1、3.2 圆的对称性圆的对称性 1理解圆的旋转不变性；(重点) 2掌握圆心角、弧、弦之间相等关系 的定理；(重点) 3能应用圆心角、弧、弦之间的关系 解决问题(难点) 一、情境导入 我们知道圆是一个旋转对称图形， 无论 绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对 称中心即为其圆心将图中的扇形 AOB(阴 影部分)绕点 O 逆时针旋转某个角度，画出 旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能 发现什么？ 二、合作探究 探究点：圆心角、弧、弦之间的关系 【类型一】 利用圆心角、弧、弦之间 的关系证明线段相等 如图， M为O上一点， MA MB ， MDOA 于 D，MEOB 于 E，求证：MD ME. 解析
2、： 连接 MO， 根据等弧对等圆心角， 则MODMOE，再由角平分线的性质， 得出 MDME. 证明：连接 MO， MA MB ， MODMOE，又MDOA 于 D，ME OB 于 E，MDME. 方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关 系的定理可以用来证明线段相等 本题考查 了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 7 题 【类型二】 利用圆心角、弧、弦之间 的关系证明弧相等 如图， 在O 中， AB、 CD 是直径， CEAB 且交圆于 E，求证：BD BE . 解析：首先连接 OE，由 CEAB，可 证得DOBC，BOEE，然后由 OCOE
3、，可得CE，继而证得DOB BOE，则可证得BD BE . 证明：连接 OE，CEAB，DOB C，BOEE.OCOE，C E，DOBBOE，BD BE . 方法总结： 此类题主要运用了圆心角与 弧的关系以及平行线的性质 注意掌握辅助 线的作法及数形结合思想的应用 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 【类型三】 综合运用圆心角、弧、弦 之间的关系进行计算 如图，在ABC 中，ACB 90，B36，以 C 为圆心，CA 为半 径的圆交 AB 于点 D，交 BC 于点 E.求AD 、 DE 的度数 解析：连接 CD，由直角三角形的性质 求出A 的度数，再根据等腰三角形及
4、三角 形内角和定理分别求出ACD 及DCE 的 度数， 由圆心角、 弧、 弦的关系即可得出AD 、 DE 的度数 解： 连接 CD， ABC 是直角三角形， B36，A903654. ACDC， ADCA54， ACD 180AADC18054 5472，BCDACBACD 90 7218.ACD、BCD 分别是 AD ， DE 所对的圆心角， AD 的度数为 72， DE 的度数为 18. 方法总结： 解决本题的关键是根据题意 作出辅助线，构造出等腰三角形 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型四】 有关圆心角、弧、弦之间 关系的探究性问题 如图，直线 l 经
5、过O 的圆心 O， 且与O 交于 A、B 两点，点 C 在O 上， 且AOC30，点 P 是直线 l 上的一个动 点(与圆心 O 不重合)， 直线CP 与O相交于点 Q.是否存在点 P，使得 QPQO？若存在，求出相应的 OCP 的大小； 若不存在， 请简要说明理由 解析：点 P 是直线 l 上的一个动点，因 而点 P 与线段 OA 有三种位置关系： 点 P 在 线段 OA 上，点 P 在 OA 的延长线上，点 P 在 OA 的反向延长线上分这三种情况进行 讨论即可 解：当点 P 在线段 OA 上(如图)，在 QOC 中，OCOQ，OQCOCP. 在OPQ 中， QPQO， QOPQPO. 又
6、AOC30.QPOOCP AOCOCP30.在OPQ 中， QOPQPOOQC180， 即(OCP 30 ) (OCP 30 ) OCP 180，整理得 3OCP120，OCP 40； 当 P 在线段 OA 的延长线上(如图)， OC OQ ， OQP (180 QOC)1 290 1 2QOC.OQPQ， OPQ(180OQP)1 245 1 4 QOC.在OQP 中，30QOC OQPOPQ180，30QOC 90 1 2 QOC45 1 4 QOC 180，QOC20， 则OQP80， OCP100； 当 P 在线段 OA 的反向延长线上(如图 )，OCOQ，OCPOQC (180COQ
7、)1 290 1 2COQ. OQPQ，OPQPOQ1 2OQC 451 4COQ.AOC30，COQ POQ150，COQ451 4 COQ150， COQ140， OCP (180140 )1 220. 方法总结：本题通过同圆的半径相等， 将圆的问题转化为等腰三角形的问题， 是一 种常见的解题方法， 还要注意分类讨论思想 的运用 三、板书设计 圆的对称性 1圆心角、弧、弦之间的关系 2应用圆心角、弧、弦之间的关系解 决问题 本节课的教学策略是通过学生自己动手画 图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身 经历知识的发生、发展及其探求过程，再通 过教师演示动态教具引导， 让学生感受圆的 旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之 间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计 算证明问题， 同时注重培养学生的探索能力 和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、 趣味性.