1、2.5 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 第第 1 课时课时 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 1经历探索二次函数与一元二次方程 的关系的过程，体会方程与函数之间的联 系；(重点) 2理解二次函数与 x 轴交点的个数与 一元二次方程的根的关系， 理解何时方程有 两个不等的实根、 两个相等的实根和没有实 根；(重点) 3通过观察二次函数与 x 轴交点的个 数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步 培养学生的数形结合思想(难点) 一、情境导入 一个涵洞成抛物线形， 它的截面如图所 示现测得，当水面宽 AB1.6m 时，涵洞 顶点与水面的距离 OC2.4m.当水位上升 一定高度
2、到达点 F 时，这时，离水面距离 CF1.5m， 则涵洞宽 ED 是多少？是否会超 过 1m? 根据已知条件，要求 ED 宽，只要求出 FD 的长度在如图所示的直角坐标系中， 只要求出点 D 的横坐标即可 由已知条件可得到点 D 的纵坐标， 又因 为点 D 在涵洞所成的抛物线上， 所以利用抛 物线的函数关系式可以进一步算出点 D 的 横坐标你会求吗？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】 求抛物线与 x 轴的交点坐 标 已知二次函数 y2x24x6，它 的 图 象 与x轴 交 点 的 坐 标 是 _ 解析：y2x24x62(x22x3) 2(x3)(x1)，设 2(x3)
3、(x1)0，解得 x13，x21，它的图象与 x 轴交点的 坐标是(3，0)，(1，0)故答案为(3，0)， (1，0) 方法总结：抛物线与 x 轴的交点的横坐 标，就是二次函数为 0 时，一元二次方程的 解 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型二】 判断抛物线与 x 轴交点的 个数 已知关于 x 的二次函数 ymx2 (m2)x2(m0) (1)求证：此抛物线与 x 轴总有两个交 点； (2)若此抛物线与 x 轴总有两个交点， 且 它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值 解析：(1)只需证明(m2)2 4m20 即可；(2)利用因式分解法求得抛 物线与 x
4、 轴交点的横坐标，然后根据 x 的值 来求正整数 m 的值 (1)证明：m0，(m2)2 4m2m24m48m(m2)2.(m 2)20，0，此抛物线与 x 轴总有两 个交点； (2)解：令 y0，则(x1)(mx2)0， 所以 x10 或 mx20，解得 x11， x22 m.当 m 为正整数 1 或 2 时，x2为整数， 即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横 坐标都是整数所以正整数 m 的值为 1 或 2. 方法总结： 解答本题的关键是明确当根 的判别式0 抛物线与 x 轴有两个交点 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 已知抛物线与 x 轴的交
5、点 个数，求字母系数的取值范围 已知函数 y(k3)x22x1 的 图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围 解析：应分 k30 和 k30 两种情 况进行讨论，(1)当 k30 即 k3 时，此 函数是一次函数；(2)当 k30，即 k3 时，此函数是二次函数，根据函数图象与 x 轴有交点可知b24ac0，求出 k 的取 值范围即可 解：当 k3 时，函数 y2x1 是一次 函数一次函数 y2x1 与 x 轴有一个 交点，k3； 当 k3 时， y(k3)x22x1 是二次 函数二次函数 y(k3)x22x1 的图 象与 x 轴有交点，b24ac0.b2 4ac224(k3)4k16，4k
6、160.k4 且 k3. 综上所述，k 的取值范围是 k4. 方法总结： 由于k的取值范围不能确定， 所以解决本题的关键是要注意分类讨论， 不 要漏解 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 5 题 【类型四】 二次函数与一元二次方程 的判别式、根与系数的关系的综合 已知：抛物线 yx2axa2. (1)求证：不论 a 取何值时，抛物线 y x2axa2 与 x 轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与 x 轴相交 于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2的平方和 为 3，求 a 的值 解析：(1)利用关于 x 的一元二次方程 x2axa20 的根的判别式
7、的符号进行 证明；(2)利用根与系数的关系写出 x1、x2 的平方和是 x21x22(x1x2)22x1x2a2 2a43，由此可以求得 a 的值 (1)证明：a24(a2)(a2)2 40，不论 a 取何值时，抛物线 yx2 axa2 与 x 轴都有两个不同的交点； (2)解：x1x2a，x1x2a2， x21x22(x1x2)22x1x2a22a4 3，a1. 方法总结：判断一元二次方程与 x 轴的 交点，只要看根的判别式的符号即可，而要 判断一元二次方程根的情况， 要利用根与系 数关系 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 6 题 探究点二： 利用二次函数解决运动中的
8、抛物线问题 如图，足球场上守门员在 O 处开 出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出(A 在 y 轴上)，运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处 发现球在自己头的正上方达到最高点 M， 距 地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实 验， 足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的 抛物线形状相同， 最大高度减少到原来最大 高度的一半 (1)求足球开始飞出到第一次落地时， 该 抛物线的表达式； (2)足球第一次落地点 C 距守门员多少 米(取 4 37)? (3)运动员乙要抢到第二个落点 D， 他应 再向前跑多少米(取 2 65)? 解析： 要求足球开始飞出到第一次落地 时，抛物线的表达式，则需要根
9、据已知条件 确定点 A 和顶点 M 的坐标，因为 OA1， OB6，BM4，所以点 A 的坐标为(0，1)， 顶点 M 的坐标是(6，4)根据顶点式可求得 抛物线关系式因为点 C 在 x 轴上，所以要 求 OC 的长，只要把点 C 的纵坐标 y0 代 入函数关系式， 通过解方程求得OC的长 要 计算运动员乙要抢到第二个落点 D， 他应再 向前跑多少米，实际就是求 DB 的长求解 的方法有多种 解：(1)设第一次落地时， 抛物线的表达 式为 ya(x6)24， 由已知：当 x0 时，y1，即 136a 4，所以 a 1 12. 所以函数表达式为 y 1 12(x6) 24 或 y 1 12x 2
10、x1； (2)令 y0，则 1 12(x6) 240， 所以(x6)248，所以 x14 36 13，x24 360(舍去) 所以足球第一次落地距守门员约13米； (3)如图，第二次足球弹出后的距离为 CD，根据题意：CDEF(即相当于将抛物 线 AEMFC 向下平移了 2 个单位) 所以 2 1 12(x6) 24，解得 x 16 2 6，x262 6， 所以 CD|x1x2|4 610. 所以 BD1361017(米) 方法总结： 解决此类问题的关键是先进 行数学建模， 将实际问题中的条件转化为数 学问题中的条件常有两个步骤：(1)根据题 意得出二次函数的关系式， 将实际问题转化 为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作 答 三、板书设计 二次函数与一元二次方程 1.二次函数与一元二次方程 2.利用二次函数解决运动中的抛物线问题 本节课注意发挥学生的主体作用， 让学生通 过自主探究、合作学习来主动发现问题、提 出问题、解决问题，实现师生互动，通过这 样的教学实践取得一定的教学效果， 再次认 识到教师不仅要教给学生知识， 更要培养学 生良好的数学素养和学习习惯， 让学生学会 学习， 使他们能够在独立思考与合作学习交 流中解决学习中的问题.