1、如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 1：3，它把物体从地面点 A 处送到离地 面 3 米高的 B 处，则物体从 A 到 B 所经过的路程为（ ） A3米 B2米 C米 D9 米 6 （4 分）下列说法正确的是（ ） A +（ ）0 B如果 和 都是单位向量，那么 C如果| | |，那么 第 2 页（共 24 页） D如果 （ 为非零向量） ，那么 二、填空题二、填空题 7 （4 分）已知 x3y，那么 8 （4 分）已知线段 AB2cm，P 是线段 AB 的黄金分割点，PAPB，那么线段 PA 的长度 等于 cm 9 （4 分）如果两个相似三角形对应边之比是 2：3，那么它们的对应中线之比是
2、10 （4 分）如果二次函数 yx22x+k3 的图象经过原点，那么 k 的值是 11 （4 分）将抛物线 y3x2向下平移 4 个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式 为 12 （4 分）如果抛物线经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ，那么这条抛物线的对称轴是直 线 13 （4 分）二次函数 y2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是 （填“上升” 或“下降” ） 14 （4 分）如图，在ABC 中，AE 是 BC 边上的中线，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 GFAB 交 BC 于点 F，那么 15 （4 分）如图，已知 ABCDEF，AD6，DF3，BC7，那么线段 CE 的长
3、度等 于 16 （4 分）如图，将ABC 沿射线 BC 方向平移得到DEF，边 DE 与 AC 相交于点 G，如 果 BC6cm， ABC 的面积等于 9cm2， GEC 的面积等于 4cm2， 那么 CF cm 第 3 页（共 24 页） 17 （4 分）用“描点法”画二次函数 yax2+bx+c 的图象时，列出了如下的表格： x 0 1 2 3 4 yax2+bx+c 3 0 1 0 3 那么当 x5 时，该二次函数 y 的值为 18 （4 分）在 RtABC 中，C90，AC2，BC4，点 D、E 分别是边 BC、AB 的中 点，将BDE 绕着点 B 旋转，点 D、E 旋转后的对应点分别
4、为点 D、E，当直线 DE经 过点 A 时，线段 CD的长为 三、解答题三、解答题 19 （10 分）计算：+cot260 20 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，且 AE2ED，联结 BE 并延 长交边 CD 的延长线于点 F，设 ， （1）用 ， 表示，； （2）先化简，在求作： （+ ）+2（ ） （不要求写作法，但要写明结论） 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD3，AC6，AE 4，AB8 （1）如果 BC7，求线段 DE 的长； （2）设DEC 的面积为 a，求BDC 的面积（用 a 的代数式表示）
5、 第 4 页（共 24 页） 22 （10 分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针 BC 的长度，在地面上点 A 处测得避雷针底 部 B 和顶部 C 的仰角分别为 5558和 57，已知点 A 与楼底中间部位 D 的距离约为 80 米，求避雷针 BC 的长度（参考数据：sin55580.83，cos55580.56，tan5558 1.48，sin570.84，tan571.54） 23 （12 分）如图，已知ABC 和ADE，点 D 在 BC 边上，DADC，ADEB，边 DE 与 AC 相交于点 F （1）求证：ABADDFBC； （2）如果 AEBC，求证： 24 （12 分）如图，在平面直
6、角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的两个交点分 别为 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴相交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）联结 AC、BC，求ACB 的正切值； （3）点 P 在抛物线上，且PABACB，求点 P 的坐标 第 5 页（共 24 页） 25 （14 分）在 RtABC 中，A90，AB4，AC3，D 为 AB 边上一动点（点 D 与 点 A、B 不重合） ，联结 CD，过点 D 作 DEDC 交边 BC 于点 E （1）如图，当 EDEB 时，求 AD 的长； （2）设 ADx，BEy，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数定义域；
7、（3）把BCD 沿直线 CD 翻折得CDB，联结 AB，当CAB是等腰三角形时，直接写 出 AD 的长 第 6 页（共 24 页） 2020 年上海市浦东新区中考数学一模试卷年上海市浦东新区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （4 分）在 RtABC 中，C90，如果 BC5，AB13，那么 sinA 的值为（ ） A B C D 【分析】本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解 【解答】解：如图： 在 RtABC 中，C90，BC5，AB13， sinA 故选：A 【点评】此题考查了三角函数的定义可借助图形分析，确保正确率 2 （4 分）下
8、列函数中，是二次函数的是（ ） Ay2x1 By Cyx2+1 Dy（x1）2x2 【分析】根据二次函数的标准形式 yax2+bx+c（a0） ，从选项中直接可以求解 【解答】解：二次函数的标准形式为 yax2+bx+c（a0） ， yx2+1 是二次函数， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键 3 （4 分）抛物线 yx24x+5 的顶点坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 【分析】利用配方法化成顶点式求解即可 【解答】解：yx24x+5（x2）2+1， 顶点坐标为（2，1） ， 第 7 页（共 24 页） 故选
