1、3.6 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 第第 2 课时课时 切线的判定及三角形的内切圆切线的判定及三角形的内切圆 1掌握切线的判定定理，并会运用它 进行切线的证明；(重点) 2能灵活选用切线的三种判定方法判 定一条直线是圆的切线；(难点) 3掌握画三角形内切圆的方法和三角 形内心的概念. (重点) 一、情境导入 下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞 上的水珠顺着伞面的边缘飞出 仔细观察一 下， 水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就 是我们所要研究的直线与圆相切的情况 二、合作探究 探究点一：切线的判定 【类型一】 已知直线过圆上的某一个 点，证明圆的切线 如图，点 D 在O 的直径 AB 的
2、 延长线上，点 C 在O 上，ACCD，D 30，求证：CD 是O 的切线 解析：要证明 CD 是O 的切线，即证 明 OCCD.连接 OC，由 ACCD，D 30，则AD30，得到COD 60，所以OCD90. 证明：连接 OC，如图，ACCD， D30，AD30.OA OC，ACOA30，COD 60，OCD90 ，即 OCCD.CD 是O 的切线 方法总结： 一定要分清圆的切线的判定 定理的条件与结论， 特别要注意“经过半径 的外端”和“垂直于这条半径”这两个条 件缺一不可，否则就不是圆的切线 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型二】 直线与圆的公共点没
3、有确 定时，证明圆的切线 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半径的 O 与 BC 相切于点 M.求证：CD 与O 相 切 解析：连接 OM，过点 O 作 ONCD 于点 N，用正方形的性质得出 AC 平分角 BCD，再利用角平分线的性质得出 OM ON 即可 证明：连接 OM，过点 O 作 ONCD 于点 N，O 与 BC 相切于点 M，OM BC.又ONCD，O 为正方形 ABCD 对 角线 AC 上一点，OMON，CD 与O 相切 方法总结： 如果直线与圆的公共点没有 确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心 到这条直线的距离等于半径 变式训练：
4、见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 5 题 【类型三】 切线的性质和判定的综合 应用 如图， 在RtABC中， C90， BE平分ABC 交AC 于点E， 点D在AB上， DEEB. (1)求证： AC是BDE的外接圆的切线； (2)若 AD2 3，AE6，求 EC 的长 解析：(1)取 BD 的中点 O，连接 OE， 如图，由BED90，可得 BD 为BDE 的外接圆的直径，点 O 为BDE 的外接圆 的圆心， 再证明 OEBC， 得到AEOC 90，可得结论；(2)设O 的半径为 r， 根据勾股定理和平行线分线段成比例定理， 可求答案 (1)证明：取 BD 的中点 O，连接 OE，
5、 如图所示，DEEB，BED90， BD 为BDE 的外接圆的直径，点 O 为 BDE 的外接圆的圆心 BE 平分ABC， CBEOBE.OBOE，OBE OEB，OEBCBE，OEBC， AEOC90，OEAE，AC 是BDE 的外接圆的切线； (2)解：设O 的半径为 r，则 OAOD DAr2 3，OEr.在 RtAEO 中，有 AE2OE2AO2，即 62r2(r2 3)2，解 得 r2 3.OEBC，AE CE AO OB，即 6 CE 4 3 2 3，CE3. 方法总结： 经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线 要证某线是圆的 切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这 点(
6、即为半径)，再证垂直即可 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 6 题 探究点二：三角形的内切圆 【类型一】 利用三角形的内心求角的 度数 如图， O 内切于ABC， 切点 D、 E、F 分别在 BC、AB、AC 上已知B 50，C60，连接 OE， OF， DE， DF， 那么EDF 等于( ) A40 B55 C65 D70 解析：ABC180 ，B 50，C60，A70.O 内切于ABC，切点分别为 D、E、F， OEAOFA90，EOF360 AOEAOFA110，EDF 1 2EOF55.故选 B. 方法总结： 解决本题的关键是理解三角 形内心的概念，求出EOF 的
7、度数 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 10 题 【类型二】 求三角形内切圆半径 如图，RtABC 中，C90， AC6，CB8，则ABC 的内切圆半径 r 为( ) A1 B2 C1.5 D2.5 解析：C90，AC6，CB8， AB AC2BC210，ABC 的内切 圆半径 r6810 2 2.故选 B. 方法总结：记住直角边为 a、b，斜边为 c 的三角形的内切圆半径为abc 2 ， 可以大 大简化计算 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 2 题 【类型三】 三角形内心的综合应用 如图，I 是ABC 的内心，AI 的延长线交边 BC 于点 D，交
8、ABC 的外接 圆于点 E. (1)BE 与 IE 相等吗？请说明理由 (2)如图， 连接 BI， CI， CE， 若BED CED60，猜想四边形 BECI 是何种 特殊四边形，并证明你的猜想 解析：(1)连接 BI，根据 I 是ABC 的 内心，得出12，34，再根据 BIE13，IBE54，而5 12，得出BIEIBE，即可证出 IEBE；(2)由三角形的内心，得到角平分 线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由 等量代换得到四条边都相等， 推出四边形是 菱形 解：(1)BEIE.理由如下：如图，连 接 BI，I 是ABC 的内心，12， 34.BIE13，IBE5 4， 而512， BI
9、EIBE， BEIE； (2)四边形 BECI 是菱形证明如下： BEDCED60，ABC ACB60，BECE.I 是ABC 的 内心，41 2ABC30，ICD 1 2 ACB30， 4ICD， BIIC.由(1) 证得 IEBE，BECEBIIC，四边 形 BECI 是菱形 方法总结： 解决本题要掌握三角形的内 心的性质，以及圆周角定理 三、板书设计 切线的判定及三角形的内切圆 1切线的判定方法 2三角形的内切圆和内心的概念 本节课多处设计了观察探究、 分组讨论等学 生活动内容， 如动手操作“切线的判定定理 的发现过程”，以及讲解例题时学生的参 与，课堂练习的设计都体现了以教师为主 导、学生为主体的教学原则.