1、3.4 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系 第第 2 课时课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1掌握圆周角和直径的关系，会熟练 运用解决问题；(重点) 2培养学生观察、分析及理解问题的 能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得 正确的学习方式(难点) 一、情境导入 你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球 吗？ 如图所示， 甲队员在圆心 O 处， 乙队 员在圆上 C 处， 丙队员带球突破防守到圆上 C 处，依然把球传给了甲，你知道为什么 吗？你能用数学知识解释一下吗？ 二、合作探究 探究点一：圆周角和直径的关系 【类型一】 利用直径所对的圆周角是 直角求角的度数
2、如图，BD 是O 的直径，CBD 30，则A 的度数为( ) A30 B45 C60 D75 解析：BD 是O 的直径，BCD 90.CBD30，D60， AD60.故选 C. 方法总结：在圆中，如果有直径，一般 要找直径所对的圆周角， 构造直角三角形解 题 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型二】 作辅助线构造直角三角形 解决问题 如图，点 A、B、D、E 在O 上， 弦AE、 BD的延长线相交于点C.若AB是O 的直径，D 是 BC 的中点 (1)试判断 AB、 AC 之间的大小关系，并 给出证明； (2)在上述题设条件下，当ABC 为正 三角形时，点 E
3、 是否为 AC 的中点？为什 么？ 解析：(1)连接 AD，先根据圆周角定理 求出ADB90，再根据线段垂直平分线 性质判断；(2)连接 BE，根据圆周角定理求 出AEB90，根据等腰三角形性质求 解 解：(1)ABAC.证明如下：连接 AD， AB 是O 的直径，ADB90， 即 ADBC.BDDC，AD 垂直平分 BC， ABAC； (2)当ABC 为正三角形时，E 是 AC 的 中点理由如下：连接 BE，AB 为O 的 直径， BEA90， 即 BEAC.ABC 为正三角形，AEEC，即 E 是 AC 的中 点 方法总结：在解决圆的问题时，如果有 直径往往考虑作辅助线， 构造直径所对的圆
4、 周角 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 探究点二：圆内接四边形 【类型一】 圆内接四边形性质的运用 如图，四边形 ABCD 内接于O， 点 E 是 CB 的延长线上一点， EBA125 ， 则D( ) A 65 B 120 C 125 D 130 解析：EBA125，ABC 18012555.四边形 ABCD 内接 于O，DABC180，D 18055125.故选 C. 方法总结： 解决问题关键是掌握圆内接 四边形的对角互补这一性质 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 7 题 【类型二】 圆内接四边形与圆周角的 综合 如图， 在O 的内接四边
5、形 ABCD 中，BOD120，那么BCD 是( ) A120 B100 C80 D60 解析： BOD120， A60， C18060 120 ，故选 A. 方法总结： 解决问题关键是掌握圆内接 四边形的对角互补和圆周角的性质 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 圆内接四边形与垂径定理 的综合 如图， AB 为O 的直径， CFAB 于 E，交O 于 D，AF 交O 于 G.求证： FGDADC. 解析：利用圆内接四边形的性质求得 FGDACD，然后根据垂径定理推知 AB是CD的垂直平分线， 则ADCACD. 故FGDADC. 证明：四边形 ACDG
6、内接于O， FGDACD.又AB 为O 的直径， CF AB 于 E， AB 垂直平分 CD， ACAD， ADCACD，FGDADC. 方法总结： 圆内接四边形的性质是沟通 角相等关系的重要依据 【类型四】 圆内接四边形、圆周角、 相似三角形和三角函数的综合 如图，四边形 ABCD 内接于O， AB 为O 的直径，点 C 为BD 的中点，AC、 BD 交于点 E. (1)求证：CBECAB； (2)若 SCBESCAB14， 求 sinABD 的值 解析：(1)利用圆周角定理得出DBC BAC，根据两角对应相等得出两三角形 相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的 性质面积比等于相似比的平
7、方，得出 ACBCBCEC21， 再利用三角形中 位线的性质以及三角函数知识得出答案 (1)证明： 点 C 为BD 的中点， DBC BAC.在CBE 与CAB 中，DBC BAC ， BCE ACB ， CBECAB； (2)解：连接 OC 交 BD 于 F 点，则 OC 垂直平分 BD.SCBESCAB14， CBE CAB，ACBCBCEC21， AC4EC， AEEC31.AB 为O 的 直径，ADB90，ADOC，则 ADFCAEEC31.设 FCa， 则 AD 3a.F 为 BD 的中点，O 为 AB 的中点， OF 是ABD 的中位线，则 OF1 2AD 1.5a，OCOFFC1.5aa2.5a，则 AB2OC5a.在 RtABD 中，sinABD AD AB 3a 5a 3 5. 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知 识都是和角有关的定理， 在圆中解决这方面 的问题时考虑相等的角 三、板书设计 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1圆周角和直径的关系 2圆内接四边形的概念和性质 本节课采用问题情境自主探究拓 展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合 多媒体辅助教学，引导学生进行有效思 考在教学过程中，通过问题串启发引导， 学生自主探究，创设情境等多种教学方式， 激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了 很好的教学效果.