9、：B 【点评】本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方 法 4 （4 分）如图，点 D、E 分别在ABC 的边 AB、AC 上，下列各比例式不一定能推得 DE BC 的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可 【解答】解：， DEBC， ， DEBC， ， DEBC， 故选：B 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题 的关键 5 （4 分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 1：3，它把物体从地面点 A 处送到离地 面 3 米高的 B 处，则物体从 A 到 B 所经过的路程为（ ） A3米 B2米 C
10、米 D9 米 【分析】由题意可得物体从 A 到 B 所经过的路程为 AB 的长，根据坡比求出 AC 的长，再 根据勾股定理求出 AB 的长即可 第 8 页（共 24 页） 【解答】解：BC：AC1：3， 3：AC1：3， AC9， AB3， 物体从 A 到 B 所经过的路程为 3， 故选：A 【点评】本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键 6 （4 分）下列说法正确的是（ ） A +（ ）0 B如果 和 都是单位向量，那么 C如果| | |，那么 D如果 （ 为非零向量） ，那么 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可 【解答】解：A、 +（ ）0，错误应该等于零向量 B、如
11、果 和 都是单位向量，那么 ，错误，模相等，方向不一定相同 C、如果| | |，那么 ，错误，模相等，方向不一定相同 D、如果 （ 为非零向量） ，那么 ，正确， 故选：D 【点评】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型 二、填空题二、填空题 7 （4 分）已知 x3y，那么 【分析】直接利用已知代入原式求出答案 【解答】解：x3y， 第 9 页（共 24 页） 故答案为： 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确把 x 代入是解题关键 8 （4 分）已知线段 AB2cm，P 是线段 AB 的黄金分割点，PAPB，那么线段 PA 的长度 等于 1 cm
12、 【分析】根据黄金分割的定义： 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 BP（PAPB） ，且使 AP 是 AB 和 BP 的比例中项，叫做 把线段 AB 黄金分割，点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点 【解答】解：根据黄金分割定义，得 PA2ABPB， PA22（2PA） 解得 PA1 故答案为1 【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义 9 （4 分）如果两个相似三角形对应边之比是 2：3，那么它们的对应中线之比是 2：3 【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答 【解答】解：两个相似三角形对应边之比是 2：3， 它们的对应中线之比是 2：3， 故答案为：2：3
13、【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对 应角平分线的比都等于相似比 10 （4 分）如果二次函数 yx22x+k3 的图象经过原点，那么 k 的值是 3 【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求 k 即可 【解答】解：二次函数 yx22x+k3 的图象经过原点， k30， 解得 k3， 故答案为：3 【点评】此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解 题的关键 11 （4 分）将抛物线 y3x2向下平移 4 个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为 y 第 10 页（共 24 页） 3x24 【分析】根据向下平移，
14、纵坐标相减，即可得到答案 【解答】解：抛物线 y3x2向下平移 4 个单位， 抛物线的解析式为 y3x24， 故答案为：y3x24 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a| 12 （4 分）如果抛物线经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ，那么这条抛物线的对称轴是直 线 x2 【分析】根据点 A，B 的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解 【解答】解：抛物线经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ， 抛物线的对称轴为直线 x2 故答案为：x2 【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解 题的关键
15、13 （4 分）二次函数 y2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是 上升 （填“上升” 或“下降” ） 【分析】由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分 y 随 x 值的 增大而增大 【解答】解：20， 二次函数的开口向下， 则图象在对称轴左侧的部分 y 随 x 值的增大而增大， 故答案为上升 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键 14 （4 分）如图，在ABC 中，AE 是 BC 边上的中线，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 GFAB 交 BC 于点 F，那么 【分析】由点 G 是ABC 的重心，可得 GE：AG1：2，则 GE：
