1、数学（文科）试题第 1页（共 6 页） 淮南市 2020 届高三第二次模拟考试 数学（文科）试题数学（文科）试题 （考试时间：120 分钟满分：150 分） 注意事项：注意事项： 1答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。 2答题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写，要求字体工整、 笔迹清晰。作图题可选用铅笔在答题卡 规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的 黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区
2、域书写 的答案无效 ，在试题卷、草稿纸上答题无效 。 第第卷（选择题）卷（选择题） 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. . 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内） 1. 已知集合230Axx ，集合0,1,2,3B ，则AB （） A. 1B.2,3C.1,2,3D. 3 | 2 x x 2. 已知i为虚数单位，复数 2 3 1 zi i ，则复数z的虚部是（） A.iB.1C.2iD
3、.2 3. 已知抛物线 2 1 : 4 C yx=，则下列关于抛物线C的叙述正确的是（） A. 抛物线C没有离心率B. 抛物线C的焦点坐标为 1 ,0 16 C. 抛物线C关于x轴对称D. 抛物线C的准线方程为1y 4. 已知函数 ,yf xx 的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（） 数学（文科）试题第 2页（共 6 页） A. sin cosf xxx B. sincosf xxx C. sincosf xxx D. sincosf xxx 5. 在正方体 1111 ABCDABC D中，点,E F分别为棱 1 ,BC CC的中点，过点,A E F作平 面截正方体的表面所得图形是（）.
4、A. 三角形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 平面五边形 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的a值是（） A. 53B. 159C. 161D. 485 7. 某居民小区 1 单元 15 户某月用水量的茎叶图如图所示（单位：吨） ，若这组数据的平均 数是 19，则ba的值是（） A. 2B. 5C. 6D.8 8. 已知实数yx,满足约束条件 1 022 02 x yx yx ， 则目标函数 yx z 2 2 1 的最大值 为（）. A.1B. 2 1 C. 4 1 D. 16 1 数学（文科）试题第 3页（共 6 页） 9. 底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的
5、射影为正方形的 中心）的外接球半径与内切球半径比值为（） A.31B. 3C.21D. 2 10. 已知函数 2sinsin2xxxf是R上的奇函数，其中 2 , 0 ，则下 列关于函数 xxg2cos的描述中，其中正确的是（）. 将函数 xf的图象向右平移 8 个单位可以得到函数 xg的图象； 函数 xg图象的一条对称轴方程为 8 x ； 当 2 , 0 x时，函数 xg的最小值为 2 2 ； 函数 xg在 8 5 , 8 上单调递增. A.B.C.D. 11. 已知函数 2 32,1 ln ,1 xxx f x x x ，若存在 0 xR，使得 00 1f xaxa成立， 则实数a的取值范
6、围是（）. A.0,B.3,0 C. , 31, D., 30, 12. 已知 12 ,F F分别是双曲线 22 :1 43 xy C的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上， 点B为圆 22 :(3)1E xy上一动点，则 2 ABAF的最小值为（）. A. 7B. 8C.6 3 D.2 3 3 数学（文科）试题第 4页（共 6 页） 第第 IIII 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. 第第 13 题题第第 21 题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须 作答作答. 第第 22 题题 第第 23 题为选
7、考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，将每题的正确答案填在题中的横分，将每题的正确答案填在题中的横 线上）线上） 13. 已知曲线( )lnf xxax在点(1,0)处的切线方程为21yx，则实数a的值 为_. 14. 已知平面向量, a b 满足 2,3,2, 3abab ， 设, a b 的夹角为，则cos的值为_. 15. 如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一 半为半径在正方形内作圆弧得到的.现等可能地在该正方形 内任取一点，则该点落在图中阴影部
8、分的概率为_. 16. 在ABC中，角, ,A B C所对边分别为, ,a b c， 若6 2sin 4 aB ，6c ，则ABC外接圆的半径大小是_. 三、解答题三、解答题： （本大题满分本大题满分 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 已知各项均不为 0 的等差数列 n a的前n项和为 n S，若 5 9a ，且 147 ,a a S成等比 数列. （）求数列 n a的通项公式 n a与 n S； （）设 12 n nn bSn ，求数列 n b的前20项和 20 T. 18. （本小题满分 12 分
