1、3.4 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系 第第 1 课时课时 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系 1理解圆周角的概念，掌握圆周角的 两个特征、定理的内容及简单应用；(重点) 2能运用圆周角定理及其推论进行简 单的证明计算(难点) 一、情境导入 在下图中，当球员在 B, D, E 处射门时， 他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角 ABC, ADC，AEC.这三个角的大小 有什么关系？ 二、合作探究 探究点：圆周角定理及其推论 【类型一】 利用圆周角定理求角的度 数 如图，已知 CD 是O 的直径， 过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA，若D 的 度数是 50，则C 的度数是
2、( ) A 25 B 30 C 40 D 50 解析：OADE，D50， AOD50.C1 2AOD，C 1 2 5025.故选 A. 方法总结： 解决问题的关键是熟练掌握 圆周角定理 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 2 题 【类型二】 利用圆周角定理的推论求 角的度数 如图，在O 中，AB AC ，A 30，则B( ) A150 B75 C60 D15 解析：因为AB AC ，根据“同弧或等 弧所对的圆周角相等”得到BC，因 为ABC180， 所以A2B 180，又因为A30，所以 30 2B180，解得B75.故选 B. 方法总结： 解题的关键是掌握在同圆或 等圆中
3、，相等的两条弧所对的圆周角也相 等注意方程思想的应用 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 圆周角定理与垂径定理的 综合 如图所示，AB 是O 的一条弦， ODAB，垂足为点 C，交O 于点 D，E 在O 上 (1)AOD52，求DEB 的度数； (2)若 AC 7， CD1， 求O 的半径 解析：(1)由 ODAB，根据垂径定理的 推论可求得AD BD ，再由圆周角定理及其 推论求DEB 的度数；(2)首先设O 的半 径为 x，然后由勾股定理得到方程解答 解： (1)AB 是O 的一条弦， ODAB， AD BD ，DEB1 2AOD 1 252 26
4、； (2)设O 的半径为 x， 则 OCODCD x1.OC2AC2OA2，(x1)2 ( 7)2x2，解得 x4，O 的半径为 4. 方法总结： 本题综合考查了圆周角定理 及其推论、垂径定理以及勾股定理注意掌 握数形结合思想与方程思想的应用 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型四】 圆周角定理的推论与圆心 角、弧、弦之间的关系的综合 如图，ABC 内接于O，AB AC，点 D 在弧 AB 上，连接 CD 交 AB 于点 E，点 B 是CD 的中点，求证：BBEC. 解析：由点 B 是CD 的中点，得BCE BAC，即可得BECACB，然后由 等腰三角形的性质
5、，证得结论 证明：B 是CD 的中点，BC BD ， BCEBAC.BEC180B BCE，ACB180BACB， BECACB.ABAC，B ACB，BBEC. 方法总结： 此题考查了圆周角定理的推 论以及等腰三角形的性质 解答时一定要结 合图形 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 7 题 【类型五】 圆周角定理的推论与三角 形知识的综合 如图， A、 P、 B、 C 是O 上四点， 且APCCPB60.连接 AB、 BC、 AC. (1)试判断ABC 的形状，并给予证明； (2)求证：CPBPAP. 解析： (1)利用圆周角定理可得BAC CPB， ABCAPC， 而A
6、PCCPB 60，所以BACABC60，从而 可判断ABC 的形状；(2)在 PC 上截取 PD AP，则APD 是等边三角形，然后证明 APBADC， 证明 BPCD， 即可证得 (1)解：ABC 是等边三角形证明如 下：在O 中，BAC 与CPB 是BC 所 对的圆周角，ABC 与APC 是AC 所对的 圆周角， BACCPB， ABCAPC. 又APCCPB60，ABC BAC60，ABC 为等边三角形； (2)证明：在 PC 上截取 PDAP，连接 AD.又APC60，APD 是等边三 角形，ADAPPD，ADP60 ，即 ADC120.又APBAPC BPC120，ADCAPB.在A
7、PB 和ADC 中， APBADC， ABPACD， APAD， APB ADC(AAS)，BPCD.又PDAP， CPBPAP. 方法总结： 本题考查了圆周角定理的理 论以及三角形的全等的判定与性质， 正确作 出辅助线是解决问题的关键 【类型六】 圆周角定理的推论与相似 三角形的综合 如图，点 E 是BC 的中点，点 A 在 O 上，AE 交 BC 于 D.求证：BE2AE DE. 解析：点 E 是BC 的中点，根据圆周角 定理的推论可得BAECBE，可证得 BDEABE，然后由相似三角形的对应 边成比例得结论 证明： 点 E 是BC 的中点， 即BE CE ， BAECBE.EE(公共角)
8、， BDEABE，BEAEDEBE， BE2AE DE. 方法总结： 圆周角定理的推论是和角有 关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形 的问题常常考虑此定理 三、板书设计 圆周角和圆心角的关系 1圆周角的概念 2圆周角定理 3圆周角定理的推论 本节课的重点是圆周角与圆心角的关系， 难 点是应用所学知识灵活解题 在本节课的教 学中， 学生对圆周角的概念和“同弧所对的 圆周角相等”这一性质较容易掌握， 理解起 来问题也不大， 而对圆周角与圆心角的关系 理解起来则相对困难， 因此在教学过程中要 着重引导学生对这一知识的探索与理解 还 有些学生在应用知识解决问题的过程中往 往会忽略同弧的问题， 在教学过程中要对此 予以足够的强调，借助多媒体加以突出.