1、3.2 圆的对称性圆的对称性 1理解圆的旋转不变性;(重点) 2掌握圆心角、弧、弦之间相等关系 的定理;(重点) 3能应用圆心角、弧、弦之间的关系 解决问题(难点) 一、情境导入 我们知道圆是一个旋转对称图形, 无论 绕圆心旋转多少度,它都能与自身重合,对 称中心即为其圆心将图中的扇形 AOB(阴 影部分)绕点 O 逆时针旋转某个角度,画出 旋转之后的图形,比较前后两个图形,你能 发现什么? 二、合作探究 探究点:圆心角、弧、弦之间的关系 【类型一】 利用圆心角、弧、弦之间 的关系证明线段相等 如图, M为O上一点, MA MB , MDOA 于 D,MEOB 于 E,求证:MD ME. 解析
2、: 连接 MO, 根据等弧对等圆心角, 则MODMOE,再由角平分线的性质, 得出 MDME. 证明:连接 MO, MA MB , MODMOE,又MDOA 于 D,ME OB 于 E,MDME. 方法总结:圆心角、弧、弦之间相等关 系的定理可以用来证明线段相等 本题考查 了等弧对等圆心角,以及角平分线的性质 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 7 题 【类型二】 利用圆心角、弧、弦之间 的关系证明弧相等 如图, 在O 中, AB、 CD 是直径, CEAB 且交圆于 E,求证:BD BE . 解析:首先连接 OE,由 CEAB,可 证得DOBC,BOEE,然后由 OCOE
3、,可得CE,继而证得DOB BOE,则可证得BD BE . 证明:连接 OE,CEAB,DOB C,BOEE.OCOE,C E,DOBBOE,BD BE . 方法总结: 此类题主要运用了圆心角与 弧的关系以及平行线的性质 注意掌握辅助 线的作法及数形结合思想的应用 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 【类型三】 综合运用圆心角、弧、弦 之间的关系进行计算 如图,在ABC 中,ACB 90,B36,以 C 为圆心,CA 为半 径的圆交 AB 于点 D,交 BC 于点 E.求AD 、 DE 的度数 解析:连接 CD,由直角三角形的性质 求出A 的度数,再根据等腰三角形及
4、三角 形内角和定理分别求出ACD 及DCE 的 度数, 由圆心角、 弧、 弦的关系即可得出AD 、 DE 的度数 解: 连接 CD, ABC 是直角三角形, B36,A903654. ACDC, ADCA54, ACD 180AADC18054 5472,BCDACBACD 90 7218.ACD、BCD 分别是 AD , DE 所对的圆心角, AD 的度数为 72, DE 的度数为 18. 方法总结: 解决本题的关键是根据题意 作出辅助线,构造出等腰三角形 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型四】 有关圆心角、弧、弦之间 关系的探究性问题 如图,直线 l 经
5、过O 的圆心 O, 且与O 交于 A、B 两点,点 C 在O 上, 且AOC30,点 P 是直线 l 上的一个动 点(与圆心 O 不重合), 直线CP 与O相交于点 Q.是否存在点 P,使得 QPQO?若存在,求出相应的 OCP 的大小; 若不存在, 请简要说明理由 解析:点 P 是直线 l 上的一个动点,因 而点 P 与线段 OA 有三种位置关系: 点 P 在 线段 OA 上,点 P 在 OA 的延长线上,点 P 在 OA 的反向延长线上分这三种情况进行 讨论即可 解:当点 P 在线段 OA 上(如图),在 QOC 中,OCOQ,OQCOCP. 在OPQ 中, QPQO, QOPQPO. 又
6、AOC30.QPOOCP AOCOCP30.在OPQ 中, QOPQPOOQC180, 即(OCP 30 ) (OCP 30 ) OCP 180,整理得 3OCP120,OCP 40; 当 P 在线段 OA 的延长线上(如图), OC OQ , OQP (180 QOC)1 290 1 2QOC.OQPQ, OPQ(180OQP)1 245 1 4 QOC.在OQP 中,30QOC OQPOPQ180,30QOC 90 1 2 QOC45 1 4 QOC 180,QOC20, 则OQP80, OCP100; 当 P 在线段 OA 的反向延长线上(如图 ),OCOQ,OCPOQC (180COQ
7、)1 290 1 2COQ. OQPQ,OPQPOQ1 2OQC 451 4COQ.AOC30,COQ POQ150,COQ451 4 COQ150, COQ140, OCP (180140 )1 220. 方法总结:本题通过同圆的半径相等, 将圆的问题转化为等腰三角形的问题, 是一 种常见的解题方法, 还要注意分类讨论思想 的运用 三、板书设计 圆的对称性 1圆心角、弧、弦之间的关系 2应用圆心角、弧、弦之间的关系解 决问题 本节课的教学策略是通过学生自己动手画 图叠合、观察思考等操作活动,让学生亲身 经历知识的发生、发展及其探求过程,再通 过教师演示动态教具引导, 让学生感受圆的 旋转不变性,并得出圆心角、弧、弦三者之 间的关系,能用这一关系定理,解决圆的计 算证明问题, 同时注重培养学生的探索能力 和逻辑推理能力,力求体验数学的生活性、 趣味性.