黄金比值为计算 【解答】解：P 是 AB 的黄金分割点，APBP， APAB1， 故答案为： 【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键 10 （4 分）已知点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）为抛物线 y（x2）2上的两点，如果 x1x2 2，那么 y1 y2 （填“” “”或“” ） 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 y（x2） 2 的开口向上，对称轴为直线 x2， 则在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，所以 x1x22 时，y1y2 第 12 页（共 29 页） 【解答】解：y（x2）2， a10， 抛物线开口向上， 抛物线 y（x2）
19、2对称轴为直线 x2， x1x22， y1y2 故答案为 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图 象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当 a0，抛物线开口向上；对称轴 为直线 x，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 增大 11 （4 分）如果点 A（3，y1）和点 B（2，y2）是抛物线 yx2+a 上的两点，那么 y1 y2 （填“” 、 “” 、 “” ） 【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线 x0，抛物线的开口向 上，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，再比较即可 【
20、解答】解：yx2+a， 抛物线的对称轴是直线 x0，抛物线的开口向上，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， 320， y1y2， 故答案为： 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质等知识点， 能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键 12 （4 分）抛物线 y2（x1）2+3 在对称轴右侧的部分是 下降 的 （填“上升”或 “下降” ） 【分析】根据 a0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势 【解答】解：a20， 抛物线开口向下， 对称轴右侧的部分呈下降趋势 故答案为：下降 第 13 页（共 29 页） 【点评】本题考查了二次函数的性质，根据
21、抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变 化规律是解题的关键 13 （4 分）如图，某小区门口的栏杆从水平位置 AB 绕固定点 O 旋转到位置 DC，已知栏杆 AB 的长为 3.5 米，OA 的长为 3 米，点 C 到 AB 的距离为 0.3 米，支柱 OE 的高为 0.6 米， 那么栏杆端点 D 离地面的距离为 2.4 米 【分析】过 D 作 DGAB 于 G，过 C 作 CHAB 于 H，则 DGCH，根据相似三角形的 性质即可得到结论 【解答】解：过 D 作 DGAB 于 G，过 C 作 CHAB 于 H， 则 DGCH， ODGOCH， ， 栏杆从水平位置 AB 绕固定点 O 旋转到位置
22、 DC， CDAB3.5m，ODOA3m，CH0.3m， OC0.5m， ， DG1.8m， OE0.6m， 栏杆 D 端离地面的距离为 1.8+0.62.4m 故答案为：2.4 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与 性质 第 14 页（共 29 页） 14 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，O、E 分别是 AC、AD 的中点，联结 OE如果 AB3， AC4，那么 cotAOE 【分析】连接 OD，根据菱形的性质、勾股定理求出 OD，根据三角形中位线定理得到 AOEACD，根据余切的定义计算，得到答案 【解答】解：连接 OD， 四边形 ABCD 为
23、菱形， ODAC，OAOCAC2， 由勾股定理得，OD， O、E 分别是 AC、AD 的中点， OECD， AOEACD， cotAOEcotACD， 故答案为： 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、锐角三角函数的定义，掌握三角形的中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键 15 （4 分）如图，在四边形 ABCD 中，BD90，AB3，BC2，tanA，则 CD 第 15 页（共 29 页） 【分析】延长 AD 和 BC 交于点 E，在直角ABE 中利用三角函数求得 BE 的长，则 EC 的长即可求得，然后在直角CDE 中利用三角函数的定义求解 【解答】解：延长 AD 和 BC
24、交于点 E 在直角ABE 中，tanA，AB3， BE4， ECBEBC422， ABE 和CDE 中，BEDC90，EE， DCEA， 直角CDE 中，tanDCEtanA， 设 DE4x，则 DC3x， 在直角CDE 中，EC2DE2+DC2， 416x2+9x2， 解得：x， 则 CD 故答案是： 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含 30 度直角三角形的性质，熟练掌握相 似三角形的判定与性质是解本题的关键 16 （4 分）已知在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，C 与斜边 AB 相切，那么 C 的半径为 【分析】r 的长即为斜边 AB 上的高，由勾股定理易求得 AB 的