9、） 如图，圆锥PO中，AB是圆O的直径，且4AB,C是底面 圆O上一点，且32AC，点D为半径OB的中点，连PD. （）求证：PC在平面APB内的射影是PD； （）若4PA，求底面圆心O到平面PBC的距离. 数学（文科）试题第 5页（共 6 页） 19. （本小题满分 12 分） 某生物研究所为研发一种新疫苗，在 200 只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下 统计数据： 未感染病毒感染病毒总计 未注射疫苗30xy 注射疫苗70zw 总计100100200 现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 7 10 . （）能否有 99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？
10、（）在未注射疫苗且未感染病毒与注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分别抽取 3 只 进行病例分析，然后从这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只对注射疫苗情况进行核实，求抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率. 附： 2 2 , n adbc Knabcd abcdacbd ， 2 0 P Kk 0.100.050.0250.0100.0050.001 0 k2.7063.8415.0246.6357.87910.828 20. （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线4x 的距离与到定点1,0F的距离之比 为 2. （）求动点P的轨迹E的方程； （）过点F的直线交轨迹
11、E于,A B两点，线段AB的中垂线与AB交于点C，与直线 4x 交于点D，设直线AB的方程为1xmy，请用含m的式子表示 AB CD ，并探究 数学（文科）试题第 6页（共 6 页） 是否存在实数m，使 3 5 AB CD ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 lnf xxaxx，其中aR. （）当1a 时，判断函数 f x的零点个数； （）若对任意0,x， 0f x 恒成立，求实数a的取值范围. 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
12、记分。作答时 请写清题号请写清题号 22 （本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 44 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 33cos 3sin x y （其中为参数） ， 以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4cos0. （）求曲线 1 C的普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程； （）设点,A B分别是曲线 12 ,C C上两动点且 2 AOB ，求AOB面积的最大值. 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 45 不等式选讲不等式选讲 已知函数 1 1 f xxmx m （
13、其中实数0m ） （）当1m ，解不等式 3f x ； （）求证： 1 2 1 f x m m . 数学（文科）答案第 1页（共 6 页） 淮南市 2020 届高三第二次模拟考试 数学（文科）试题数学（文科）试题参考答案参考答案及评分标准及评分标准 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号123456789101112 答案BDDBCCABACDA . 二、填空题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.114. 2 3 15. 1 2 16. 3 2 17. （本小题满分 12 分） 解： （）设等差数列 n a的公差为d，则 51
14、49aad， 由 147 ,a a S成等比数列知 2 41714 7aaSaa，因 4 0a ，得 41 7aa，于是 1 2ad ， 解得2, 1 1 da，12 nan，4 分 2 2 121 n nn Sn 6 分 （）因 2 1212 nn nn bSnnn ，7 分 所以 201220 Tbbb 2222 12 122 232 3202 20 222222 214320192 10 201 20 1 2320202021020230 2 12 分 18. （本小题满分 12 分） 解： （）因4,2 3,ABACACBC，所以 3 ABC , 数学（文科）答案第 2页（共 6 页）
15、 因OBOC，所以BOC是正三角形，又D点是OB的中点，OBCD ，2 分 又PO平面ABC，OPCD，OOBOP，CD平面PAB，4 分 所以PC在平面APB内的射影是PD5 分 ()由4PA知2 3PO ，4PBPC， 2 113 22 32 334 P OBCOBC VSPO ，.8 分 22 1 24115 2 PBC S ， 设点O到平面PBC的距离为d，则 115 2 33 P OBCO PBCPBC VVSdd ， 解得 2 15 5 d ，.11 分 所以底面圆心O到平面PBC的距离为 2 15 5 12 分 19. （本小题满分 12 分） 解： （）由条件知70,100,3
16、0,100xyzw，2 分 2 2 20030 3070 70 3210.828 100 100 100 100 K ，5 分 所以有 99.9%的把握认为注射此种疫苗有效. 6 分 （）由条件知将抽到的 3 只未注射疫苗且未感染病毒的小白鼠记为 A，B，C，将抽到的 3 只注射疫苗且感染病毒的小白鼠分别记为 D，E，F，. 7 分 从这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只共有（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ， （A，F） ， （B， C） ， （B，D） ， （B，E） ， （B，F） ， （C，D） ， （C，E） ， （C，F） ， （D，E） ， （D，F） ，