16、AE1：3，再 GF 第 11 页（共 24 页） AB，得出结论 【解答】解：点 G 是ABC 的重心， GE：AG1：2， GE：AE1：3， GFAB， EGFEAB， ， 故答案为 【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶 点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1也考查了相似三角形的判定与性质 15 （4 分）如图，已知 ABCDEF，AD6，DF3，BC7，那么线段 CE 的长度等于 【分析】根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可 【解答】解：ABCDEF，AD6，DF3，BC7， ， 即， 解得：CE， 故答案为： 【点评】本题主要考查平
17、行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是 解题的关键 16 （4 分）如图，将ABC 沿射线 BC 方向平移得到DEF，边 DE 与 AC 相交于点 G，如 果 BC6cm，ABC 的面积等于 9cm2，GEC 的面积等于 4cm2，那么 CF 2 cm 第 12 页（共 24 页） 【分析】易证ABCGEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求 得 EC 的长，则 CF 即可求解 【解答】解：ABDE， ABCGEC， （）2， EC4cm， EFBC6cm， CFEFEC642cm 故答案是：2 【点评】本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得
18、 EC 的长 是关键 17 （4 分）用“描点法”画二次函数 yax2+bx+c 的图象时，列出了如下的表格： x 0 1 2 3 4 yax2+bx+c 3 0 1 0 3 那么当 x5 时，该二次函数 y 的值为 8 【分析】从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1） ，抛物线过点（0，3） ，代入求出 抛物线的解析式，再把 x5 代入函数解析式，即可求出答案 【解答】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1） ， 设 yax2+bx+ca（x2）2+1， 从表格可知过点（0，3） ，代入得：3a（02）2+1， 解得：a1， 即 y（x2）2+1， 当 x5 时，y（52）2+18， 故
19、答案为：8 第 13 页（共 24 页） 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系 数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键 18 （4 分）在 RtABC 中，C90，AC2，BC4，点 D、E 分别是边 BC、AB 的中 点，将BDE 绕着点 B 旋转，点 D、E 旋转后的对应点分别为点 D、E，当直线 DE经 过点 A 时，线段 CD的长为 2或 【分析】分两种情况：点 A 在 ED的延长线上时；点 A 在线段 DE的延长线上时； 然后分类讨论，求出线段 BD 的长各是多少即可 【解答】解：如图 1，当点 A 在 ED的延长线上
20、时， C90，AC2，BC4， AB2， 点 D、E 分别是边 BC、AB 的中点， DEAC，DEAC1，BDBC2， EDBACB90， 将BDE 绕着点 B 旋转， BDEBDE90，DEDE1，BDBD2， 在 RtABC 和 RtBAD中，DBAC2，ABBA， RtABCRtBAD（HL） ， ADBC，且 ACDB， 四边形 ACBD是平行四边形，且ACB90， 四边形 ACBD是矩形， CDAB2； 如图 2，当点 A 在线段 DE的延长线上时， 第 14 页（共 24 页） ADB90， AD4， AEADDE3， 将BDE 绕着点 B 旋转， ABCEBD， ， ABECB
21、D， ， ， CD， 故答案为：2或 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定 和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似 三角形解决问题，属于中考常考题型 三、解答题三、解答题 19 （10 分）计算：+cot260 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案 【解答】解：原式+（）2 + 第 15 页（共 24 页） 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 20 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，且 AE2ED，联结 BE 并延 长交边 CD
22、的延长线于点 F，设 ， （1）用 ， 表示，； （2）先化简，在求作： （+ ）+2（ ） （不要求写作法，但要写明结论） 【分析】 （1）利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可 （2）先化简，取 AB 的中点 H，连接 HC，即为所求 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ，ABCD， AE2ED， ， + +b， DF：ABDE：AE1：2， DFAB， （2） （+ ）+2（ ）+ +2 2 ， 取 AB 的中点 H，连接 HC，即为所求 【点评】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 第 16 页（共 24 页） 中考常考题型
23、 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD3，AC6，AE 4，AB8 （1）如果 BC7，求线段 DE 的长； （2）设DEC 的面积为 a，求BDC 的面积（用 a 的代数式表示） 【分析】 （1）通过证明ADEACB，可求解； （2）由线段的数量关系可求面积关系，即可求解 【解答】解： （1）， ，且DAEBAC， ADEACB， ， DE7； （2）AE4，AC6， EC2AC， SACD3SDEC3a， AD3，AB8， BD5AD， SBDCSADC5a 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明ADEACB 是本题的关键 22 （1
24、0 分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针 BC 的长度，在地面上点 A 处测得避雷针底 部 B 和顶部 C 的仰角分别为 5558和 57，已知点 A 与楼底中间部位 D 的距离约为 80 米，求避雷针 BC 的长度（参考数据：sin55580.83，cos55580.56，tan5558 1.48，sin570.84，tan571.54） 第 17 页（共 24 页） 【分析】解直角三角形求出 CD，BD，根据 BCCDBD 求解即可 【解答】解：在 RtABD 中，tanBAD， 1.48， AD80 米， BD118.4（米） ， 在 RtCAD 中，tanCAD， 1.54， CD123