25、长，根据直角三角形面积 第 16 页（共 29 页） 的不同表示方法，即可求出 r 的值 【解答】解：RtABC 中，C90，AC3，BC4； 由勾股定理，得：AB232+4225， AB5； 又AB 是C 的切线， CDAB， CDr； SABCACBCABr， r， 故答案为： 【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法，熟练掌握切线的 性质是解题的关键 17 （4 分）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三 角形如图，请在边长为 1 个单位的 23 的方格纸中，找出一个格点三角形 DEF如果 DEF 与ABC 相似（相似比不为 1） ，那么
26、DEF 的面积为 1 【分析】根据相似三角形的判定定理得到DEFABC，根据三角形的面积公式计算， 得到答案 【解答】解：如图，在DEF 中，DE，EF2，DF， 则， 第 17 页（共 29 页） ， DEFABC， DEF 的面积211， 故答案为：1 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解 题的关键 18 （4 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC4，BC6，点 D 在底边 BC 上，且DAC ACD，将ACD 沿着 AD 所在直线翻折，使得点 C 落到点 E 处，联结 BE，那么 BE 的长为 1 【分析】只要证明ABDMBE，得，只要求出 BM、
27、BD 即可解决问题 【解答】解：ABAC， ABCC， DACACD， DACABC， CC， CADCBA， ， ， CD，BDBCCD， DAMDACDBA，ADMADB， 第 18 页（共 29 页） ADMBDA， ，即， DM，MBBDDM， ABMCMED， A、B、E、D 四点共圆， ADBBEM，EBMEADABD， ABDMBE， （不用四点共圆，可以先证明BMAEMD，推出BMEAMD， 推出ADBBEM 也可以！ ） ， BE1 故答案为：1 【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本
28、题需要三次相似解决问题， 题目比较难 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 0 分）分） 19计算：3tan30+cos45+ 【分析】代入特殊角的三角函数值即可 【解答】解：原式3+ 2+2+1 21 【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的三角函数值， 代入求值即可 第 19 页（共 29 页） 20已知：在平行四边形 ABCD 中，AB：BC3：2 （1）根据条件画图：作BCD 的平分线，交边 AB 于点 E，取线段 BE 的中点 F，联结 DF 交 CE 于点 G （2）设 ， ，那么向量 ； （用向量 、 表示） ，并在图中 画出向量在向量和方向
29、上的分向量 【分析】 （1）首先作BCD 的平分线，然后作 BE 的垂直平分线即可； （2）首先判定GEFGCD，然后根据 AB：BC3：2，得，进而得出 EFCD，CGCE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量 【解答】解： （1）作BCD 的平分线，交边 AB 于点 E，取线段 BE 的中点 F，联结 DF 交 CE 于点 G 作图如下： （2）CE 为BCD 的平分线， BCEDCE 又ABCD DCEBEC GEFGCD AB：BC3：2 第 20 页（共 29 页） EFCD，CGCE ， ， ， +， （+）（+ ） 同理可得， （+）（ ） 在向量和方向上的分向量，如图所示
30、： 故答案为： 【点评】此题考查了角平分线的作图以及向量的运算，熟练掌握，即可解题 21如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5cm，长度均为 20cm 的连杆 BC、 CD 与 AB 始终在同一平面上 （1）转动连杆 BC，CD，使BCD 成平角，ABC150，如图 2，求连杆端点 D 离 桌面 l 的高度 DE （2）将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，经试验后发现，如图 3，当BCD 150时台灯光线最佳求此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度比原来降低了多少厘米？ 第 21 页（共 29 页） 【分析】 （1）如图 2 中，作 BODE 于 O解直角三
31、角形求出 OD 即可解决问题 （2）过 C 作 CGBH，CKDE，由题意得，BCCD20m，CGKH，解直角三角形 即可得到结论 【解答】解： （1）如图 2 中，作 BODE 于 O OEABOEBAE90， 四边形 ABOE 是矩形， OBA90， DBO1509060， ODBDsin6020（cm） ， DEOD+OEOD+AB（20+5）cm； （2）过 C 作 CGBH，CKDE， 由题意得，BCCD20m，CGKH， 在 RtCGB 中，sinCBH， CG10cm， KH10cm， 第 22 页（共 29 页） BCG906030， DCK150903030， 在 RtDCK
32、 中，sinDCK， DK10cm， （20+5）（15+10）1010， 答：比原来降低了（1010）厘米 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角 三角形解决问题 22如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC4，tanB3以 AB 为 直径作O，交边 DC 于 E、F 两点 （1）求证：DECF； （2）求：直径 AB 的长 【分析】 （1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出 DHHC，进而得出 答案； （2）过点 A 作 AGBC，垂足为点 G，再利用已知结合勾股定理得出答案 【解答】 （1）证明：过点 O 作 OHDC
