1、2.1 二次函数二次函数 1理解、掌握二次函数的概念和一般 形式；(重点) 2会利用二次函数的概念解决问题； (重点) 3列二次函数表达式解决实际问 题(难点) 一、情境导入 已知长方形窗户的周长为 6m，窗户面 积为 y m2，窗户宽为 x m，你能写出 y 与 x 之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数的概念 【类型一】 二次函数的识别 下列函数中是二次函数的有 ( ) yx1 x；y3(x1) 22；y(x 3)22x2；y 1 x2x. A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 解析：yx1 x，y 1 x2x 的右边 不是整式，故不是二次函数；y3(x
2、1)22，符合二次函数的定义；y(x 3)22x2x26x9，符合二次函数的定 义故选 C. 方法总结： 判定一个函数是否是二次函 数常有三个标准： 所表示的函数关系式为 整式； 所表示的函数关系式有唯一的自变 量；所含自变量的关系式最高次数为 2， 且函数关系式中二次项系数不等于 0. 变式训练： 见 学练优 本课时练习 “课 堂达标训练” 第 1 题 【类型二】 利用二次函数的概念求字 母的值 当 k 为何值时，函数 y(k1)xk2 k1 为二次函数？ 解析：根据二次函数的概念，可得 k2 k2 且同时满足 k10 即可解答 解：函数 y(k1)xk2k1 为二次 函数， k2k2， k
3、10， 解得 k1或2， k1， k 2. 方法总结：解答本题要考虑两方面：一 是 x 的指数等于 2；二是二次项系数不等于 0. 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练” 第 2 题 【类型三】 二次函数相关量的计算 已知二次函数 yx2bx3， 当 x2 时，y3.则 x1 时，y_ 解析：二次函数 yx2bx3，当 x2 时，y3，3222b3，解得 b 2. 这个二次函数的表达式是 yx2 2x3.将 x1 代入得 y4.故答案为 4. 方法总结：解题的关键是先确定解析 式，再代入求值 【类型四】 二次函数与一次函数的关 系 已知函数 y(m2m)x2(m1)x m1. (
4、1)若这个函数是一次函数，求 m 的值； (2)若这个函数是二次函数，则 m 的值 应怎样？ 解析： 根据二次函数与一次函数的定义 解答 解： (1)根据一次函数的定义， 得 m2m 0，解得 m0 或 m1.又m10，即 m1， 当 m0 时， 这个函数是一次函数； (2)根据二次函数的定义， 得 m2m0， 解得 m0 或 m1， 当 m0 或 m1 时， 这个函数是二次函数 方法总结： 熟记二次函数与一次函数的 定义， 另外要注意二次函数的二次项的系数 不等于零 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 5 题 探究点二： 从实际问题中抽象出二次函 数解析式 【类型一】 从
5、几何图形中抽象出二次 函数解析式 如图，用一段长为 30 米的篱笆围 成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，则菜园的面积 y(单位：米 2)与 x(单位：米)的函数关系式为 多少？ 解析：根据已知由 AB 边长为 x 米可以 推出 BC1 2(30x)， 然后根据矩形的面积公 式即可求出函数关系式 解：AB 边长为 x 米，而菜园 ABCD 是矩形菜园，BC1 2(30x)，菜园的面 积ABBC 1 2(30x) x， 则菜园的面积 y 与 x 的函数关系式为 y1 2x 215x. 方法总结：函数与几何知识的综合问 题，关键是掌握数与形的转化有些题目是
6、 以几何知识为背景， 从几何图形中建立函数 关系， 关键是运用几何知识建立量与量的等 式 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 10 题 【类型二】 从生活实际中抽象出二次 函数解析式 某工厂生产的某种产品按质量分 为 10 个档次， 第 1 档次(最低档次)的产品一 天能生产 95 件，每件利润 6 元每提高一 个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减 少 5 件 (1)若生产第 x 档次的产品一天的总利 润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1x10)， 求出 y 关于 x 的函数关系式； (2)若生产第 x 档次的产品一天的总利 润为 1120 元，求该产品的质量档次
7、 解析：(1)每件的利润为 62(x1)，生 产件数为 955(x1)，则 y62(x 1)955(x1)；(2)由题意可令 y1120， 求出 x 的实际值即可 解：(1)第一档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每提高一个档次，每 件利润加 2 元，但一天产量减少 5 件，第 x 档次，提高的档次是(x1)档，利润增加 了 2(x1)元y62(x1)955(x 1)，即 y10x2180x400(其中 x 是正 整数，且 1x10)； (2)由题意可得10x2180x400 1120，整理得 x218x720，解得 x16， x212(舍去) 所以，该产品的质量档次为第 6 档
8、 方法总结： 解决此类问题的关键是要吃 透题意，确定变量，建立函数模型 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 三、板书设计 二次函数 1二次函数的概念 2从实际问题中抽象出二次函数解析 式 二次函数是一种常见的函数，应用非常广 泛， 它是客观地反映现实世界中变量之间的 数量关系和变化规律的一种非常重要的数 学模型 许多实际问题往往可以归结为二次 函数加以研究 本节课是学习二次函数的第 一节课，通过实例引入二次函数的概念，并 学习求一些简单的实际问题中二次函数的 解析式 在教学中要重视二次函数概念的形 成和建构，在概念的学习过程中，让学生体 验从问题出发到列二次函数解析式的过程， 体验用函数思想去描述、 研究变量之间变化 规律的意义.