17、 （E，F） 等 15 种可能，9 分 抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠有（D，E） ， （D，F） ， （E，F）等 3 种情 况，11 分 所以抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率为 31 155 .12 分 20. （本小题满分 12 分） 解： （）设,P x y，则 2 2 4 2 1 x xy ，.2 分 数学（文科）答案第 3页（共 6 页） 化简整理得 22 1 43 xy .所以动点P的轨迹E的方程为 22 1 43 xy 4 分 （）设 1122 ,A x yB xy ， 联立 22 1 1 43 xmy xy ，消去x，得 22 34690mym
18、y， 根据韦达定理可得 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ，5 分 所以 2 22 121212 114ABmyymyyy y 2 2 121 34 m m ， 7 分 又 22 43 , 3434 m C mm ，8 分 于是 22 2 22 4 351 4 14 3434 mm CDm mm ，9 分 所以 2 2 31 35 ABm CDm .10 分 令 2 2 313 355 ABm CDm ，解得0m 因此存在0m ，使 AB CD 3 5 .12 分 21. （本小题满分 12 分） 解： （）当1a 时， 2 lnf xxxx，其定义域为0,
19、， 求导得 2 1 21121 21 xxxx fxx xxx ，2 分 于是当0,1x时， 0fx，函数 f x单调递减；当1,x时， 0fx， 函数 f x单调递增，4 分 又 10f，所以函数 f x的零点个数为 1；5 分 数学（文科）答案第 4页（共 6 页） （）法 1：因对任意0,x， 0f x 恒成立，即 2 ln0xaxx对任意 0,x恒成立，于是 2 lnxx a x 对任意0,x恒成立，6 分 令 2 ln 0 xx g xx x ，只需 min ag x . 对函数 g x求导，得 2 2 1 lnxx gx x ，7 分 令 2 1 ln0h xxx x ， 则 1
20、20h xx x ，所以函数 h x在0,上单调递增.8 分 又 10h，所以当0,1x时， 0h x ， 0gx，函数 g x单调递减；当 1,x时， 0h x ， 0gx ，函数 g x单调递增，10 分 所以函数 min 11g xg ，于是1a ，即实数a的取值范围为,1.12 分 法 2： 因对任意0,x， 0f x 恒成立， 即 2 lnxxax对任意0,x恒 成立.构造函数 2 ln0F xxx x，对其求导，得 2 121 2 x Fxx xx ， 令 0Fx， 得 2 2 x （ 2 2 舍去） ， 所以当 2 0, 2 x 时， 0Fx， 函数 F x 单调递减；当 2 ,
21、 2 x 时， 0Fx，函数 F x单调递增. 函数0yax x的图象是一条过原点的射线（不包括端点） ，旋转射线（不含端点） ， 发现0yax x与函数 F x的图象相切时属临界状态. 设切点为 2 000 ,lnx xx，则 2 00 0 00 ln01 2 0 xx x xx ，整理得 2 00 ln10xx ， 数学（文科）答案第 5页（共 6 页） 显然 2 ln1h xxx在0,上是增函数，又 10h，所以 0 1x ，此时切线斜率 为 1，结合图象，可知实数a的取值范围为,1.12 分 法 3：根据题意只需 min 0f x 即可. 又 2 121 2 xax fxxa xx ，
22、令 0fx ，因 2 与1异号，所以必有一正根， 不妨设为 0 x，则 2 00 210xax ，即 2 00 21xax ， 当 0 0,xx时， 0fx，函数 f x单调递减；当 0, xx时， 0fx，函 数 f x单调递增，所以 22 000000 min ln1 ln0f xf xxaxxxx 又 2 ln1g xxx 在0,上是减函数，又 10g，所以 0 01x， 由 2 00 21xax 得 2 0 0 00 211 2 x ax xx 在 0 0,1x 上单调递增，则实数a的取值范围 为,1.12 分 22 （本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 44 坐标系与参数
23、方程坐标系与参数方程 解： （）由条件知消去参数得到曲线 1 C的普通方程为 2 2 39xy. 因4cos0可 化 为 2 4 cos0， 又 222, cosxyx， 代 入 得 22 40xyx，于是曲线 2 C的直角坐标方程为 22 40xyx.5 分 （）由条件知曲线 12 ,C C均关于x轴对称，而且外切于原点O， 不妨设 1, 0 2 A ，则 2, 2 B ， 因曲线 1 C的极坐标方程为6cos，所以 12 6cos ,4cos4sin 2 ， 于是 12 11 6cos4sin6sin26 22 AOB S ， 所以当 4 时，AOB面积的最大值为 610 分 数学（文科）
24、答案第 6页（共 6 页） 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 45 不等式选讲不等式选讲 解： （）由条件知1m 时， 1 2,1 2 131 1,1 222 11 2, 22 xx f xxxx xx 于是原不等式可化为 1 1 23 2 x x ； 1 1 2 3 3 2 x ； 1 2 1 23 2 x x 解得 7 1 4 x；解得 1 1 2 x；解得 51 42 x ， 所以不等式 3f x 的解集为 5 7 , 4 4 5 分 （）由已知得 111 111 f xxmx m mmm m 1111 1111 xmxm mm mmm m 1111 2 11 mm mmmm 当且仅当1m 时，等号成立，于是原不等式得证.10 分