25、.2（米） ， BCCDBD4.8（米） 答：避雷针 BC 的长度为 4.8 米 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型 23 （12 分）如图，已知ABC 和ADE，点 D 在 BC 边上，DADC，ADEB，边 DE 与 AC 相交于点 F （1）求证：ABADDFBC； （2）如果 AEBC，求证： 【分析】 （1）由等腰三角形的性质得出DACC，由已知ADEB，证明ABC 第 18 页（共 24 页） FDA，得出，即可得出结论； （2）由三角形的外角性质得出CDFBAD，由平行线的性质得出ECDF，C EAF， 证出BADE， 证明ABD
26、EDA， 得出， 证出EAFDAC， 即 AC 平分DAE，作 FMAD 于 M，FNAE 于 N，则 FMFM，求出 ，即可得出结论 【解答】 （1）证明：DADC， DACC， 又ADEB， ABCFDA， ， ABADDFBC； （2）证明：ADE+CDFB+BAD，ADEB， CDFBAD， AEBC， ECDF，CEAF， BADE， 又ADEB， ABDEDA， ， DADC， DACC， EAFDAC，即 AC 平分DAE， 作 FMAD 于 M，FNAE 于 N， 则 FMFM， ， 第 19 页（共 24 页） 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角
27、形的外角性质、 平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的两个交点分 别为 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴相交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）联结 AC、BC，求ACB 的正切值； （3）点 P 在抛物线上，且PABACB，求点 P 的坐标 【分析】 （1）将点 A，B 坐标代入抛物线 yx2+bx+c 即可； （2）如图 1，过点 A 作 AHBC 于 H，分别证OBC 和AHB 是等腰直角三角形，可 求出 CH，AH 的长，可在 RtAHC 中，直接求出A
28、CB 的正切值； （3）此问需分类讨论，当PABACB 时，过点 P 作 PMx 轴于点 M，设 P（a， a2+2a+3） ，由同角的三角函数值相等可求出 a 的值，由对称性可求出第二种情况 【解答】解： （1）将点 A（1，0） ，B（3，0）代入抛物线 yx2+bx+c 中， 得， 解得，b2，c3， 抛物线的表达式为 yx2+2x+3； （2）在 yx2+2x+3 中，当 x0 时，y3， 第 20 页（共 24 页） C（0，3） ， OCOB3， OBC 为等腰直角三角形，OBC45， BCOC3， 如图 1，过点 A 作 AHBC 于 H， 则HABHBA45， AHB 是等腰直
29、角三角形， AB4， AHBHAB2， CHBCBH， 在 RtAHC 中，tanACH2， 即ACB 的正切值为 2； （3）如图 2，当PABACB 时，过点 P 作 PMx 轴于点 M， 设 P（a，a2+2a+3） ，则 M（a，0） ， 由（1）知，tanACB2， tanPAM2， 2， 2， 解得，a11（舍去） ，a21， P1（1，4） ； 取点 P （1， 4） 关于 x 轴的对称点 Q （1， 4） ， 延长 AQ 交抛物线于 P2， 则此时P2AB PAMACB， 设直线 PQ 的解析式为 ykx+b，将 A（1，0） ，Q（1，4）代入， 得， 解得，k2，b2， y
30、AQ2x2， 第 21 页（共 24 页） 联立， 解得，或， P2（5，12） ； 综上所述，点 P 的坐标为（1，4）或（5，12） 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是 第三问要注意分类讨论思想的运用 25 （14 分）在 RtABC 中，A90，AB4，AC3，D 为 AB 边上一动点（点 D 与 点 A、B 不重合） ，联结 CD，过点 D 作 DEDC 交边 BC 于点 E （1）如图，当 EDEB 时，求 AD 的长； （2）设 ADx，BEy，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数定义域； （3）把BCD 沿直线 CD 翻折得CDB，联
31、结 AB，当CAB是等腰三角形时，直接写 出 AD 的长 第 22 页（共 24 页） 【分析】 （1）证明ACDEDBB，推出 tanACDtanB，可得，由 此构建方程即可解决问题 （2）如图 1 中，作 EHBD 于 H证明ACDHDE，推出，由此构建关系 式即可解决问题 （3）分两种情形：如图 31 中，设 CB交 AB 于 K，作 AECK 于 E，DMCB 于 M，DNBC 于 N利用角平分线的性质定理求出 BD 即可如图 32 中，当 CB 交 BA 的延长线于 K 时，同法可得 BD 【解答】解： （1）EDEB， EDBB， CDDE， CDEA90， ACD+ADC90，A
32、DC+EDH90， ACDEDBB， tanACDtanB， ， ， AD （2）如图 1 中，作 EHBD 于 H 在 RtACB 中，A90，AC3，AB4， BC5， BEy， 第 23 页（共 24 页） EHy，BHy，DHABADBH4xy， ADHE90，ACDEDH， ACDHDE， ， ， y（0x4） （3）如图 31 中，设 CB交 AB 于 K，作 AECK 于 E，DMCB于 M，DNBC 于 N ACAB3，AECB， CEEBCB， AE， 由ACEKCA， 可得 AK，CK， BKABAK4， DCKDCB，DMCM，DNCB， DMDN， 第 24 页（共 24 页） ， BDBK， ADABBD4（）+ 如图 32 中， 当 CB交 BA 的延长线于 K 时， 同法可得 BDBK+， ADABBD 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质， 勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于 中考压轴题