33、，垂足为 H ADBC，ADC90，OHDC， BCNOHCADC90 ADOHBC 第 23 页（共 29 页） 又OAOB DHHC OHDC，OH 过圆心， EHHF， DHEHHCHF 即：DECF （2）解：过点 A 作 AGBC，垂足为点 G，AGB90， AGBBCN90， AGDC ADBC， ADCG AD2，BC4， BGBCCG2 在 RtAGB 中，tanB3， AGBGtanB236 在 RtAGB 中，AB2AG2+BG2 AB 【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键 23 水城门位于淀浦河和漕港河三叉口， 是环城水系公园淀浦河梦蝶岛
34、区域重要的标志性景 观在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高他们的操作 方法如下： 如图，先在 D 处测得点 A 的仰角为 20，再往水城门的方向前进 13 米至 C 处，测得点 A 的仰角为 31（点 D、C、B 在一直线上） ，求该水城门 AB 的高 （精确到 0.1 米） （参 考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36，sin310.52，cos310.86， tan310.60） 第 24 页（共 29 页） 【分析】在 RtABD 中可得出 BD，在 RtABC 中，可得 BC，则可得 BDBC13，求出 AB 即可 【解答】解：由题意
35、得，ABD90，D20，ACB31，CD13， 在 RtABD 中，tanD， BD， 在 RtABC 中，tanACB， BC， CDBDBC， 13， 解得 AB11.7 米 答：水城门 AB 的高为 11.7 米 【点评】本题考查解直角三角形的应用，属于理论结合实际的问题，解答此类题目的关 键是构造直角三角形，然后利用三角函数值求出未知线段的长度 24已知：在平面直角坐标系 xOy 中，对称轴为直线 x2 的抛物线经过点 C（0，2） ，与 x 轴交于 A（3，0） 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结 BC，求BCO 的余切值； （3）如果过
36、点 C 的直线，交 x 轴于点 E，交抛物线于点 P，且CEOBCO，求点 P 的坐标 第 25 页（共 29 页） 【分析】 （1）设抛物线的表达式为 yax2+bx+c，将 A，B 的坐标及对称轴方程代入即可； （2）分别求出点 B，C 的坐标，直接在 RtOBC 中，根据余切定义即可求出； （3）设点 E 的坐标是（x，0） ，求出点 E 的坐标，再求出 CE 的解析式，即可求出其与 抛物线的交点坐标 【解答】解： （1）设抛物线的表达式为 yax2+bx+c，将点 C（0，2） 、A（3，0） 、对 称轴直线 x2 代入， 得：， 解得：， 这条抛物线的表达式为； （2）令 y0，那么
37、， 解得 x13，x21， 点 A 的坐标是（3，0） ，点 B 的坐标是（1，0） ， C（0，2） ， OB1，OC2， 在 RtOBC 中，BOC90， ； （3）设点 E 的坐标是（x，0） ，得 OE|x| 第 26 页（共 29 页） CEOBCO， cotCEOcotBCO， 在 RtEOC 中， |x|4，点 E 坐标是（4，0）或（4，0） ， 点 C 坐标是（0，2） ， ， ，或 解得和（舍去） ，或和（舍去） ； 点 P 坐标是（，）或（，） 第 27 页（共 29 页） 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点 E 坐标 时需注意可在 x
38、 轴的正半轴，也可在负半轴 25如图，在ABC 中，ABAC10，BC16，点 D 为 BC 边上的一个动点（点 D 不与 点 B、点 C 重合） 以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AF AD 交射线 DE 于点 F （1）求证：ABCEBDCD； （2）当 DF 平分ADC 时，求 AE 的长； （3）当AEF 是等腰三角形时，求 BD 的长 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到BC，根据三角形的外角性质得到BAD CDE，得到BADCDE，根据相似三角形的性质证明结论； （2）证明 DFAB，根据平行线的性质得到，证明BDABAC，根据相似 三角
39、形的性质列式计算，得到答案； （3）分点 F 在 DE 的延长线上、点 F 在线段 DE 上两种情况，根据等腰三角形的性质计 算即可 【解答】 （1）证明：ABAC， BC， ADCBAD+B，ADEB， BADCDE，又BC， BADCDE， ，即 ABCEBDCD； （2）解：DF 平分ADC， ADECDE， CDEBAD， ADEBAD， 第 28 页（共 29 页） DFAB， ， BADADEB， BADC，又BB， BDABAC， ，即 解得，BD， ， 解得，AE； （3）解：作 AHBC 于 H， ABAC，AHBC， BHHCBC8， 由勾股定理得，AH6， tanB， t
40、anADF， 设 AF3x，则 AD4x， 由勾股定理得，DF5x， BADCDE， ， 当点 F 在 DE 的延长线上，FAFE 时，DE5x3x2x， ， 解得，CD5， BDBCCD11， 当 EAEF 时，DEEF2.5x， 第 29 页（共 29 页） ， 解得，CD， BDBCCD； 当 AEAF3x 时，DEx， ， 解得，CD， BDBCCD； 当点 F 在线段 DE 上时，AFE 为钝角， 只有 FAFE3x，则 DE8x， ， 解得，CD2016，不合题意， AEF 是等腰三角形时，BD 的长为 11 或或 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形 的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键