1、2.2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 第第 5 课时课时 二次函数二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质的图象与性质 1掌握把 yax2bxc(a0)通过配 方写成 ya(xh)2k(a0)的形式， 并能由 此得到二次函数图象的顶点坐标；(重点) 2.掌握二次函数 yax2bxc(a0) 的性质， 运用函数图象的性质解决问题 (难 点) 一、情境导入 在跳绳时， 绳甩到最高处的形状可近似 地看作抛物线如图，正在甩绳的甲、乙两 名学生拿绳的手间距为 4 米，距地面均为 1 米，学生丙的身高是 1.5 米，距甲拿绳的手 水平距离为 1 米，绳子甩到最高处时，刚好 通过他的头顶当绳
2、子甩到最高时，学生丁 从距甲拿绳的手 2.5 米处进入游戏，恰好通 过你能根据以上信息确定学生丁的身高 吗？ 二、合作探究 探究点：二次函数 yax2bxc 的图 象与性质 【类型一】 二次函数 yax2bxc 的 图象的性质 若点 A(2，y1)，B(3，y2)，C( 1， y3)三点在抛物线yx24xm的图象上， 则 y1、y2、y3的大小关系是( ) Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy3y1y2 解析：二次函数 yx24xm 中 a 10，开口向上，对称轴为 x b 2a 2.A(2， y1)中 x2， y1最小 又B(3， y2)，C(1，y3)都在对称轴的左侧，而在
3、对 称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，故 y2 y3，y2y3y1.故选 C. 方法总结：当二次项系数 a0 时，在 对称轴的左边，y 随 x 的增大而减小，在对 称轴的右边，y 随 x 的增大而增大；当 a0 时，在对称轴的左边，y 随 x 的增大而增大， 在对称轴的右边，y 随 x 的增大而减小 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练” 第 3 题 【类型二】 二次函数 yax2bxc 的 图象的位置与各项系数符号的关系 已知抛物线 yax2bxc(a0) 经过点(1，0)，且顶点在第一象限有下 列四个结论：a0；abc0； b 2a 0 ； abc 0. 其 中 正 确
4、的 结 论 是 _(填序号) 解析： 由抛物线的开口方向向下可推出 a0，抛物线与 y 轴的正半轴相交，可得出 c0，对称轴在 y 轴的右侧，a，b 异号，b 0，abc0；因为对称轴在 y 轴右侧， 对称轴为 b 2a0；由图象可知：当 x1 时， y0， abc0.都正确 故 答案为. 方法总结：二次函数 yax2bx c(a0)，a 的符号由抛物线开口方向决定； b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号决定； c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 7 题 【类型三】 二次函数 yax2bxc 与 一次函数图象的综合 在同一直角坐
5、标系中，函数 y mxm 和函数 ymx22x2(m 是常数， 且 m0)的图象可能是( ) 解析： 若函数 ymxm 中的 m0 时， 函数 ymx22x2 开口方向朝下，对称轴 为 x b 2a 2 2m 1 m0， 则对称轴应在 y 轴右侧，故 A、B 选项错误，D 选项正确； 若函数 ymxm 中的 m0 时，函数 y mx22x2 开口方向朝上，对称轴为 x b 2a 2 2m 1 m0，则对称轴应在 y 轴左 侧，故 C 选项错误故选 D. 方法总结：熟记一次函数 yaxb 在 不同情况下所在的象限， 以及熟练掌握二次 函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点 坐标等 【类型四】 二
6、次函数 yax2bxc 与 几何图形的综合 已知：如图，二次函数 yax2 bxc 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 点 A 的坐标为(1，0)，点 C 的坐标为(0， 5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点 (1)求抛物线的解析式； (2)求MCB 的面积 SMCB. 解析： (1)将已知的三点坐标代入抛物线 中， 即可求得抛物线的解析式；(2)根据抛物 线的解析式先求出点 M 和点 B 的坐标，可 将 SMCB化为其他图形面积的和差来解 解：(1)依题意可知 abc0， abc8， c5， 解得 a1， b4， c5， 抛物线的解析式为 yx2 4x5； (2)令 y0，得
7、(x5)(x1)0，解得 x1 5，x21，点 B 的坐标为(5，0)由 yx24x5(x2)29，得点 M 的 坐标为(2，9)作 MEy 轴于点 E，可得 S MCBS梯形MEOBSMCESOBC1 2(2 5)91 242 1 25515. 方法总结： 本题考查了二次函数解析式 的确定以及图形面积的求法 不规则图形的 面积通常转化为规则图形的面积的和差 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 【类型五】 二次函数 yax2bxc 的 实际应用 跳绳时，绳甩到最高处时的形状 是抛物线正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳 的手间距 AB 为 6 米，到地面的距离 AO 和 B
8、D 均为 0.9 米， 身高为 1.4 米的小丽站在距 点 O 的水平距离为 1 米的点 F 处，绳子甩 到最高处时刚好通过她的头顶点 E.以点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设 此抛物线的解析式为 yax2bx0.9. (1)求该抛物线的解析式； (2)如果身高为 157.5 厘米的小明站在 OD 之间且离点 O 的距离为 t 米，绳子甩到 最高处时超过他的头顶，请结合函数图象， 求出 t 的取值范围 解析： (1)已知抛物线解析式 yax2bx 0.9，选定抛物线上两点 E(1，1.4)，B(6， 0.9)， 把坐标代入解析式即可得出 a、 b 的值， 继而得出抛物线解析式；(
9、2)求出 y1.575 时，对应的 x 的两个值，从而可确定 t 的取 值范围 解： (1)由题意得点 E 的坐标为(1， 1.4)， 点 B 的坐标为(6，0.9)，代入 yax2bx 0.9，得 ab0.91.4， 36a6b0.90.9， 解得 a0.1， b0.6. 故所求的抛物线的解析式为y 0.1x20.6x0.9； (2)157.5cm1.575m，当 y1.575 时， 0.1x20.6x0.91.575，解得 x13 2，x2 9 2，则 t 的取值范围为 3 2t 9 2. 方法总结：解答本题的关键是注意审 题，将实际问题转化为求函数问题，培养自 己利用数学知识解答实际问题的能力 三、板书设计 二次函数 yax2bxc 的图象与性质 1 二次函数 yax2bxc 的图象与性 质 2二次函数 yax2bxc 的应用 总结二次函数性质，充分地相信学生，鼓励 学生大胆地用自己的语言进行归纳， 在教学 过程中，注重为学生提供展示自己的机会， 这样也利于教师发现学生分析问题、 解决问 题的独到见解，以及思维的误区，以便指导 今后的教学 课堂上要把激发学生学习热情 和提高学生学习能力放在教学首位， 通过运 用各种启发、激励的语言，以及组织小组合 作学习， 帮助学生形成积极主动的求知态度.